Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Решим его. Из двух корней один, очевидно, не имеет физического смысла,
поэтому отбросим его.
,
,
,
,
h2= .
Теперь подставим числа и найдём ответ:
h2= .
Задача 7.4а (решить самостоятельно). После того, как стеклянную
трубку, погружённую в ртуть, заткнули с открытого конца и вынули,
часть ртути вылилась. Вычислить массу вылившейся ртути. Длина трубки равна ` = 15 см, глубина первоначального погружения h1= 10 см,
атмосферное давление H = 755 мм. рт. ст., радиус трубки r = 1 см. От-
вет: m = 30 г.
Задача 7.4б (решить самостоятельно). Стеклянную трубку, наполовину
погружённую в ртуть, заткнули с открытого конца и вынули. При этом
3% ртути вылилось. Найти высоту столбика оставшейся ртути, если атмосферное давление равно H = 780 мм. рт. ст.. Ответ: h = 2.3 см.
Задача 7.5 В манометр в форме буквы U залита ртуть
Тренировочный вариант. В манометр в форме буквы U залита ртуть. Од-
но из колен манометра свободно сообщается с атмосферой. Второе колено
закупорено. Ртуть в закрытом колене стоит выше, чем в открытом на ∆h1,
а его свободная от ртути часть имеет длину `1= 25 см. Когда воздух в
закрытой части нагрели на τ = 2%, уровень ртути в закрытом колене опу-
91
стился, и разность уровней стала равной ∆h2= 9.5 см. Найти ∆h1, считая
ℓ
∆h
атмосферное давление нормальным. Ответ: ∆h1= 10 см.
Решение (законспектировать). Считая газ в закрытом колене манометра
идеальным, используем уравнение Менделеева—Клапейрона.
Имеют место две ситуации. Газ в закрытом колене до нагрева-
ния характеризуется давлением p1, объёмом V1и температурой
T1. После нагревания эти величины стали равны p2, V2и T2со-
ответственно.
m
p1V1=
1
RT1,
µ
m
p2V2=
2
RT2.
µ
Приравняв одинаковые части этих уравнений, получим:
p1V
T
1
p2V
1
=
T
2
.
2
Теперь учтём, что объём воздуха в трубке равен произведению площади её
сечения на высоту.
p1×
T
1
=
p2×
T
.
2
Найдём давление воздуха в первом и втором случаях из условия равновесия: давление на одном уровне жидкости постоянно. В левом колене на
поверхность ртути давит атмосфера, p0. В правом колене на этом же уровне
давление складывается из давления воздуха и давления столба жидкости.
Приравняем эти давления для первого и второго случаев:
p0= + ,
p0= + .
Выразим отсюда p1и p2и подставим в уравнение состояния.
=
T
1
92
T
.
2
Теперь найдём высоту воздуха в свободной от ртути части трубки во втором случае `2. Если бы уровни ртути в левом и правом коленах манометра
находились на одном уровне, то высота свободной от ртути части была бы
равна `0= `1+ ∆h1/2. Значит, если разность высот уровней ртути в коле-
нах равна ∆h2, то относительно линии, проведённой на высоте `0, каждый
уровень смещён на ∆h2/2. Следовательно,
`2= `1+ ∆h1/2 − .
Подставим это значение `2в уравнение состояния, а также учтём, что
T2= (1 + τ/100)T1.
В итоге получим уравнение, решив которое относительно ∆h1, получим:
,
∆h1= .
Теперь подставим числа и найдём ответ:
∆h1= .
Задача 7.5а (решить самостоятельно). В U-образном манометре правое
колено закрыто, а левое сообщается с атмосферой. В манометр налита
ртуть так, что в закрытом колене уровень ртути ниже, чем в открытом,
на ∆h1= 8 см, а его свободная от ртути часть имеет длину `1= 30 см.
Воздух в закрытой части охлаждают до T2= 300 К. При этом уровень
ртути в закрытой части повышается, так что разность уровней становится равной ∆h2= 2 см. Найти начальную температуру воздуха T1, считая
атмосферное давление нормальным. Ответ: T1= 306 К.
,
,
,
93
Задача 7.5б (решить самостоятельно). В манометр в форме буквы U
ртуть залита так, что когда её уровни в правом и левом коленах находятся на одной высоте, длина свободного от ртути части правого колена
равна `0. Перед тем как закупорить правое колено, из него откачивают
небольшое количество воздуха, что приводит к повышению в нём уровня
ртути. Высота свободной от ртути части становится равной `1= 30 см,
температура воздуха в нём равна T1= 300 К. После этого воздух в правом колене нагревают до темепартуры T2= 305 К, и уровень ртути в
правом колене становится ниже левого, а высота свободной от ртути части становится равной `2= 35 см. Найти `0, считая, что левое колено
свободно сообщается с атмосферой, а атмосферное давление равно нормальному. Ответ: `0= 34.3 см.
Задача 7.6 Давление после соединения двух сосудов трубкой
Тренировочный вариант. Один и тот же газ находится в сосуде 1 объёмом
V1= 2 л под давлением p1= 0.35 МПа и в сосуде 2 объёмом V2= 5 л под
давлением p2= 0.15 МПа. В обоих сосудах температура газа одинаковая.
Каково будет давление газа, если соединить сосуды трубкой? Ответ: p =
207 кПа.
Решение (законспектировать). Будем штрихом обозначать давления газов
после соединения сосудов. Согласно закону Дальтона, давление смеси газов
равно сумме парциальных давлений газов:
p = p
0
1
+ p
0
.
2
Считая газы идеальными, используем уравнение Менделеева—Клапейрона.
При соединении сосудов меняются давления газов и их объёмы. Масса каждого из газов и температура не меняются. Следовательно, для первого газа
до и после соединения сосудов имеем
m
p1V1=
1
RT,
µ
m
µ
1
RT.
0
p
(V1+ V2) =
1
Отсюда:
p1V1= p
0
(V1+ V2).
1
Точно также для второго газа:
p2V2= p
0
(V1+ V2).
2
94
0
Выразим из этих формул p
0
p
= ,
1
0
p
= .
2
1
и p
0
:
2
Теперь подставим эти значения парциальных давлений в закон Дальтона и
получим итоговую формулу:
p = .
Подставив числа, найдём ответ:
p = .
Задача 7.6а (решить с амостоятельно). Один и тот же газ находится в
десяти одинаковых сосудах при одинаковой температуре. Давление газа
в первом сосуде равно p1= 0.1612 МПа, а в каждом последующем — на
0.0713 МПа больше. Найти установившееся давление после того, как сосуды соединили общей трубкой, считая, что при этом температура осталась неизменной. Ответ: p = 0.48215 МПа.
Задача 7.6б (решить самостоятельно). В первом сосуде объёмом V1=
2 л находится газ под давлением p1= 121 кПа, а во втором объёмом V2=
4 л при той же температуре находится газ под давлением p2= 238 кПа.
Эти сосуды соединили общей трубкой с третьим, пустым, сосудом, после
чего установилось давление p = 150 кПа. Найти объём третьего сосуда
V3, считая, что при соединении сосудов температура газа не изменилась.
Ответ: V3= 1.96 л.
95
ТЕМА 8. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КИНЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Формулы (законспектировать и выучить)
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории: p = nkT .
Распределение Больцмана: n = n0e
−U/(kT )
.
Средняя энергия частицы на одну степень свободы: hEi = kT/2.
Средняя скорость молекулы идеального газа: hvi =q8kT /(πm).
Средняя длина свободного пробега молекулы идеального газа: hλi = 1/(√2πd2n).
Связь трёх постоянных: R = kNА.
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести: U = mgh.
Нормальное (центростремительное) ускорение: an= ω2ρ.
#»
R
r
2
Убыль потенциальной энергии в поле потенциальных сил: U1−U2=
#»
F (#»r )d#»r .
r
1
Справочник
k = 1.38 ×10
−23
Дж/К.
NА= 6.022 ×1023моль-1.
R = 8.31 Дж/(моль·К).
g = 9.8 м/c2.
Задача 8.1 Кинетическая энергия молекул
Тренировочный вариант. Для молекулы водяного пара при температуре
T = 600 К определите среднюю кинетическую энергию поступательного
движения E
и среднее значение полной кинетической энергии E
пост
полн
. Для
водяного пара, взятого в количестве ν = 1 кмоль, найдите кинетическую
энергию W поступательного движения всех молекул. Ответ: E
10
−20
Дж, E
= 2.48 ×10
полн
−20
Дж, W = 7.48 мДж.
пост
= 1.24×
Решение (законспектировать). Для решения этой задачи нужно использовать теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы.
Согласно ей, на каждую степень свободы приходится в среднем энергия
E = kT/2.
96
При поступательном движении молекула имеет три независимых направления движения. Это значит, имеется три степени свободы. Следовательно,
E
= .
пост
Подставим числа и найдём ответ:
E
= .
пост
Для вычисления полной кинетической энергии нужно учесть все степени
свободы. Двигаясь в пространстве, молекула, в дополнение к поступательному движению, может также вращаться. Всего существует три независимых направления вращения.
Важный момент! Все три вращательные степени свободы нужно учитывать
только для многоатомных молекул, атомы которых не выстроены в линию.
Например, для молекулы воды это именно так. Если же молекула двухатомная, например, кислород O2, или известно, что её атомы построены в одну
линию, как, например, у углекислого газа CO2, нужно брать только две вращательные степени свободы. Вращение же вокруг третьей, собственной оси
у такой молекулы не несёт энергию. Если же молекула одноатомная, то она
вообще не имеет вращательных степеней свободы.
С учётом вышесказанного запишем формулу для полной средней кинетической энергии молекулы воды:
E
= .
полн
Подставим числа и найдём ответ:
E
= .
полн
Чтобы ответить на последний вопрос задачи, нужно взять среднюю энергию поступательного движения одной молекулы и умножить её на число
молекул. По определению, в одном моле вещества содержится NAмолекул.
Следовательно, если имеется ν моль вещества, то число молекул равно:
N = .
97
Умножим это число на среднюю энергию поступательного движения и получим итоговую формулу:
W = .
Теперь подставим числа и найдём ответ:
W = .
Задача 8.1а (решить самостоятельно). Для молекулы азота N2при
температуре T = 550 К определите среднюю кинетическую энергию
поступательного движения E
ской энергии E
. Для азота, взятого в количестве ν = 500 моль, най-
полн
и среднее значение полной кинетиче-
пост
дите полную кинетическую энергию W движения всех молекул. От-
вет: E
= 1.14 ×10
пост
−20
Дж, E
= 1.90 ×10
полн
−20
Дж, W = 5.71 мДж.
Задача 8.1б (решить самостоятельно). Для смеси ν1= 200 моль гелия He и ν2= 800 моль углекислого газа CO2(молекула линейная) при
температуре T = 650 К вычислите полную кинетическую энергию W
движения всех молекул. Ответ: W = 10.51 мДж.
Задача 8.2 Среднее число столкновений молекулы в секунду
Тренировочный вариант. Найдите среднее число столкновений в секунду
молекулы углекислого газа CO2, которые она испытывает при нормальных
давлении и температуре p0= 101325 Па и T0= 273 К. Эффективный диаметр молекулы CO2d = 10−7см. Молярные массы одноатомных углерода
и кислорода равны µC= 12 г/моль и µO= 16 г/моль соответственно. От-
вет: z = 4 ×1010с-1.
Решение (законспектировать). Среднее время между соударениями равно
отношению средней длины свободного пробега hλi = 1/(√2πd2n) к средней
скорости молекулы hvi =q8kT /(πm):
hλi
τ =
.
hvi
98
За время t молекула совершит t/τ соударений. Значит, за t = 1 с произойдёт
z = 1/τ соударений,
z = .
В формулу входит масса молекулы. Выразим её через молярную массу m =
µ/NА. Подставив это в выражение для z, получим итоговую формулу:
z = .
Мы пока не знаем молярную массу углекислого газа. Для её вычисления
нужно сложить молярные массы, соответствующие каждому из входящих в
молекулу атомов:
µ = .
Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу и найдём ответ:
z = .
Задача 8.2а (решить самостоятельно). Сколько соударений в среднем за
час испытывает молекула водяного пара H2O, находящаяся в воздухе, если давление равно p = 105000 Па, а температура T = 300 К? Эффективный диаметр молекулы принять равным d = 0.3 нм. Молярные массы одноатомных водорода и кислорода равны µH= 1 г/моль и µO= 16 г/моль
соответственно. Ответ: z = 2 ×1013с-1.
Задача 8.2б (решить самостоятельно). Найти среднее время между соударениями для молекулы азота N2в воздухе при температуре T = 275 К
и давлении p = 100 кПа, если известно, что в секунду эта молекула испытывает в два раза меньше соударений, чем молекула кислорода O2.
Эффективный диаметр молекулы кислорода принять равным d = 0.2 нм.
Молярная масса одноатомного азота равна 14 г/моль, а одноатомного кислорода 16 г/моль. Ответ: τ = 10−9с.
99
Задача 8.3 Сосуд прогревают при откачке для получения высокого
вакуума
Тренировочный вариант. На стенках сосудов, содержащих газ, например
воздух, всегда абсорбируются молекулы этого газа. Поэтому для создания
глубокого вакуума недостаточно просто откачивать воздух из сосуда. Требуется также его подогревать, чтобы абсорбированные молекулы газа покинули стенки. Определить приращение давления в сосуде сферической формы
радиусом R = 10 см, в котором покрывавший стенки сосуда газовый слой
толщиной в одну молекулу (поперечное сечение σ = 10
−15см2
) в результате
нагревания до T = 600 К оказался внутри. Ответ: ∆p = 2.48 Па.
Решение (законспектировать). Для решения задачи нам потребуется ос-
новное уравнение молекулярно-кинетической теории: p = nkT . Температура, при которой происходит процесс, остаётся постоянной. Значит, давление
до того, как молекулы покинут стенки сосуда, равно p1= n1kT . После того, как они освободятся и окажутся внутри сосуда, давление станет равным
p2= n2kT . Вычитая второе уравнение из первого, получим:
∆p = .
Таким образом, требуется найти приращение концентрации молекул.
Сначала определим, сколько молекул ∆N умещается на стенках сосуда. Так
как слой молекул мономолекулярный, то их количество будет равно отношению площади поверхности сосуда к площади сечения одной молекулы:
,
∆N =
.
Найдём теперь приращение концентрации как отношение числа молекул к
объёму сосуда:
,
∆n = ∆N
.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]