Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Решение (законспектировать). Шаг 1. В этой задаче единственный дина-
α
# »
mg
#»
N
#»
F
тр
#»
a
X
Y
α
# »
M
Z
мический объект — скатывающийся диск.
Шаг 2. Нарисуем схему. В этой задаче важно пра-
вильно указать точки приложения сил. Сила тяжести и
нормальная реакция опоры проложены к центру масс.
Кроме того, на диск действует сила трения, точка приложения которой — место соприкосновения диска и наклонной плоскости. Направим ось X вниз, вдоль на-
клонной плоскости, ось Y — вдоль#»N. Тогда, чтобы оси
координат образовывали правую тройку, ось Z должна быть направлена
перпендикулярно плоскости рисунка наружу. Изобразим её точкой в круге
(острие стрелы). Точку начала координат O совместим с центром диска.
Шаг 3. Запишем уравнения движения. Диск совершает плоское движение,
которое представляет собой суперпозицию поступательного движения и вращения. Для каждого вида движения запишем уравнение динамики:
m#»a =#»N + + ,
# »
J#»ε =
M.
Шаг 4. Спроецируем уравнения на оси координат. Забегая вперёд, можно
сказать, что нам не понадобится сила нормальной реакции опоры, поэтому
проецировать на ось Y не обязательно.
X:
ma = .
Z:
−Jε = −M.
# »
Знак «минус» у момента появляется из-за того, что ось Z и вектор
M на-
правлены в противоположные стороны. Диск катится с ускорением, т.е. его
# »
угловое ускорение нарастает. Значит, вектора#»ε и
M сонаправлены. Следовательно, ε также приобретает знак «минус», который потом можно будет
сократить.
Шаг 5. Выявим соотношения между величинами.
(а) Угловое ускорение диска и тангенциальное ускорение точек на краях
диска связаны формулой
aτ= εR.
51
Ускорение центра масс a, которое нужно найти, и тангенциальное ускорение
точек на краях диска aτравны по модулю. Следовательно:
ε = .
(б) Вращающий момент диска создаётся силой трения. Поэтому
M = RFтр,
где R — радиус диска.
(в) Момент инерции диска найдём в справочнике:
2
mR
J =
.
2
Шаг 6. Подставим найденные соотношения в уравнения:
ma = ,
= .
Шаг 7. Выразим из этих уравнений a и вычислим его значение:
,
,
,
,
,
52
,
.
Задача 4.4а (решить самостоятельно). Однородный шар скатывается
по наклонной плоскости без проскальзывания. Наклонная плоскость образует угол α = 30◦с горизонтом. Определить ускорение центра шара a.
Ответ: a = 3.5 м/c2.
Задача 4.4б (решить самостоятельно). Найти величину силы трения
цилиндра о наклонную плоскость, которая образует угол α = 33◦с
горизонтом. Цилиндр скатывается без проскальзывания и имеет массу
m = 250 г. Ответ: Fтр= 0.44 Н.
Задача 4.5 Человек переходит от края к центру вращающегося диска
Тренировочный вариант. Большой диск массой M = 300 кг вращается с
постоянной угловой скоростью без трения. На краю стоит человек массой
m = 75 кг. Во сколько раз изменится угловая скорость и кинетическая энер-
гия диска, если человек перейдёт от его края к центру? Размерами человека
по сравнению с диском пренебречь. Ответ: Угловая скорость и кинетическая энергия увеличатся в 1.5 раза.
Решение (законспектировать). В этой задаче выполняется закон сохранения момента импульса:
L1= L2,
где L1— момент импульса для случая, когда человек стоит на краю диска, а
L2— момент импульса, когда человек перешёл в его центр. Вспомним, что
L = Jω, где J — момент инерции, а ω — угловая скорость. Следовательно:
J1ω1= J2ω2.
Здесь J1и ω1— момент инерции и угловая скорость в первом случае, а J2и
ω2— соответствующие величины во втором случае.
Момент инерции диска радиуса R со стоящим на его краю человеком равен:
2
J1=
MR
+ .
2
Записывая эту формулу, нужно учесть, что момент инерции — это аддитивная величина. Кроме того, можно пренебречь размерами человека. Это допустимо в силу того, что он стоит вертикально, и поэтому вся его масса
сосредоточена практически на одинаковом расстоянии от оси вращения.
53
Момент инерции в случае, когда человек стоит в центре, равен:
J2= .
Подставим найденные значения в формулу закона сохранения момента импульса
.
Выразим ω2через ω1:
ω2= × ω1.
Подставим числовые значения и получим ответ:
ω2= × ω1.
Теперь запишем кинетические энергии в первом и во втором случаях:
K1=
J1ω
2
1
, K2=
J2ω
2
2
.
Подставим найденные значения моментов инерции и выражение для ω2:
K1= ,
K2= .
Теперь вычислим отношение K2/K1:
K
2
= .
K
1
Видно, что отношение кинетических энергий равно отношению угловых
скоростей. Следовательно, кинетическая энергия увеличится так же, как и
угловая скорость.
54
Задача 4.5а (решить самостоятельно). Большой диск массой M =
350 кг вращается с постоянной угловой скоростью без трения. На краю
стоит человек массой m = 60 кг. Как изменятся угловая скорость и кинетическая энергия диска, если человек перейдёт в точку, находящуюся
на расстоянии от центра, равном половине радиуса? Размерами человека
по сравнению с диском пренебречь. Ответ: Угловая скорость и кинетическая энергия увеличатся в 1.24 раза.
Задача 4.5б (решить самостоятельно). Большой диск массой M =
400 кг вращается с постоянной угловой скоростью без трения. На краю
стоит человек массой m1= 50 кг, а в центре — человек массой m1=
90 кг. Как изменятся угловая скорость и кинетическая энергия диска, если люди поменяются местами? Ответ: Угловая скорость и кинетическая
энергия станут меньше в 0.86 раз.
Задача 4.6 Человек на скамье Жуковского ловит мяч
Тренировочный вариант. Стоящий на скамье Жуковского человек ловит
мяч массой m = 0.3 кг, который летит прямолинейно и горизонтально со
скоростью v = 25 м/c на расстоянии r = 0.75 м от оси вращения скамьи.
Найти угловую скорость, с которой начинает вращаться скамья, считая что
суммарный момент инерции человека и скамьи равен J = 6.7 кг·м2. От-
вет: ω = 0.82 рад/с.
Решение (законспектировать). Скамья Жуковского представляет собой горизонтальную платформу, которая может свободно вращаться в горизонтальной плоскости (вращающееся кресло).
В этой задаче выполняется закон сохранения момента импульса: L1= L2.
Момент импульса L1до того, как мяч пойман, равен произведению импульса мяча на расстояние до оси скамьи, т.е.:
L1= mvr
Момент импульса системы сразу после того, как мяч оказался в руках, можно вычислить по формуле L2= J
полн
ω:
L2=
J +
55
ω.
Приравняв выражения для L1и L2, найдём формулу для ω:
Теперь найдём численное значение ω:
ω = .
Задача 4.6а (решить самостоятельно). Человек на скамье Жуковского
вращается с угловой скоростью ω = 0.5 рад/с. По горизонтальной траектории, проходящей на расстоянии r = 0.7 м от оси вращения, ему бросают мяч массой m = 0.5 кг, которой он ловит, и вращение замедляется
в два раза. С какой скоростью летит мяч? Суммарный момент инерции
человека и скамьи J = 8 кг·м2. Ответ: v = 5.54 м/с.
,
,
.
Задача 4.6б (решить самостоятельно). Человек, стоящий неподвижно
на скамье Жуковского, бросает мяч массой m = 0.4 кг в горизонтальном
направлении со скоростью v = 10 м/с. Начальный участок траектории
мяча проходит на расстоянии r = 0.8 м от оси скамьи. При этом скамья начинает вращаться с угловой скоростью ω = 0.9 рад/c. Определите
суммарный момент инерции человека и скамьи. Ответ: J = 3.56 кг·м2.
56
ТЕМА 5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
α
′
ℓ
′
y
ℓ
′
x
Y
′
X
′
ℓ
′
X
Y
#»
v
Формулы (законспектировать и выучить)
Преобразование поперечного размера: `⊥= `
Преобразование продольного размера: `||= `
0
.
⊥
q
0
1 −v2/c2.
||
Преобразование интервала времени: ∆t = ∆t0/q1 −v2/c2.
Энергия релятивистской частицы: E2= p2c2+ m
2
0
c4.
Импульс релятивистской частицы:#»p =#»v E/c2.
Энергия релятивистской частицы с ненулевой массой: E = m0c2/q1 −v2/c2.
Кинетическая энергия релятивистской частицы: K = E − m0c2.
Скорость релятивистской частицы в подвижной системе отсчёта:
0
v
= (vx− V )/(1 −vxV/c2), v
x
0
y
= v
q
1 −(V /c)2/(1 −vxV/c2).
y
Справочник
c = 3 ·108м/с.
Задача 5.1 Релятивистское изменение длины стержня при движении
под углом к его оси
Тренировочный вариант. Первоначально покоившемуся тонкому стержню
сообщили скорость v = 0.25c, направленную под углом α0= 30◦к его
продольной оси в состоянии покоя. Вычислите в процентах приращение
его длины. Ответ: p = −2.63%.
Решение (законспектировать). Нарисуем схему. Нештрихованная система
отсчёта покоится, а штрихованная движется вместе со стержнем со скоростью#»v вдоль оси X. Следовательно, в штрихованной системе отсчёта
стержень покоится.
Известно, что продольные (т. е. ориентированные
вдоль направления скорости) размеры движущихся
предметов сокращаются вq1 −v2/c2раз, а поперечные не меняются. Следовательно, надо выразить длину стержня через его продольные и поперечные компоненты.
В штрихованной системе отсчёта стержень покоится, и его длина равна
`0=r(`
0
)2+ (`
x
57
y
0
)2.
В нештрхованной он движется и, следовательно:
` =r`
2
x
+ `
v
u
u
u
u
2
=
(`
t
y
0
2
)
x
+ (`
0
y
)2.
В задаче требуется вычислить приращение, значит, из конечного значения
` нужно вычислить первоначальное значение `0. Проценты означают, что
требуется отнести приращение к исходному значению длины `0:
0
`
=
0
`
0
`
− 1 =
− 1 =
!
2
v
−
2
c
− 1.
=
v
u
u
u
u
u
u
u
u
u
t
=
v
u
u
u
u
u
u
u
u
u
t
` −`
p =
Чтобы получить расчётную формулу в окончательном виде, нужно учесть,
что cos α0= `
0
/`0. Тогда
x
v
u
u
u
t
p =
1 −
!
2
v
2
c
− 1.
Теперь подставляем числа и вычисляем ответ:
p = .
Задача 5.1а (решить самостоятельно). Длина стержня, измеренная в
системе отсчёта, относительно которой он покоится, равна `0= 0.75 м, а
угол наклона к оси X0этой системы отсчёта равен α0= 10◦. Определить
длину ` и угол наклона α стержня относительно системы отсчёта, в которой он движется вдоль оси X со скоростью v = 0.76c. Ответ: ` = 0.5 м,
α = 15◦.
58
Задача 5.1б (решить самостоятельно). Стержень в системе отсчёта, в
которой он неподвижен, наклонён к оси X0под углом α0= 30◦. Угол
наклона в системе отсчёта, в которой он движется вдоль оси X со скоростью v, составляет α = 40◦. Во сколько раз скорость v меньше скорости
света? Ответ: v/c = 0.73 м.
Задача 5.2 Релятивистское изменение плотности вещества при
движении
Тренировочный вариант. Плотность вещества астероида, измеренная в си-
стеме отсчёта, в которой он покоится, равна ρ0. С какой скоростью должен
двигаться мимо него космический зонд, чтобы его приборы регистрировали
в полтора раза более высокую плотность ρ. Ответ: v = 0.75c.
Решение (законспектировать). Плотность вещества равна отношению массы покоя тела к его объёму. Значит, собственная плотность астероида, измеренная в системе отсчёта, в которой он покоится, равна
ρ0=
V
.
0
Когда измерения производятся зондом, астероид движется по отношению к
нему, и, следовательно, его продольные размеры сокращаются.
Пусть движение происходит вдоль оси X. Если собственный продольный
размер тела равен x0, то в подвижной системе отсчёта этот размер стано-
m
вится короче:
x = x
q
0
1 −v2/c2.
Поперечные размеры не изменяются:
y = y0, z = z0.
Если бы астероид имел прямоугольную форму, то его объём был бы равен
V0= x0y0z0, и тогда легко видеть, что V = V
q
0
1 −v2/c2.
У астероида сложная форма. Выведем для него формулу пересчёта. Чтобы
найти его объём, мысленно поделим его на бесконечно маленькие кубики и
просуммируем их объёмы. Эта процедура сводится к вычислению тройного
интеграла. В системе отсчёта, где астероид покоится, его объём равен
V0=
ZZZ
dx0dy0dz0.
59
Перейдём в систему отсчёта, связанную с зондом. Для этого нужно пересчитать только продольные размеры:
q
dx = dx
0
1 −v2/c2, dy = dy0, dz = dz0.
В итоге получаем формулу для пересчёта объёма тела произвольной формы
ZZZ
V =
ZZZ
=
dx dy dz =
× × =
= V0× .
Теперь вернёмся к вычислению плотности. В собственной системе отсчёта
имеем
ρ0=
m
V
.
0
В системе отсчёта зонда
m
ρ =
.
V
Заметим, что в обоих случаях берётся одна и та же масса — масса покоя.
Поделив одну формулу на другую и учтя формулу пересчёта объёма, полу-
чим формулу релятивистского увеличения плотности вещества:
ρ = ρ0× .
Теперь, чтобы найти ответ задачи, учтём, что по условию задачи ρ =
Следовательно:
v
u
u
u
2
t
=
.
3
2
ρ0.
3
Отсюда получаем искомую скорость, выраженную в долях скорости света:
v
= .
c
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]