Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Задача 5.2а (решить самостоятельно). Пролетая со скоростью v1= 0.1c
мимо первого астроида, космический зонд измерил плотность его вещества, равную ρ. Затем он пролетел мимо второго астероида со скоростью
v2и получил точно такую же плотность ρ. Считая, что собственная плот-
ность второго астероида (измеренная в системе отсчёта, в которой он
покоится) в два раза меньше плотности первого, вычислить скрость v2.
Ответ: v2= 0.87c.
Задача 5.2б (решить самостоятельно). Первый космический зонд пролетел мимо астероида с некоторой скоростью v1и измерил его плотность. Второй зонд пролетел мимо этого же астероида в два раза быстрее, получив в три раза большее значение плотности. Вычислите скорость первого зонда, запишите её в долях скорости света. Ответ: v1=
0.48c.
Задача 5.3 Релятивистское изменение времени жизни движущейся
частицы
Тренировочный вариант. Некоторая нестабильная субатомная частица име-
ет собственное время жизни ∆t0= 3.5 мкс. В системе отсчёта, относительно
которой частица движется со постоянной скоростью v, она успевает до распада пройти путь ` = 45 км. Найти время жизни частицы ∆t относительно
этой системы отсчёта. Ответ: t = 150 мкс.
Решение (законспектировать). Время жизни частицы в системе отсчёта, в
которой она движется со скоростью v, можно вычислить по формуле
0
∆t
∆t =
q
1 −v2/c
.
2
Здесь мы пока не знаем скорость v. Выразим её через время жизни ∆t и
дальность полёта `:
v = .
Подставив выражения для скорости в предыдущую формулу, получим уравнение:
∆t =
v
u
u
u
u
t
1 −
∆t
0
.
2
2
/c
61
Выразим отсюда ∆t:
v
u
u
u
∆t =
t
(∆t0)2+ .
Теперь подставим числовые значения и найдём ответ:
∆t = .
,
,
,
Задача 5.3а (решить самостоятельно). Нестабильная субатомная частица имеет собственное время жизни ∆t0= 1.3 мкс. Двигаясь относительно лабораторной системы отсчёта с некоторой скоростью, частица до распада проходит путь ` за время ∆t = 90 мкс. Найти `. От-
вет: ` = 27 км.
Задача 5.3б (решить самостоятельно). Нестабильная субатомная частица имеет собственное время жизни ∆t0= 9.5 мкс. Двигаясь относительно лабораторной системы отсчёта с некоторой скоростью v, частица до
распада проходит путь ` = 15 км. Найти v в единицах скорости света c.
Ответ: v = 0.98c.
Задача 5.4 Работа, совершаемая при релятивистском разгоне частицы
Тренировочный вариант. Электрон, масса которого m0= 9.11 × 10
−31
кг,
был разогнан от скорости v1= 0.25c до скорости v2= 0.75c. Какая работа
была при этом совершена? Ответ: A = 0.4 ×10
−13
Дж.
Решение (законспектировать). Работа по разгону частицы расходуется на
приращение её кинетической энергии. Следовательно, нам нужно отыскать,
как изменилась кинетическая энергия частицы.
В специальной теории относительности было обнаружено, что даже если
частица неподвижна, она обладает так называемой энергией покоя E0=
62
m0c2(в классической механике этой энергией пренебрегают). Движущаяся
частица обладает энергией E, которая при наличии у частицы ненулевой
массы m0равна
E = m0c2/q1 −v2/c2.
(У таких частиц, как фотон, нет массы, и для них энергия вычисляется
иначе.) С другой стороны, энергия E складывается из кинетической энергии
и энергии покоя. Следовательно, для кинетической энергии имеем:
K = − .
Таким образом, работа, совершённая при разгоне, равна:
A = K2− K1= − .
Подставим сюда числовые значения и получим ответ:
A = .
Задача 5.4а (решить самостоятельно). Протон с массой m0= 1.67 ×
−27
10
Дж, летевший со скоростью v1= 0.5c, был разогнан так, что его
скорость возросла на 10%. Какая работа была при этом совершена? От-
вет: A = 0.6 × 10
−11
Дж.
Задача 5.4б (решить самостоятельно). Альфа-частицу, масса которой
m0= 6.64 ×10
сти v, совершив при этом работу A = 0.5 ×10
−27
Дж, разогнали из состояния покоя до некоторой скоро-
−11
Дж. Найдите v, выразив
её в долях скорости света. Ответ: v = 0.13c.
Задача 5.5 Релятивистское сложение скоростей частиц
Тренировочный вариант. Из ускорителя вылетели две субатомные реля-
тивистские частицы и начали двигаться под углом α = 30◦друг к другу.
Скорости первой и второй частиц относительно неподвижного ускорителя
равны u = 0.7c и v = 0.8c, соответственно. С какой скоростью одна частица
удаляется от другой? Ответ: v
= 0.55c.
отн
Решение (законспектировать). Свяжем неподвижную систему отсчёта K
с ускорителем, а подвижную K0— с первой частицей. Направим оси X и X
63
0
этих систем отсчёта вдоль вектора скорости первой частицы#»u . Остальные
α
#»
u
Y
′
X
′
X
Y
#»
V
Z
Z
′
#»
v
оси сделаем попарно параллельными. Направим их так, чтобы проекции
вектора скорости второй частицы#»v на оси Z и Z0были равны нулю.
Скорость K0относительно K будет равна V = u.
Искомая скорость разбегания частиц v
равна ско-
отн
рости второй частицы в подвижной системе отсчёта K0.
Чтобы найти v
#»
v на оси координат K. Затем пересчитаем эти ко-
, сначала найдём проекции вектора
отн
ординаты по отношению к K0. Наконец, вычислим
модуль полученного вектора#»v0: v
= |#»v0|. Так как частицы релятивист-
отн
ские, для перехода от одной системы отсчёта к другой нужно использовать
релятивистские формулы пересчёта скоростей.
Проекции вектора#»v на оси координат K:
vx= v × ,
vy= v × .
Релятивистские формулы пересчёта скоростей:
0
v
x
0
v
y
vx− V
=
1 −vxV/c
q
v
y
=
1 −vxV/c
,
2
1 −(V /c)
2
2
.
Модуль вектора#»v0:
v
u
u
u
u
u
v
отн
= |#»v0| =
v
u
u
u
t
t
=
Теперь подставим числа и получим ответ:
v
=
отн
1 −vxV/c
64
2
+
2
2
=
.
.
Задача 5.5а (решить самостоятельно). Две релятивистские частицы
покидают ускоритель и начинают двигаться под прямым углом друг к
другу. Вторая частица движется в три раза быстрее первой. Найдите
скорости частиц относительно неподвижного ускорителя, выразив их в
долях скорости света, если вторая удаляется от первой со скоростью
v
= 0.28c. Ответ: u = 0.09c, v = 0.27c.
отн
Задача 5.5б (решить самостоятельно). Две релятивистские частицы покидают ускоритель и начинают двигаться с одинаковыми скоростями
v = 0.75c относительно неподвижного ускорителя под некоторым углом α друг к другу. Найдите α, если частицы удаляются друг от друга
со скоростью, равной скорости их движения относительно ускорителя.
Ответ: α = 53◦.
Задача 5.6 Релятивистские энергия и закон сохранения импульса
Тренировочный вариант. На субатомную релятивистскую частицу мас-
сы m1= 6.64 · 10
частица с массой покоя m2= 3.35 · 10
−27
кг, находящуюся в состоянии покоя, налетает другая
−27
кг и с кинетической энергией
K2= 1.6 · 10−9Дж. Столкнувшись, частицы объединяются в одну и далее
движутся как целое. Найти массу M образовавшейся частицы и модуль её
скорости V в единицах c. Ответ: M = 1.83 · 10
−26
кг, V = 0.75c.
Решение (законспектировать). В задачах на неупругий удар макроскопических тел происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю,
что приводит к повышению их температуры, а закон сохранения механической энергии не выполняется. Напротив, в данной и подобных задачах субатомные частицы не обладают собственной температурой, и поэтому энергия движения не превращается во внутреннюю. Значит, можно использовать
закон сохранения энергии.
В специальной теории относительности обнаружено, что частица обладает
энергией даже когда покоится. Эта энергия называется энергией покоя и
равна E0= m0c2. Полная энергия движущейся частицы складывается из
кинетической энергии и энергии покоя: E = K + m0c2.
Таким образом, закон сохранения энергии имеет вид:
E1+ E2= E.
65
Первая частица покоилась перед столкновением, поэтому её полная энергия
E1равна её энергии покоя:
E1= .
Полная энергия второй частицы до столкновения складывается из энергии
покоя и кинетической энергии:
E2= + .
Следовательно, полная энергия частицы, возникшей после соударения, может быть записана следующим образом:
E = .
Теперь запишем закон сохранения импульса. Пусть#»p1и#»p2— импульсы
частиц до соударения, а#»P — импульс после соударения. Тогда:
#»
p1+#»p2=#»P .
Так как первая частица покоилась, то#»p1= 0. Значит
#»
P =#»p2.
Вычислим модуль импульса P = p2, используя формулу связи полной энергии и импульса. В общем виде эта формула имеет вид: E2− p2c2= m
2
0
c4.
Запишем её для второй частицы:
2
E
2
− p
2
c2= m
2
2
2
c4.
Подставим сюда выражение для E2:
2
− p
2
c2= m
2
2
2
c4.
66
Раскроем скобки и найдём P = p2:
v
u
u
u
P = p2=
t
,
,
,
+ .
Снова используем формулу E2− p2c2= m
2
c4, но теперь для частицы, воз-
0
никшей после соударения:
E2− P2c2= M2c4.
Подставим сюда найденные выражения для P и E:
2
−
Выразим отсюда M :
2
c2= M2c4.
,
,
v
u
u
u
M =
t
+ .
Теперь подставим числовые значения:
M = .
67
,
,
Для вычисления модуля скорости используем формулу#»p =#»v E/c2:
P =
.
2
c
Выразим отсюда отношение V /c и подставим выражения для полной энергии составной частицы и её импульса:
V E
V
c
=
P c
,
E
V
= .
c
Подставив числовые значения, получим:
V
= .
c
Задача 5.6а (решить самостоятельно). Субатомная релятивистская частица массы m1= 3.12 · 10
сталкивается с покоящейся частицей массой m2= 6.18 ·10
−27
кг, двигаясь со скоростью v1= 0.75c,
−27
кг. Столкнувшись, частицы объединяются в одну и далее движутся как целое.
Найти массу M образовавшейся частицы и её скорость. Ответ: M =
1.03 ·10
−26
кг, V = 0.32c.
Задача 5.6б (решить самостоятельно). Две субатомные релятивистские
частицы с одинаковыми массами m = 5.52·10
−27
кг двигаются навстречу
друг другу с одинаковыми скоростями v = 0.8c. После столкновения
частицы слипаются в одну. Вычислите массу M образовавшейся частицы
и её полную энергию E. Ответ: M = 1.84 ·10
−26
кг, E = 1.66 ·10−9Дж.
68
ТЕМА 6. КОЛЕБАНИЯ
Формулы (законспектировать и выучить)
Связь между силой и потенциальной энергией:#»F = −grad U.
Гармоническое колебание: x(t) = A cos(ωt + α) = A sin(ωt + β), где β =
α + π/2.
Фаза гармонического колебания: ωt + α.
Начальная фаза гармонического колебания: α.
Связь циклической частоты и периода: ω = 2π/T .
Связь частоты и циклической частоты: ω = 2πν.
Период математического маятника: T
Период пружинного маятника: T
Период физического маятника: T
пруж.маятн.
физ.маятн.
мат.маятн.
= 2πq`/g.
= 2πqm/k.
= 2πqJ/(mga).
Момент инерции цилиндра (диска) относительно оси симметрии:
J
цил.ось
= mR2/2.
Момент инерции стержня относительно поперечной оси, проходящей через
центр масс: J
стерж.попереч.
Теорема Штейнера: J = J
= m`2/12.
+ ma2.
ц.м.
Справочник
cos(π − α) = −cos α.
cos(π + α) = −cos α.
a2= b2+ c2− 2bc cos α.
g = 9.8 м/c2.
Задача 6.1 Период малых колебаний частицы в потенциальном поле
Тренировочный вариант. Частица массы m = 20 мгр совершает малые
колебания в одномерном потенциальном поле, заданном формулой U (x) =
4 cos(x) −cos2(3x) −3 в окрестности точки x = 0. Вычислите период коле-
баний. Ответ: T = 75 мс.
Решение (законспектировать). Вспомним, что если частица имеет потенциальную энергию U, то можно вычислить силу, которая действует на эту
69
частицу:
#»
F = grad U.
Так как в этой задаче потенциальная энергия зависит только от x, градиент
сводится к производной U по x:
F (x) = −dU (x)/dx,
F (x) = .
Мы получили формулу для действующей на частицу силы в зависимости от
её координаты x.
Эта формула достаточно сложная, однако в задаче сказано, что точка совершает малые колебания вблизи точки x = 0. Это позволяет существенно
упростить задачу.
В математике доказано, что практически любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы степенных функций:
F (x) = F (0) +
dF (0)
dx
x +
1
2!
d2F (0)
dx
x2+
2
1
3!
d3F (0)
dx
3
x3+ . . .
Такое разложение называется рядом Тейлора.
Из условий задачи следует, что x никогда сильно не отклоняется от нуля.
Чтобы понять, как это можно использовать, предположим, например, что
x = 0.1. Тогда x2= 0.01, x3= 0.001 и т. д. Видно, что если x мало, то каждое последующее слагаемое в формуле разложения Тейлора значительно
меньше предыдущего. Поэтому если отбросить все члены, кроме нескольких первых, мы получим приближённое выражение для F (x), которое будет
значительно проще исходного.
Если оставить только член нулевого порядка, F (0), то мы вообще потеряем
зависимость от x, и пользы от такого упрощения будет мало. Поэтому простейшее нетривиальное приближённое выражение включает в себя нулевой
и первый члены:
F (x) ≈ F (0) +
dF (0)
x.
dx
Используем это, чтобы упростить наше выражение для силы F(x). Сначала
запишем F (x) при x = 0:
F (0) = .
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]