Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цепи переменного тока. Расчет цепей переменного тока. Учебно-методическое пособие
.pdf
как ток и напряжение постоянно меняют своё значение, то и мощность
мгнмгнмгн
IUP
)21(
22
2
tCos
IU
tSinIUIUP
mm
mmмгнмгнмгн
tCosIUIUP
мгн
2
dttIUdtIUdttIUIUPdtW
T T T T
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2cos)2cos(
соответственно будет меняться в каждый момент времени. Такая мощность
называется мгновенной. Мгновенная мощность цепи равна произведению
мгновенных значений тока и напряжения. Мощность определяет скорость
расхода энергии, и, следовательно, для цепей переменного тока является
величиной переменной.
Мгновенная мощность по определению равна:
.
Используя гармоническую зависимость силы тока и напряжения можно
определить мгновенную мощность для переменного тока как:
.
Учитывая соотношение между мгновенными и действующими
значениями тока и напряжения, получаем для мгновенной мощности
выражение:
.
Мгновенная мощность, оставаясь, все время положительной колеблется
около уровня U·I.
Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее
использовать среднее значение мощности. И для определения расхода
энергии за длительное время целесообразно также пользоваться средним
значением мощности. Среднее значение мощности можно найти, вычислив
работу, совершаемую электрическим током за один период. Так как средняя
мощность определяет энергию, подводимую от источника к электрической
цепи за одну секунду.
Для вывода выражения средней мощности найдем сначала расход
энергии в цепи за полупериод:
После интегрирования и соответствующих преобразований получаем
.
21
следующее выражения для энергии:
IU
T
W
2
2
Т
.IUP
.
Разделив полученное выражение на
, получим среднюю скорость
расхода энергии:
Для активного сопротивления вводится понятие активной мощности Р.
Электрическая энергия, которая преобразуется на активном сопротивлении в
тепловую энергию, называется активной мощностью Р.
Активная мощность измеряется ваттметром, единица измерения – Ватт;
[P]=Вт.
1.4. 2. Электрическая цепь с индуктивным сопротивлением
Огромное влияние на процессы, протекающие в цепях, имеет явление
электромагнитной индукции.
Явление электромагнитной индукции заключается в том, что
изменение магнитного поля вокруг проводника, связанное с пересечением
проводника магнитными силовыми линиями, вызывает появление
электродвижущей силы в этом проводнике, т.е. в замкнутом проводящем
контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим
контуром, возникает электрический ток, получивший название
индукционного. Индукционный ток возникает всегда, когда происходит
изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции.
При этом безразлично, будет ли изменяться магнитное поле
относительно проводника или проводник будет перемещаться в магнитном
поле.
Всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром
потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток.
Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи
22
электродвижущей силы, которая называется электродвижущей силой
i
i
dt
dФ
i
dt
dФ
i
0
dt
dФ
0
i
0
dt
dФ
0
i
i
электромагнитной индукции (ЭДС –
следовательно, и ЭДС электромагнитной индукции
). Значение индукционного тока, а,
определяются только
скоростью изменения магнитного потока, т. е.:
. (3)
Было установлено, что значение индукционного тока совершенно не
зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а определяется
лишь скоростью его изменения, согласно закону Фарадея.
Закон Фарадея: электродвижущая сила электромагнитной индукции в
контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения
магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:
. (4)
Единица измерения электродвижущей силы электромагнитной
индукции – Вольт; [ ]=В.
Закон Фарадея является универсальным: электродвижущая сила не
зависит от способа изменения магнитного потока.
Знак минус в формуле (4) показывает, что увеличение потока (
вызывает электродвижущую силу:
, т.е. поле индукционного тока
направлено навстречу потоку. Уменьшение потока (
электродвижущую силу:
, т. е. направления потока и поля
) вызывает
)
индукционного тока совпадают. Знак минус в формуле (4) определяется
правилом Ленца – общим правилом для нахождения направления
индукционного тока.
Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое
направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению
магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.
23
Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя
ILФ
А
сВ
А
Вб
Гн
1
1
1
1
l
SINФ
2
0
l
SN
L
2
0
магнитное поле, индукция которого, по закону Био– Савара –Лапласа
пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф
прямо пропорционален силе тока I в контуре:
, (5)
где L – коэффициент пропорциональности и называется индуктивностью
контура.
Единица измерения индуктивности – Генри (Гн); [L]=Гн.
1 Гн – индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции
которого при токе в 1 А равен 1 Вб:
.
Полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен:
.
Тогда индуктивность бесконечно длинного соленоида из формулы (5) равна:
,
т. е. индуктивность соленоида (катушки) зависит от числа витков соленоида
N его длины l магнитопровода, площади S и магнитной проницаемости μ
вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Значение
индуктивности L зависит от конструкции элементов цепи (рис.8).
Индуктивность контура в общем случае зависит только от
геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости
той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура —
аналог электрической емкости уединенного проводника.
Индуктивностью обладают также одиночный прямой провод,
двухпроводная линия, коаксиальный кабель.
Обмотки электрических машин, трансформаторов, реле, катушки
индуктивности обладают значительной индуктивностью.
24
s
dt
dL
I
dt
dI
L
dt
ILd
dt
dФ
s
)(
constL
dt
dI
Ls
U
0r
Рис.8
При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и
сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет
индуцироваться электродвижущая сила.
Возникновение электродвижущей силы индукции в проводящем
контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.
Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что
электродвижущая сила самоиндукции
равна:
.
Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не
изменяется, то индуктивность постоянна
, а так как производная от
постоянной величины равна 0, тогда ЭДС самоиндукции будет равна:
,
где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие
индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.
При исследовании цепей с электродвижущей силой самоиндукции
условились положительное направление электродвижущей силы
самоиндукции брать совпадающим, с положительным направлением тока,
который наводит эту электродвижущую силу. Но электродвижущая сила
источника равна его внешнему напряжению:
электродвижущей силы внутреннее сопротивление
25
(у источника
и ЭДС не зависит
от тока нагрузки проходящего через источник
constU
dt
dI
L
s
0
dt
dI
0
s
0
dt
dI
0
s
U
самоиндукции и ток связаны уравнением:
. (6)
), а ЭДС
Согласно формуле (6) если ток со временем увеличивается, то
и
, то есть ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному
внешним источником, и замедляет его возрастание. Если ток со временем
падает, то
и
, то есть индукционный ток имеет тоже
направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание.
Таким образом, контур, обладая индуктивностью, приобретает
электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение
тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.
Переменный ток встречает в проводниках не только омическое
сопротивление. Непрерывное противодействие ЭДС, препятствующее
изменению переменного тока, создает в цепи дополнительное сопротивление.
Это дополнительное сопротивление называют индуктивным
сопротивлением. Таким образом, катушки и разные обмотки, поскольку в
них есть индуктивность, оказывают большее сопротивление переменному
току, чем постоянному.
Параметрами катушек индуктивности являются активное
сопротивление и индуктивность.
Рассмотрим процессы, которые происходят в цепи переменного тока,
если включена в цепь катушка с индуктивностью L (рис.9), активным
сопротивлением которой можно пренебречь. Такую катушку называют
идеальной. Вследствие самоиндукции в катушке возникнет ЭДС,
препятствующая изменению тока в цепи. Поскольку активным
сопротивлением катушки можно пренебречь, тогда ЭДС и напряжение будут
одинаковы:
.
26
Если к цепи, содержащей катушку индуктивности, приложено
dt
dI
Ls
0
dt
dI
LtSinU
m
tSinU
dt
dI
L
m
L
U
dt
dI
LUL
dttSin
L
U
dI
m
tCos
L
U
I
m
L
U
m
m
I
переменное напряжение, то в ней потечет переменный ток, в результате чего
возникает ЭДС самоиндукции:
. (7)
Рис.9
Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи будет, имеет вид:
. (8)
Откуда следует что:
.
Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то
можно обозначить
как падение напряжения на катушке:
. (9)
Из уравнения (6) можно определить силу тока на катушке:
. (10)
После интегрирования выражения (8) и учитывая, что постоянная
интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая
тока), получим:
. (11)
Из выражения (11) следует, что
есть амплитудное значение силы
тока
.
27
Поэтому выражение (11) можно записать в виде:
tCosII
m
L
U
I
m
m
L
L
Х
LХ
L
0
L
U
m
mm
ILU
L
U
tSinU
dt
dI
LU
mL
tSinUU
mL
mm
ILU
tSinUtSinILU
mmL
tCos
L
U
I
m
tCosI
m
.
А формула
амплитудного значения. Следует из этого также, что величина
, есть не что иное, как закон Ома для
– является
сопротивлением, которое называется реактивным индуктивным
сопротивлением
(или индуктивным сопротивлением):
.
Из выражения (11) также вытекает, что для постоянного тока (
катушка индуктивности не имеет сопротивления.
Амплитуду напряжения на катушке получим из выражения
которое есть амплитудное значение силы тока.
Тогда амплитуда напряжения будет равна:
. (12)
Для определения падения напряжения на катушке
используем
)
,
уравнения (8) и (9) и преобразуем их:
. (13)
Из уравнения (11) следует выражение для напряжения на катушке:
. (14)
Подставляя амплитудное значения напряжения
в
выражение (14) получаем выражение для падения напряжения на катушке
индуктивности:
.
Сила тока на катушке индуктивности согласно (11) определена как:
. (15)
Равенство (15) сведем к синусоидальной зависимости силы тока. После
тригонометрических преобразований равенства (15) получаем:
28
)
2
(
tSinItCosII
mm
. (16)
2
2
2
2
Сравнение выражений (14) и (16) приводит к выводу, что падение
напряжения UL на катушке индуктивности опережает по фазе ток I текущий
через катушку, на
, что и показано на векторной диаграмме рисунок 10.
Рис.10
Из полученного результата получили, что сила тока в идеальной
катушке индуктивности отстает по фазе от приложенного напряжения на
Это означает, что напряжение на идеальной катушке индуктивности
опережает по фазе силу тока на
(рис.11).
.
Рис.11
Поскольку напряжение опережает по фазе ток на
, то вектор
напряжения повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в
математике это направление считают положительным).
С увеличением частоты тока индуктивное сопротивление увеличивается.
Физически это объясняется тем, что возрастает скорость изменения тока, а,
29
следовательно, и ЭДС самоиндукции.
)
2
()(
tSinUtSinIIUP
mmмгнмгнмгн
Иногда необходимо увеличить сопротивление в цепи переменного
тока, в этом случае в цепь включают катушку со стальным сердечником,
называемую дросселем. Большая самоиндукция мешает увеличению тока и
поддерживает его в моменты спада. Дроссели применяются: в электросварке,
в различных выпрямителях, в радиотехнических устройствах.
Для защиты электрических сетей от токов короткого замыкания
устанавливают реакторы – большие катушки из толстого медного провода.
Для обычного переменного тока они представляют очень небольшое
сопротивление. При мгновенном увеличении тока короткого замыкания в
реакторе индуктируется большая электродвижущая сила самоиндукции. Она
противодействует этому увеличению и ограничивает ток короткого
замыкания до безопасной величины, чем защищает ценное оборудование –
генераторы, трансформаторы, электродвигатели – от разрушения.
Обычно катушки и обмотки имеют значительное индуктивное
сопротивление. Когда нужно, чтобы катушка в цепи переменного тока не
имела индуктивного сопротивления, а только активное, то провод на катушку
накладывают так: весь провод складывают вдвое и тогда наматывают на
катушку. Обмотка, выполненная таким образом, называется бифилярной, или
двухвитковой.
Отсутствие индуктивности в таких катушках объясняется тем, что
магнитные поля, создающиеся противоположно направленными токами в
двух половинах обмотки, взаимно компенсируются. Поэтому катушка в
целом не создает магнитного потока и в ее витках не индуктируется
электродвижущая сила.
Как и для цепи с активным элементом, мгновенное значение мощности
определяется произведением мгновенных значений напряжений и тока:
.
После тригонометрических преобразований получаем выражение для
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]