Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки России
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
В. Л. Крепкогорский
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Учебное пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2014
Рецензенты:
д-
р физ.
-
мат. наук, проф. каф.
высшей
ISBN 978
-5-
7882
-
1650
-
8 © Крепкогорский В.Л.,
2014
© Казанский национальный исследовательский
УДК 517.9(075)
ББК 22.16я7
Крепкогорский В.Л.
Функциональный анализ : учебное пособие / В.Л.
Крепкогорский; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед.
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2014. – 116 с.
ISBN 978-5-7882-1650-8
Содержит краткое изложение теории метрических и банаховых
пространств, линейных операторов. Рассматриваются приложения к
приближенным методам решения дифференциальных уравнений.
При решении задач функционального анализа используется
компьютерная программа для аналитических вычислений Maxima.
Предназначено для бакалавров, изучающих дисциплину
«Функциональный анализ» в рамках направления подготовки
010500.62 «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем».
Подготовлено на кафедре высшей математики.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического
университета
математики КГАСУ П. Л. Шабалин
д-р физ.-мат. наук проф. зав. каф. общей
математики КФУ Е.А. Широкова
технологический университет, 2014
2
ВВЕДЕНИЕ
7.5. Второе сопряженное пространство……………………………………..….
СОДЕРЖАНИЕ
…….…….. ……... .……………….…………………………………...
1. Метрические пространства …… …………………..…………………………….
1.1 Определение метрических пространств…………...……….………………
1.2. Предел последовательности……………………………………..................
1.3. Предельные точки. Открытые и замкнутые множества……….................
1.4. Примеры метрических пространств…………...……………………….......
1.5. Полные пространства……………………...…………………......................
2. Принцип сжатых отобраний……………………………………...........................
2.1. Оператор сжатия. Теорема о неподвижной точке оператора сжатия …...
2.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций……………….
2.3. Оценки погрешности метода простой итерации………………………….
2.4. Метод Зейделя……………………………….………………………………
3. Линейные нормированные пространства………………..………………………
3.1. Аксиомы линейного пространства…………………………………………
3.2. Линейно зависимые и линейно независимые элементы……….…………
3.3. Линейные многообразия…………………………………………....………
3.4. Линейные нормированные пространства………………………….………
4. Гильбертово пространство……..............................................................................
4.1. Скалярное произведение……………………………………………………
4.2. Аксиомы гильбертова пространства………………………………….……
4.3. Ортогональность, ортонормированные системы……………....................
4.4. Разложение элементов Гильбертова пространства в ряд Фурье…………
5. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической
системе функций……………………………………………………………..……
5.1. Тригонометрическая система функций……………………………...……
5.2. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда……………………………………………
5.3. Условия Дирихле. Теорема Дирихле……………………………..……..…
5.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций………………….…...………
6. Линейные операторы.…………………………………………......………………
6.1. Отображения, операторы, линейные операторы………………….............
6.2. Непрерывность ограниченного линейного оператора……………………
6.3. Норма оператора………………………...……………………………..……
6.4. Пространство линейных ограниченных операторов…………………...…
6.5. Обратные операторы……………………………………...……………...…
6.6. Существование обратного оператора………………………………...……
6.7. Операторы, зависящие от параметра…………………………....................
7. Линейные функционалы…………..…………………………..……......................
7.1. Пространство линейных функционалов………………………………...…
7.2. Теорема Хана - Банаха………………………………...……………………
7.3. Общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых про-
странствах………………………………….…………………………………………
7.4. Примеры сопряженных пространств………………………………………
8. Сопряженные и самосопряженные операторы…………..……………...…........
8.1. Сопряженные операторы…………………………………..…….................
5
5
5
6
6
7
11
12
12
12
14
17
17
17
18
19
19
22
22
22
24
25
27
27
28
29
31
33
33
33
34
34
35
36
36
38
38
39
39
42
43
43
43
3
8.2. Самосопряженные операторы……………………………...………………
8.3. Спектр самосопряженного оператора………………………...……………
9. Компактные множества и вполне непрерывные операторы………....................
9.1. Компактные множества в метрическом пространстве……………………
9.2. Вполне непрерывные операторы………………………………….……......
9.3. Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора……………
9.4. Интегральные уравнения Фредгольма…………………. …………………
9.5. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные функции…………..…..............
9.6. Свойства решений задачи Штурма-Лиувилля. …………………...………
10. Приближенно-аналитические методы решения краевых задач………....……
10.1. Классификация приближенных методов решения
дифференциальных уравнений………………………………...…………..........
10.2. Метод коллокации……………………………………………….………...
10.3. Метод Галеркина…………………………………..…………...………….
11. Вариационные методы решения задач математической физики……………..
11.1. Метод Ритца……………………..……………………………….………...
11.2. Общая схема решения уравнения = c помощью метода Ритца .…
11.3. Метод конечных элементов……….………………………………………
12. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа…...……………………
12.1. Оригинал. Единичная функция…………………...………………………
12.2. Основная лемма……………………………………………………………
12.3. Преобразование Лапласа. Изображение…………….……………………
12.4. Изображение показательной функции……………..……………………..
12.5. Изображение первой производной……………………..…………………
12.6. Изображения производных высших порядков………..…………………
12.7. Изображение интеграла……………………………………………………
12.8. Теорема запаздывания………………………………………..……………
12.9. Теорема затухания………………………………………...…………….
12.10.Таблица оригиналов и изображений………………………..……………
12.11. Задачи для решения на занятии………………………………………….
13. Операционный метод решения дифференциальных уравнений……….…
13.1. Отыскание оригинала, когда изображение – рациональная дробь…..…
13.2.Теорема Хэвисайда…………………………………………………………
13.3. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными.
коэффициентами операционным методом…………………………………….
13.4. Решение систем линейных уравнений с постоянными коэффициента-
ми операционным методом………………………………………………………..
13.5. Теорема свертывания………………………………..…….………………
13.6. Понятие о дельта-функции………………………………….…………….
13.7. Задачи для решения на занятии……………………………...……………
14. Решение задач функционального анализа с помощью программы Maxima…
15. Примеры лабораторных работ ……… ...............................................................
ОТВЕТЫ ……………………………………..……………..……………………….
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…… ...…………………………………………………
45
47
47
47
48
49
51
52
53
59
59
60
64
68
68
70
76
76
76
77
78
78
79
80
80
81
82
83
83
84
84
84
85
87
88
90
91
92
103
115
116
4
Введение
Функциональный анализ – сравнительно молодая
математическая дисциплина, возникшая в начале XX столетия.
Моментом начала самостоятельного существования функционального
анализа можно считать систематическое построение теории
операторов в бесконечномерных пространствах (Д. Гильберта) и
развитие общей теории нормированных пространств в работах
венгерского математика
Ф. Рисса и, в особенности, польского математика С. Банаха.
Характерной особенностью функционального анализа является
более высокий уровень обобщения, чем в математическом анализе.
Вместо отдельных функций здесь рассматриваются целые
пространства функций. Изучение функциональных уравнений ()=
, где и – объекты из таких пространств, позволяет объединить
рассмотрение таких различных проблем, как решение
дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, граничных
задач, бесконечных систем алгебраических уравнений.
Данное учебное пособие можно рассматривать как краткое
введение в курс функционального анализа. В нем сделана попытка
применить к этой теоретической дисциплине современные программы
для решения аналитических задач. Будут рассмотрены несколько
лабораторных работ с использованием программ Maxima и Excel.
1. Метрические пространства
1.1. Определение метрических пространств. Множество
называется метрическим пространством, если каждой паре его
элементов и поставлено в соответствие неотрицательное
(
вещественное число
1)
(
,)=0 тогда и только тогда, когда = (аксиома
тождества).
(
2)
,)=
(
3)
,)+
Число
(
)
,
и, а перечисленные три условия – аксиомами метрики.
Элементы метрического пространства будем называть точками.
)
,
(
(
, удовлетворяющее следующим условиям:
)
,
(аксиома симметрии).
(
,)≥
)
,
(аксиома треугольника).
называется расстоянием между элементами
5
1.2. Предел последовательности. Элемент метрического про-
странства называется пределом последовательности элементов
,,…,,… из , если
случае писать → или lim
Сформулируем теорему об единственности предела.
Теорема 1. Последовательность точек
пространства может сходиться не более чем к одному пределу.
1.3. Предельные точки. Открытые и замкнутые множества.
Назовем шаром с центром в точке и радиусом множество
всех точек пространства , удовлетворяющих неравенству (,)<.
Будем обозначать такой шар (,). Назовем окрестностью точки
любой шар с центром в этой точке.
Легко заметить, что точка является пределом
последовательности
{
окрестность точки содержит все точки этой последовательности,
начиная с некоторого номера.
Пусть – подмножество пространства . Точка ∈
называется предельной точкой множества , если любая окрестность
точки содержит, хотя бы одну точку множества , не совпадающую
с точкой .
Множество, которое получится, если присоединить к все его
предельные точки, называется замыканием множества и
обозначается
.
Множество называется всюду плотным в пространстве X,
если =.
Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои
предельные точки.
Рис. 1
(
,)→0 при →∞. Будем в этом
→
}
тогда и только тогда, когда любая
=.
{
}
метрического
Множество называется
открытым, если для любой
его точки найдется такая
окрестность, которая
целиком принадлежит этому
множеству.
Пример. В
пространстве =
(координатная плоскость)
рассмотрим множество .
6
Его граница состоит из точек в любой окрестности, которых
содержатся точки как принадлежащие, так и не принадлежащие . В
этом пространстве множество будет замкнутым, если оно содержит
все точки своей границы и множество будет открытым, если оно не
содержит ни одной граничной точки.
Пример. Пусть пространство совпадает с множеством
(рис.1). Точка – внутренняя точка множества , – точка границы,
если рассматривать как часть плоскости, – предельная точка
множества. В случае, если все пространство совпадает с множеством
, то у множества нет граничных точек и оно одновременно
открытое и замкнутое.
1.4. Примеры метрических пространств
1)
– множество всех вещественных чисел, расстояние между
числами и задано равенством (,)=|−
2) –множество всех n-мерных векторов. Если =
(,,…,) и =(,,…,
(,)=
)
, то положим
(
−
|
.
)
3) [,]– пространство непрерывных функций с чебышевской
метрикой. Расстояние между функциями =()и=()задается
равенством
(,)=max
|()
−()
|
.
4) ℓ∞ – пространство всех ограниченных числовых
последовательностей. Расстояние между последовательностями
∞
)
равно
|
−
|
.
=(,,…,
) и =(,,…,,…
,…
(,)=max
7
(
5)
) (
,
1≤<∞
интегрируемой p-ой степенью. Состоит из функций, для которых
существует интеграл
Для таких функций ()и() расстояние равно
(,)=
Пространство
функциональным пространством.
Замечание. Функции ()и() могут не быть непрерывными.
Это значит, что интеграл может оказаться несобственным. В этом
случае возникает вопрос. Не получится ли у нас для двух каких-
нибудь функций ()и() бесконечное расстояние? Для ответа
можно использовать неравенство Минковского. Так называется
следующее утверждение.
Пусть функции ()и() принадлежат
|()+()|
Полагая ()=−() из определения пространства
получим, что (,)<∞ .
Замечание. Обычно в курсах математического анализа
используется интеграл Римана, который определяется как предел
интегральных сумм lim
интегрирования разбивается на маленькие интервалы
∆. При этом точка ∈[,
существует этот предел, который не должен зависеть от того как
именно мы выбрали
и интервалы
)
–пространство функций с
(
≤
|()|
,
∆→
<∞.
|()−()|
)
называется гильбертовым
|()|
∑
]
. Интеграл существует, если
[
,
(
)
∆
]
.
.
(
)
,
|()|
. Тогда
[
,
]
длиной
(
,
+
. Здесь интервал
)
8
Пример. Рассмотрим функцию
1,если−рациональноечисло
()=
0,если−иррациональноечисло.
При составлении интегральной суммы мы можем выбирать в
качестве
каждый раз рациональные числа, тогда
lim
∆→
∑
(
)
∆=lim
∆→
1∙
∑
∆
=−.
С другой стороны, если выбирать каждый раз иррациональные
числа, то интегральная сумма окажется равной нулю. Этот пример
показывает, что для интегрирования функций, имеющих большое
количество точек разрыва (в данном случае все точки отрезка
(
,
являются точками разрыва) интеграл Римана применять нельзя. В
этом случае применяют интеграл Лебега. В случае непрерывных
функций оба интеграла совпадают.
Для произвольного множества ⊂(,) можно рассмотреть
характеристическую функцию
()
1,если∈
=
0,если∉.
Будем говорить, что мера множества равна нулю, если
интеграл Лебега ∫
()
=0
.
Существует другое (эквивалентное) определение. Множество
⊂ называется множеством меры нуль, если по любому >0
можно найти покрывающую его последовательность открытых
интервалов, сумма длин которых меньше .
Говорят, что две функции совпадают почти всюду, если они
равны между собой всюду за исключением может быть некоторого
множества меры ноль.
Интеграл от разности двух функций, совпадающих почти всюду,
равен нулю. Это означает, что расстояние между двумя такими
(
функциями в пространстве
)
,
равно нулю. Поэтому мы считаем,
что две функции равные почти всюду совпадают как элементы
(
пространства
)
,
.
)
9
6) Пространство ∞(,). Состоит из всех ограниченных почти
всюду на (,) функций. Расстояние между функциями ()и()
равно vraisup|()−()|. Здесь vraisup() обозначает наименьшее
из чисел, которые больше или равны чем () почти всюду.
Пространство Лобачевского. Картинка на обложке книги – это
репродукция картины голландского художника М.Эшера. На ней
изображена, правда, не математически точно, модель А.Пуанкаре
неевклидова пространства. Идеи Н.Лобачевского о возможности
построения геометрии, в которой через одну точку можно провести
много прямых параллельных данной прямой, при жизни автора не
получили распространения.
Посмертное признание работ Лобачевского состоялось, среди
прочего, благодаря появлению моделей его геометрии – систем
объектов на обычной евклидовой плоскости, которые удовлетворяли
всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Одна из
этих моделей была предложена математиком и физиком Анри
Пуанкаре в 1882 году – для нужд функционального и комплексного
анализа.
Пусть есть круг, границу которого назовем абсолютом.
«Точками» в нашей модели будут внутренние точки круга. Роль
«прямых» исполняют диаметры круга и окружности,
перпендикулярные абсолюту (точнее, их дуги, попавшие внутрь
круга). То, что для таких «прямых» не выполняется пятый постулат,
практически очевидно. То, что для этих объектов выполнены
остальные постулаты – очевидно чуть менее, однако, это так и есть.
Оказывается, в модели Пуанкаре можно определить расстояние
между точками – оно равна длине отрезка «прямой», соединяющей эти
точки. Для вычисления длины требуется понятие римановой метрики.
Ее свойства таковы: чем ближе пара точек «прямой» к абсолюту, тем
больше расстояние между ними. Также между «прямыми» определены
углы – это углы между касательными в точке пересечения «прямых».
Что будет если разбить на одинаковые правильные
многоугольники (то есть многоугольники со всеми равными
сторонами и углами) модель Пуанкаре? Например, многоугольники
должны становиться тем меньше, чем ближе они располагаются к
абсолюту. Эта идея и была реализована Эшером в серии работ
«Предел-круг». Впрочем, голландец использовал не правильные
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]