Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
разбиения, но их более симметричные версии. Тот случай, когда
красота оказалась важнее математической точности.
{
1.5. Полные пространства. Последовательность
метрического пространства называется фундаментальной
последовательностью, если для любого числа >0 найдется номер
() такой, что (,
Теорема. Если последовательность
)
< при ,≥().
{
}
сходится к пределу
то она фундаментальна.
Обратное утверждение для произвольного метрического
пространства неверно, так как существует метрические пространства,
в которых имеются фундаментальные последовательности, которые не
сходятся, ни к какому пределу.
Пример. Пусть метрическое пространство =(0;1), расстояние
между точками пространства (,)=|−
последовательность =
. В пространстве =(−∞,∞) эта
последовательность сходится к точке 0. Значит, эта
последовательность не может сходиться, ни к какой точке
пространства =(0;1). Как сходящаяся в
последовательность она
фундаментальна. При этом расстояния (,
пространствах одинаковы. Следовательно, последовательность
является фундаментальной в обоих пространствах. Итак, в
пространстве =(0;1) последовательность фундаментальна, но не
является сходящейся.
Если в метрическом пространстве каждая фундаментальная
последовательность сходится к некоторому пределу, являющемся
элементом того же пространства, то пространство называется
полным.
Пространства ,,,,
являются полными.
∞
Если между элементами пространств и можно установить
взаимно однозначное соответствие и притом таким образом, чтобы
расстояние между элементами одного пространства равнялось
расстоянию между соответствующими элементами другого
пространства, то пространства и называются изометричными.
Пусть дано метрическое пространство
. Предположим, что
оно неполное, т.е. что в этом пространстве имеется фундаментальная
последовательность, не имеющая предела в
. В этом случае
существует другое метрическое – полное и такое, что в нем
}
элементов
|
. Рассмотрим
)
в обоих
,
11
существует подмножество ′, всюду плотное в и изометричное
пространству . Пространство называется пополнением
пространства
2. Принцип сжатых отображений
2.1. Оператор сжатия. Теорема о неподвижной точке
оператора сжатия. Известно много вариантов методов
последовательных приближений или итераций, с помощью которых
можно решать алгебраические, дифференциальные, интегральные и
другие уравнения. Кроме того они широко применяются для
доказательства теорем существования и единственности решений этих
уравнений. С точки зрения функционального анализа все эти методы
можно привести к одному принципу сжатых отображений.
Пусть даны два произвольных множества и и дано правило,
согласно которому каждому элементу ∈ ставится в соответствие
один элемент ∈. Будем говорить тогда, что задан оператор ,
определенный на множестве , с областью значений расположенной в
области . В этом случае будем писать =.
Теорема (С. Банах). Пусть в полном метрическом пространстве
дан оператор , переводящий элементы пространства снова в
элементы этого пространства. Пусть, кроме того, для всех и
из
(),(
где <1 и не зависит от и. Тогда существует одна и только
одна точка такая, что (
Точка называется неподвижной точкой оператора .
Оператор, для которого выполняется условие (2.1), будем называть
оператором сжатия.
2.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций.
Пусть дана система линейных уравнений:
++⋯+=ℎ,
++⋯+=ℎ,
++⋯+=ℎ.
.
)
≤(,),(2.1
)
=.
…
)
12
()
)
к
В матричной форме эту систему можно записать в виде =ℎ
где =
ℎ=(ℎ,ℎ,…,ℎ
– матрица коэффициентов, а =(,,…,),
,
)
– -мерные векторы-столбцы. Обозначение (∙
означает, что данную матрицу надо транспонировать. При этом
матрица-строка, превращается в матрицу-столбец.
Эту систему можно, каким либо образом преобразовать к
эквивалентной системе вида
=+,
где – тот же вектор неизвестных, а и – некоторые новые матрица
и вектор соответственно. Это можно сделать так. Перенесем в каждом
уравнении, например в уравнении с номером , все слагаемые в
правую часть оставив по одному
. Тогда получится система
=−(−1)−−⋯−+ℎ,
=−−(−1)−⋯−+ℎ,
…
=−−−⋯−(−1)+ℎ.
Оператору соответствует матрица
−(−1
)
−(−1
⋯
)
⋮ ⋱ ⋮
⋯ −
(
−1
)
Теперь нашу задачу можно трактовать как задачу о
неподвижной точке оператора в пространстве
пространстве
в данном случае, что (,)=max
можно определить различными способами. Положим
,,…,
. Расстояние в
|
−
|
. При
доказательстве теоремы о сжатом операторе мы получаем
неподвижную точку оператора как предел последовательности точек
. Здесь – оператор, который получается если раз применить
оператор . Если оператор является оператором сжатия, то мы
можем определить последовательность приближений
неподвижной точке
∗
рекуррентным равенством
(
)
=+,=0,1,2,…
,
13
Итерационный процесс, начинающийся с некоторого вектора
()
()
=
()
,
,…,
итераций.
Пусть оператор является оператором сжатия и (,)<
(,).
Заметим, что при определении метода простых итераций мы
использовали оператор =+. Однако,
(,)=max
,,..
|
+−−|=
Это значит, что для нас важно только является ли оператор
оператором сжатия.
Теорема. Если матрица оператора имеет вид
найдется такое число <1, что при всех выполняется
∑
неравенство
имеет единственное решение
можно получить методом итераций, исходя из произвольного
вектора =(,,…,).
|
Так как
|≤∑
оценки (,)<(,
В этом случае оператор является оператором сжатия и
последовательность приближений
неподвижной точке, т.е. к решению исходной системы.
2.3.Оценки погрешности метода простой итерации. Метод
простой итерации – это приближенный метод. Он не дает точного
ответа. Но мы постепенно приближаемся ответу. Здесь возникает ряд
()
, будем называть методом простых
=max
<, то система уравнений
,,..
=
∙max
)
можно взять максимум сумм
= max
,,…
|
−|= (,)<(,).
+
()
()
=(
,
, то в качестве константы для
()
, причем
()
<1.
должна сходится к
,…,
()
). Это решение
14
вопросов. Допустим, проделано несколько шагов, например, пять.
Какова погрешность полученного результата? Погрешность в данном
случае совпадает с расстоянием
итераций, чтобы обеспечить нужную точность?
При доказательстве теоремы об операторе сжатия можно
получить оценку ,
≤
пределу при →∞ получим оценку погрешности
()
∗,
Эта оценка носит название априорной оценкой погрешности.
Если проделано итераций, то погрешность можно получить из
этой формулы взяв вместо
()
.
()
элемент
Тогда получим апостериорную оценку погрешности:
()
∗,
≤
Пример. Решить с помощью метода простой итерации систему
1,1+0,2=12
0,3+1,2=9
.
Проделав пять итераций найти априорную и апостериорную
оценки погрешности. Найти точную величину погрешности. Сколько
надо сделать итераций, чтобы обеспечить погрешность меньше 0,001?
Проделать пять итераций методом Зейделя. Сравнить результаты.
Решение. Учитывая очевидную близость матрицы данной
системы к единичной матрице, вычленим единицы из диагональных
элементов, в результате чего система преобразуется к виду
=−0,1−0,2+12,
=−0,3−0,2+9.
Запишем формулы для итерации:
()
, где =(
(
≤
(
1−
(
1−
∗
,
. Сколько надо проделать
(),()
(),()
)
) переходя к
.
(
)
, а вместо
),()
)
()
.
элемент
15
0 1 2 3 4 5
(
)
(
=−0,1
)
=−0,3
В качестве исходных значений
и 9.
Приближенные значения решений системы для метода простых
итераций дано в табл.2.1.
Таблица 2.1
12 9 10,38 9,846 10,0614 9,97542
9 3,6 5,58 4,77 5,0922 4,96314
()
()
−0,2
−0,2
()
и
()
+12,
()
()
+9.
возьмем значения 12
∑
Оценим = max
расстояние
,,…
(),()
априорную оценку ∗,
=max(|12−9|,|9−3,6|)=5,4. Найдем
()
=max (0,3;0,5)=0,5.
,
≤
(
∙5,4=0,3375≈0,34.
)
,
Найдем
Расстояние
(),()
=max(|9,97542−10,0614|,|4,96314−5,0922|)
=0,12906.
Найдем апостериорную оценку
∗,
()
,
≤
(
,
∙0,13=0,13
)
В данном случае мы можем найти точные решения. Легко
видеть, что =10,=5. Поэтому
()
∗,
=max(|9,97542−10|,|4,96314−5|)≈0,037.
Как видим, самая грубая оценка получилась при априорной
оценке. Эта оценка дала результат, который примерно в 9 раз
превосходит истинное значение погрешности.
Метод Зейделя. Существует очень близкий метод Зейделя для
решения таких систем. Единственная разница состоит в том, при
вычислении
)
можно использовать
(
)
при <.
(
Формулы для итераций по методу Зейделя будут иметь вид
16
0
(
)
(
=−0,1
)
=−0,3
Приближенные значения решений системы для метода Зейделя
даны в табл.2.2.
Таблица 2.2
1 2 3 4 5
12 9,72 10,0272 9,999072 9,999679 10,0001
5,4 5,004 4,99104 5,00207 4,999682 5,000035
Как видим, в этом случае ∗,
Задание. С помощью программы Excel решить систему
1,1−0,2+0,1=1,6,
0,1−1,2−0,2=2,3,
0,2−0,1+1,1=1,5,
методом Крамера, методом простых итераций, методом Зейделя.
Сделать по 8 итераций. Найти априорные и апостериорные оценки
погрешности сравнить с точными значениями погрешностей.
3. Линейные нормированные пространства.
3.1. Аксиомы линейного пространства. Пусть – множество
элементов некоторой природы, удовлетворяющее следующим
аксиомам:
I. Определена сумма + двух любых элементов ,∈
,являющаяся элементом этого же множества, причем операция
сложения удовлетворяет условиям:
1) +=+ – коммутативность;
2) +(+)=(+)+ – ассоциативность;
3) существует однозначно определенный элемент 0 такой, что
для любого из ;
4) для каждого элемента ∈ существует однозначно
определенный элемент того же пространства (−) такой, что
Элемент 0 называется нулевым элементом, элемент −
называется элементом, противоположным .
()
−0,2
(
)
−0,2
()
+0=
+(−)=0.
()
+12,
()
+9.
=0,0001.
17
II. Определено умножение элементов ,,,… множества на
вещественные (комплексные) числа ,,,…, причем является
снова элементом множества и выполнены условия:
1) ()=() – закон ассоциативности умножения;
2) (+)=+,(+)=+ – два закона
дистрибутивности;
3) 1∙=.
Множество , удовлетворяющее аксиомам I и II, называется
линейным или векторным пространством.
Примеры. 1. Множество -мерных вещественных векторов
образует вещественное линейное пространство.
2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного
однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
образует комплексное линейного пространство.
3. Множество элементов пространств С[0,1],[0,1]образуют
линейное пространство.
Из аксиом линейного пространства следуют следующие
утверждения:
1) 0∙=0.Здесь первый ноль – это число, а второй – это
нулевой элемент;
(−1)
2)
3) ∙0=0;
4) если =и ≠0, то =.
3.2. Линейно зависимые и линейно независимые элементы.
Элементы ,,…,
независимыми, если из равенства
следует, что ==⋯==0.
Если, наоборот, существуют такие не все равные нулю числа
,,…,
то элементы ,,…,
условию какие-то из этих коэффициентов не равны нулю. Пусть,
например, ≠0. Тогда
элементы.
=−;
, что
линейного пространства называются линейно
++⋯+=0
++⋯+=0,
называются линейно зависимыми. По
можно выразить через остальные
18
=−
Или
=++⋯+.
В этом случае говорят, элемент
комбинацией элементов ,,…,.
Итак, элементы ,,…,
если один из этих элементов является линейной комбинацией
остальных.
Вопрос о линейной зависимости возникает при решении
линейных однородных дифференциальных уравнений. Решение
=+ является общим, если и
частные решения ЛОДУ второго порядка. В случае, если и
линейно зависимые, то =⇔
3.3. Линейные многообразия. Непустое множество элементов
линейного пространства называется линейным многообразием, если
вместе с элементами ,,…, множество содержит любую
линейную комбинацию
++⋯+
этих элементов.
Наименьшее линейное многообразие, содержащее заданные
элементы, называют также линейной оболочкой этих элементов.
Если линейное многообразие пространства определяется
конечным числом элементов, то оно называется конечномерным. Если
определяется элементами ,,…,
независимы, то называется числом измерений линейного
многообразия .
Более точно, будет - мерным, если в существует
линейно независимых элементов, а всякий набор из +1 элемента
будет линейно зависимым.
3.4. Линейные нормированные пространства. Множество
называется линейным нормированным пространством, если:
1. – линейное пространство.
2. Каждому элементу линейного пространства ставится в
соответствие вещественное число, которое называется нормой этого
−
−⋯−
являются линейно зависимыми,
=.
.
является линейной
– линейно независимые
и эти элементы линейно
–
19
элемента и обозначается
‖‖
норма удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
‖‖
1)
2)
3)
≥0,причем‖‖=0⇔=0,
‖
+‖≤‖‖+‖
‖‖=||‖‖
‖
.
В линейном нормированном пространстве можно ввести
метрику посредством равенства
(,)=‖−‖.
В метрическом пространстве считается, что lim=⇔
lim(,
)
=0. В нормированном пространстве lim= или
→ если ‖−‖→0при→∞. Определенная таким образом
сходимость в линейном нормированном пространстве называется
сходимостью по норме.
Если нормированное пространство полно, то оно называется
банаховым или В-пространством.
Выше рассматривались примеры метрических пространств. Все
эти пространства являются линейными и в них можно задать нормы.
Рассмотрим примеры нормированных пространств.
1. Пространство
с нормой
‖‖
2. Пространство непрерывных функций [,
‖‖
3. Пространство ℓ
с нормой
‖‖
[
4. Пространство
5. Пространство
‖‖
[
,
,
]
=
‖‖
или
,
=
|
()|.
||
=max
=
с нормой
|()|
]
с нормой
, причем предполагается, что
.
]
с нормой
.
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]