Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
(10.3), а функции
однородным краевым условиям
()+
()+
В таком случае функция
(10.4), при любых значениях коэффициентов
равенствам (10.2) и (10.3).
На отрезке
[
Эти точки будем называть узлами коллокации. Потребуем, чтобы
в узлах коллокации функции
(10.1). То есть должны выполняться равенства
(
)+(
Подставим правую часть (10.4) вместо
=−
где =(
)
,=(
считаться известным, кроме коэффициентов . Положим
≔
≔−
Тогда равенство (10.6) можно записать кратко как систему линейных
уравнений
с неизвестными
получим приближенное решение
()
при =1,2,…, – соответствующим
()
=0;
()
,] выбираем точки
∀=1,2,…,(10.5)
=0.
()
, определяемая выражением
удовлетворяет
такие, что
<<<⋯<<.
()
удовлетворяли бы уравнению
)
(
)+(
(
)
+
(
)
−
)
,=(). В последнем равенстве все может
(
=,=1,2,…,
(
)
+
)
)
(
)
+
(
)
(
)
−
(
(
=(
+
)
)
, =1,2,…,.
(
)
приходим к равенству
(
(
)
,(10.6)
+
(
+
)
)
)
,
(
)
.
=
. Решив эту систему и поставив в выражение (10.4),
()
.
61
При практическом использовании метода коллокации возникает
вопрос, как выбрать функцию и базисные функции
точных указаний, но есть рекомендации. Например, в качестве
можно взять линейную функцию
()
=+,
При этом числа и подберем так, чтобы выполнялись краевые
условия (10.2) и (10.3). Для этого надо решить систему
+(+
+(+
)
)
=
.(10.7
=
Функции рекомендуется выбрать вида
()
=
(
−
)
+(−
)
,(10.8)
если в (10.2) =0, или вида
()
=
(
−
)
+(−
)
в общем случае. Очевидно, все функции удовлетворяют первому из
равенств (10.5). Чтобы выполнялось и второе равенство также нужно
подобрать соответствующее значение
. Для этого подставим эти
функции во второе равенство вместо и найдем
(10.8)
)
+(+1)(−)
(
−)+
=−
(
−
а для функции (10.9)
)
+(+2)(−)
(
−)+(+1)
=−
(
−
Пример 10.1. Решить краевую задачу
+−=6−3,∈[1,2](10.10)
(1)=1,3(2)+
(2)
=0,5.
? Здесь нет
.(10.9)
. Для функции
,
.
)
Решение. Чтобы найти функцию
(10.7). В данном случае получается
62
()
составляем систему
+=1;
3+7=0,5.
Откуда =
,=−
. Следовательно,
Для примера ограничимся одной функцией (). Так как в
первом краевом условии отсутствует , то мы можем использовать
функцию вида (10.8). Вычислим
=−
3(2−1
)
+2(2−1)
3(2−1)+1∙1
тогда базисная функция
()=(
−1
)
Приближение неизвестной функции имеет вид
=
Осталось найти коэффициент
середину отрезка
ее производных в точке
[
1,2]– точку =
()
+
. Возьмем в качестве узла коллокации
.
=
13
8
−
5
∙
8
3
=−
2
3
=
2
3
(
+с
1,5−1
2
5
+∙2(1,5−1)−
8
3
2
)
=2.
+
−
Подставим в уравнение
5
1,5∙2+1,5−
1
−
8
4
−1,5
Отсюда =
.
()
=
−
.
5
=−
,
4
5
(
−
−1).
4
()
.
. Вычислим значения функции и
3
=
2
5
(
1,5−1)=
4
11
16
5
4
3
−
8
11
3
−
;
8
1
;
4
=−
16
5
−
8
=6−3∙1,5.
63
Рис. 4
Таким образом, простейшая коллокация с одним узлом
приводит приводит к функции
()
=
−
(точное решение ()=
+
).
(
−1
График разности между точным и приближенным решением краевой
задачи на рис. 4.
10.3. Метод Галеркина. Рассмотрим дифференциальное
уравнение вида (10.1) с граничными условиями вида (10.2) и (10.3).
Обозначим через линейный оператор []∶=+()+().
Будем рассматривать эту задачу в гильбертовом пространстве
Нам нужно решить уравнение []=. Пусть {
некоторая полная замкнутая система линейно независимых элементов
[
из
]
,
. Это означает, что не существует элемента ортогонального
всем . Выберем первые функций ,,…,. Пусть
подпространство всех линейных комбинаций функций
искать приближенное решение уравнения в виде
≔+
Как и в методе коллокаций, выберем функцию
образом, чтобы это была линейная функция, удовлетворяющая
краевым условиям
[
]
ℓ
=, ℓ
)
(
)
.
]
=.
,
[
,].
}
–
–
. Будем
таким
−
[
−1
64
Тогда можно считать, что функции ,>0 удовлетворяют нулевым
краевым условиям
[
]
ℓ
=0, ℓ
Если – это решение уравнения, то −=0. Так как система
{
функций
}
– полная, то −=0⇔−,
. Подберем коэффициенты
равенство выполнялось хотя бы для первых функций ,=
1,2,…,. Тогда
(
−,
)
=0⇒−−
⇔
Обозначим
коэффициентов
уравнений:
∑
,
надо решить систему линейных алгебраических
=
,=1,2,…,. Напомним, что
=+()+().
Получим формулы для вычисления коэффициентов и.
=(−,
=
()−
)
=
()
−()
=,
=
=
()
[
,
=
()−()
()+()
()
+()
+()
]
=0,∀∈{1,2,…,}.
=0 при всех
таким образом, чтобы последнее
,
=0⇔
)
.
)
=. Для выбора
()
;(10.11
()
()
+
()
.
=
и
(
−,
(
−,
()
()
()
+()
()
()
=
)
65
Первый из интегралов в этом выражении преобразуем «по
частям»:
()
()
=
()
()
В результате получаем формулу для вычисления коэффициентов
системы
−
+()
()
=
()
()
+()
−
()
()
()
()
Итак, чтобы решить линейное дифференциальное уравнение с
помощью метода Галеркина надо выбрать линейно независимых
функций
()
. Затем найти функцию
находим решая систему
+(+
+(+
Вычисляем по формулам (10.11) и (10.12) коэффициенты и
Наконец решаем систему
++⋯+=
++⋯+=
…………………………………
++⋯+=
Записываем приближенное решение в виде
≔+
Пример. Найти приближенное решение краевой задачи
+−=6−3,∈[1,2](10.13)
(1)=1,3(2)+
−
)
=
)
=
(2)
()
()
()
+
()
()
()
=+, где и
.
.(10.12)
.
=0,5.
.
66
x
Решение. Разделим обе части на . Тогда =+−,
()=
решение имеет вид =+
задачу и нашли =
функцию
−
. Ограничимся случаем =1. Тогда приближенное
. Мы уже решали такую краевую
−
(
−1).
можно взять ту же самую
−
. В качестве
()=(
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-0.12
−1
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
)
Единственно, что должно измениться это коэффициент
Теперь его надо найти из уравнения =. Числа и
Рис. 5
.
находим по формулам (10.11) и (10.12) . В результате получаем
=
= −0,770;=−0,548. Следовательно,
=
−0,548
=
−0,770
=0,712,
и
13
=
5
−
+0,712
8
8
(
−1
5
)
−
4
(
−1
)
=1−
5
(
−1)+
8
9
+0,712(−1)−
.
4
Сравним точность результатов, полученных методом коллокации и
методом Галеркина. На рис. 5 изображены графики разностей между
67
приближенными и точным решениями. Более толстая линия
соответствует методу Галеркина, тонкая – методу коллокации. Как
видим, в данном случае метод Галеркина при =1 показал более
точные результаты.
11. Вариационные методы решения задач математической
физики.
11.1. Метод Ритца. Рассмотрим уравнение в гильбертовом
пространстве вида
=.
Самосопряженный оператор называется положительно
определенным, если (,)>0 для любого ∈.
Фиксируем элемент , определим в функционал
()=(,)−2(,).
Теорема 1. Пусть – положительно определенный
самосопряженный оператор. Для того чтобы при заданном ∈
элемент ∈ был решением уравнения =, необходимо и
достаточно, чтобы функционал () имел при =
значение.
Назовем последовательность элементов
(для функционала ), если (
)
→min().
{
Теорема 2. Если – положительно определенный
самосопряженный оператор, то всякая минимизирующая
{
последовательность
}
сходится к решению уравнения =.
Во многих механических задачах функционал (
энергию системы. Поэтому принято называть его функционалом
энергии.
Дифференциальный оператор не обязательно являются
непрерывным в пространстве [,].
Линейный оператор , заданный на некотором линейном
подмножестве () пространства , называется симметричным, если
для любых ,∈
(
,)=(,).
Метод Ритца – это вариационный метод, его можно
использовать для поиска приближенного решения уравнения =,
если оператор симметричный и положительный дифференциальный
наименьшее
}
минимизирующей
)
определяет
68
оператор. Тогда на элементах множества () определяется
энергетическое скалярное произведение
[
,]≔(,)∀,∈()
и, соответственно, энергетическая норма
⟦⟧
≔
[
,]=
В этой метрике множество (), дополняется до полного
пространства, и построенное таким образом гильбертово
называется энергетическим пространством.
Выберем в пространстве
последовательность элементов
,,…,,…,
называемых координатными элементами, таких, что:
1) при любом элементы ,,…,
2) система элементов полна по энергии, т.е.
∀∈∀>0∃∈∃{,…,|∈
По методу Ритца решение ищется в виде
=
где числа
подбираются таким образом, чтобы функционал
]
[
=min
∈
Поэтому задача минимизации функционала [
задаче поиска минимума функции переменных
(
,).
линейно независимы;
}
:−
,
.
<.
]
сводится к
69
)
(,…,
:=
=
.Решим эту задачу в случае =2.
)=(
[+
(
,
(,
В точке минимума
)
+
−2
]
,+
(
,
(
,)−2
=0 и
=2с
(
,
Аналогично,
=2с
(
,
Следовательно, получаем систему
с
с
(
,
(
,
)
)
Решая эту систему, найдем , и =+
В случае произвольного нам придется решать систему
с
с
с
(
,
(
,
(
,
)
(
+с
+с
+с
,
(
,
(
,
)
)
Эта система называется системой Ритца.
11.2. Общая схема решения уравнения = c помощью
метода Ритца.
1) Проверить, что оператор является симметричным и
положительным. Это означает, что надо проверить условия
(
)
,
(
и
,)≥0∀∈(),причем(,)=0⇔=0.
)
+2с
)
+с
+с
)
+
=0. Найдем эти производные
(
,
(
+2с
(
,
(
,
)
+⋯+
)
+⋯+
,
,
)
−2
(
,
(
,).
)=(
)=(
(
)−2(
)−2(
,
,
(
,
(
,
−2
,)−2
)
+
,).
,).
)
)
)=(
)=(
⋯
)
+⋯+
(
,
)=(
(
,
.
,
,
,
(
,)=
)
)
)
)
(
,)=
,
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]