Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
{
т.е.
}
∈ℓ
и
Осталось выяснить совпадают ли функционал (
функционал (), заданный как скалярное произведение на
последовательность
Для произвольного элемента =(,,…,,…)∈ℓ
определим последовательность элементов
(
,…,,0,0,…). Очевидно, (
пространства ℓ
и оба функционала непрерывны, то они совпадают на
.
Итак, любой линейный функционал на ℓ
представлен с помощью скалярного произведения на некоторый
фиксированный элемент ℓ. Пространство, сопряженное к ℓ,
совпадает с ℓ
, т.е.
в) Линейные функционалы на пространстве ограниченных
последовательностей ℓ. Норма пространства ℓ
равенством
‖‖=‖(
Рассмотрим последовательность =(,,…,,…
которой существует сумма
определить линейный функционал ()=
∑
=
.
Данный функционал совпадает с функционалом
заданным скалярным произведением ()=(,).Возникает вопрос:
всякий ли линейный функционал можно представить таким образом?
Пусть элемент =(1,1,…,1,…) и линейное многообразие ,
состоящее из всех элементов с конечным числом координат, отличных
от нуля. Определим расстояние от элемента до . Выберем любой
элемент =(,,…,,…)∈. Тогда найдется такое
> все =0. Норма ‖−
из теоремы Хана – Банаха существует такой функционал (), что
()=0для∈, (
функционал быть определенным через скалярное произведение?
Пусть ()=
∑
1∙=0 и =0 при любом . Это значит, что
тоже время (
‖
{
{
(
ℓ
)
=1. Следовательно, функционал () нельзя
‖
}
∗
)
}
=ℓ.
ℓ
.
≤‖‖.
)
=(
,,…,,…)‖=sup
∑ |
. Очевидно (
|
<∞. Мы можем в этом случае
‖
)
=1, ‖‖=1. Может ли этот
{
}
,где=
)
. Так как → по норме
может быть
определяется
|
|
.
(
{
,,…,,…
,что при
≤|1−
)
=0 так как ∈. Тогда
|
=1. По следствию
∑
=0. Но в
)
и
)
для
}
)
=
41
представить через скалярное произведение равенством ()=
∑
.
[
равенством
Буняковского
Это означает, что любой элемент ∈
скалярного произведения линейный функционал на
доказать и обратное утверждение. Любой линейный функционал на
пространстве
фиксированным элементом ∈
характеристики линейных функционалов на пространстве
используем неравенство Гельдера
г) Линейные функционалы в гильбертовом пространстве
]
;
. В этом случае скалярное произведение определяется
(
,)=()().
Фиксируем элемент =()∈. Известно неравенство
(
.
∙
)
(
определяет с помощью
=‖
‖
∙‖
. Можно
‖
)
()()≤
можно отождествить со скалярным произведением с
д) Линейные функционалы в пространстве ,1≤<∞. Для
|()()|
≤(
)
∙(
)
=
.
=‖
‖
‖
∙‖
,
где число определяется равенством
1
1
+
=1.
Легко показать, что для выполняются неравенства 1<≤∞.
7.4. Примеры сопряженных пространств. С помощью
результатов предыдущего параграфа можно получить описания
сопряженных пространств.
∗
(
)
=;(ℓ
∗
)
=ℓ;(
∗
)
=;
∗
=,
42
где1≤<∞,
Аналогично,
=∞, то
+
7.5. Второе сопряженное пространство. Беря произвольное
нормированное пространство и его сопряженное пространство
мы можем рассмотреть в свою очередь линейные функционалы,
заданные на ∗. Его обозначают
сопряженным к пространству . Из примеров сопряженных
пространств следует, что
∗∗
= при 1<<∞.
Банаховы пространства , для которых ∗∗=, называются
рефлексивными. Пространства при 1<<∞ рефлексивны.
Пространства и
Задача. Вычислить величину нормы функционала () в
соответствующем нормированном пространстве.
а) ()=∫()(2−1),
+
=1.
∗
ℓ
=ℓ при 1≤<∞. С другой стороны, если
=1⇒=1.Но(ℓ
(
ℓ
не являются рефлексивными.
∗∗
)
=ℓ; (
∗
)
≠ℓ.
∗∗
∈[0,1];
∗
и называют вторым
∗∗
)
=
, более того,
,
б) ()=∫()−(0),
в) ()=
г) ()=
∑
∫
,={
(),∈
}
∈ℓ;
(
∈[0,1];
)
.
8. Сопряженные и самосопряженные операторы
8.1. Сопряженные операторы. Пусть – вещественное,
сепарабельное, гильбертово пространство. Рассмотрим линейные
операторы, которые отображают пространство в себя. Выше было
показано, что любой линейный функционал можно представить с
помощью скалярного произведения. Это значит, что для любого
43
функционала () можно найти такой элемент ∈, что ()=
(
)
,
.
Пусть линейный оператор :→. Выберем любой элемент
∗
‖
)
. Тогда
‖=‖‖
можно
∈ и рассмотрим линейный функционал ()=(,
∗
найдется такой элемент ∗, что ()=(,
для каждого найдется только один элемент
∗
(
)=(
,
,) выполняется при любом . Это значит, что можно
)=(
,). Заметим, что
∗
такой что равенство
определить такой оператор ∗, что ∗=∗. В этом случае имеет
место тождество
(
,)=(,∗
)
Оператор ∗ называется сопряженным к оператору .
Теорема. Сопряженный оператор
Пример. Рассмотрим в
[
,
∗
– линейный и
]
оператор
=()=(,)(),
где (,
)
– непрерывное ядро.
Для произвольного линейного функционала () в
указать функцию
()
∈
[
,], такую что при всех ∈
()=(,)=()
()
,
()
[
∈
,].
Поэтому
(,)()
()
=
=()(),
()=()
)
=(
(,)
где
()=(,)
()
.
.
44
Таким образом, переход к сопряженному оператору в данном
случае означает перестановку переменных в ядре интегрального
оператора. Ядро (,
отношению к ядру (,
8.2. Самосопряженные операторы. Линейный оператор в
гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если он
совпадает со своим сопряженным: ∗=.
Это значит, что при любых ,∈ должно выполняться
равенство
В случае самосопряженного интегрального оператора его ядро
должно быть симметричным, т.е. таким, которое не изменяется при
транспонировании.
Допустим, мы имеем два самосопряженных оператора и
В этом случае
(
[
+
]
,)=(+,)=(,)+(,)=
=(,)+(,)=(,+)=(,[+
Это значит, что сумма самосопряженных операторов также
самосопряженный оператор. Легко показать также, что при
умножении самосопряженного оператора на число также получается
самосопряженный оператор.
Таким образом, семейство всех самосопряженных операторов
образует линейное многообразие.
Можно доказать также замкнутость этого семейства.
Пусть дана последовательность самосопряженных операторов
, которая по норме сходится к оператору . Тогда оператор также
является самосопряженным. Это значит, что множество всех
самосопряженных операторов образует подпространство.
Пример. Рассмотрим множество линейных операторов
отображающих в
умножения на матрицу размерами 2×2. В каком случае мы получим
самосопряженный оператор? Самосопряженному оператору должна
соответствовать симметричная матрица, т.е. матрица, которая не
изменяется при транспонировании. Эта матрица имеет вид
)
называется транспонированным по
)
.
(
,)=(,).
]
).
. В этом случае их можно задать как операторы
.
45
Число называется собственным значением линейного
оператора , если существует элемент ≠0 для которого =.
Такой элемент называется собственным элементом оператора ,
соответствующим собственному числу .
В п.6.7. был рассмотрен пример оператора умножения на
матрицу
8 2
2 5
√
.
,=
(
,
√
)
‖‖
,
. В данном случае
√
=
√
√
(
,).
+−
=0.
√
√
=
Были найдены собственные значения =4,=9 и
собственные векторы =
,−
√
матрица симметричная и ей соответствует самосопряженный
оператор. Скалярное произведение
Следовательно, собственные векторы ортогональны между собой.
Теорема 1. Пусть – собственное значение линейного
оператора , тогда множество , состоящее из всех собственных
элементов оператора , соответствующих , и нулевого элемента 0
– подпространство пространства .
Подпространство собственных элементов будем называть
собственным подпространством оператора , соответствующим
числу .
В примере, который мы рассмотрели, оба собственных
подпространства были одномерными. Однако собственные
подпространства могут иметь любую размерность.
Пример. Единичный оператор (=) является
самосопряженным. Оператор имеет единственное собственное
значение =1. Собственное подпространство, соответствующее
этому значению, совпадает со всем пространством .
Теорема 2. Для самосопряженного оператора собственные
подпространства и, соответствующие двум различным
собственным значениям и , ортогональны.
Для самосопряженного оператора имеет смысл рассмотреть
границы – верхнюю и нижнюю:
= sup
(
,),= inf
‖‖
46
Очевидно, что ≤(,)≤
Самосопряженный оператор А называется положительным,
(
если
,)≥0 для любого ∈.
Теорема 3. Если оператор – самосопряженный, то
‖‖
8.3. Спектр самосопряженного оператора. Рассмотрим
оператор −. Допустим, что при некотором значении существует
ограниченный линейный обратный оператор
Такой оператор называется резольвентой. Значения , для которых
существует оператор
называются регулярными. Совокупность всех
значений , не являющихся регулярными, называется спектром
оператора . В частности, все собственные значения принадлежат
спектру. В конечномерных пространствах спектр как раз и состоит из
собственных значений. В бесконечномерном гильбертовом
пространстве могут найтись числа принадлежащие спектру, которые
не являются собственными.
Теорема.1 Все собственные значения самосопряженного
оператора заключены между его границами и
Доказательство. Пусть – собственное значение, –
соответствующий ему собственный элемент. Мы можем считать, что
‖‖
=1. Если это не так, то можно найти другой собственный элемент
‖
/‖
, который тоже соответствует тому же собственному значению.
(
Тогда
,)=(,)=(,)=, следовательно, ≤≤
Теорема 2. Границы и
оператора входят в его спектр.
9. Компактные множества и вполне непрерывные операторы
9.1. Компактные множества в метрическом пространстве.
Пусть – метрическое пространство. Его подмножество называется
компактным, если для любой последовательности точек из можно
выделить сходящуюся подпоследовательность. При этом предел
подпоследовательности принадлежит пространству , но не
обязательно принадлежит множеству . Другое дело, если множество
окажется еще и замкнутым в . Тогда предел
.
=
|(
‖‖
всякого самосопряженного
,
)|
.
(
−
.
)
=
.
.
47
подпоследовательности должен принадлежать . Замкнутые и
компактные множества будем называть компактными в себе.
На числовой прямой множество будет компактным в себе тогда
и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Известно, что
непрерывная функция на таком множестве обладает рядом интересных
свойств. Например, на ограниченном и замкнутом множестве всегда
найдется точка, в которой функция принимает самое большое на этом
множестве значение.
Аналогичными свойствами обладает функция непрерывная на
компактном в себе множестве в произвольном метрическом
пространстве.
Теорема. Пусть – компактное в себе множество
пространства и () – непрерывный функционал, заданный на этом
множестве. Тогда
1) функционал () ограничен на ;
2) функционал () достигает на своих точных верхней и
нижней границ.
Это означает, что в найдутся такие точки и
которых (
)
≤()≤(
)
при∀∈ .
Для конечномерных пространств подмножество компактно в
себе тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. В
бесконечномерных пространствах это условие является только
необходимым для компактности, но не достаточным. Иными словами
в бесконечномерном пространстве можно найти ограниченные и
замкнутые множества, которые не являются компактными.
Пример. Пусть =ℓ,и – единичный замкнутый шар в ℓ
Выберем последовательность элементов из ==
, для
.
{
=0,0,…,0,1
,0,…
. Из последовательности
}
нельзя выделить
сходящуюся подпоследовательность, так как такая
подпоследовательность должна быть фундаментальна, т.е. расстояние
между ее элементами должно стремиться к нулю. Однако
‖
−
‖
=
√1+1=√2 не стремится к нулю.
9.2. Вполне непрерывные операторы. Пусть и –
нормированные пространства, – линейный оператор, отображающий
в.
48
Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он
отображает любое ограниченное множество из в компактное
множество из .
Перечислим свойства вполне непрерывных операторов.
Теорема 1. Если и
отображающие в, а и – произвольные числа, то оператор
=+
также вполне непрерывен.
Теорема 2. Пусть
непрерывных операторов, отображающих в, причем
пространство полно, и =
непрерывен.
Теорема 3. Пусть и–линейные операторы, причем :→
и :→, оператор предполагается непрерывным, а оператор
– вполне непрерывным. Тогда произведение также вполне
непрерывный оператор.
Пример. В предыдущем примере было показано, что в
пространстве ℓ
единичный замкнутый шар не является компактным.
Это значит, что единичный оператор в ℓ
непрерывным. Мало того аналогичное утверждение можно доказать не
только для пространства ℓ
нормированного пространства.
Возникает вопрос, может ли вполне непрерывный оператор
:→ иметь обратный? Ответ в случае бесконечномерного
пространства отрицательный.
Допустим, что вполне непрерывный оператор имеет обратный
. Тогда =. Но тогда по теореме 3 единичный оператор
оказывается вполне непрерывным, а это невозможно в
бесконечномерном случае.
9.3. Спектр вполне непрерывного самосопряженного
оператора. Вместо слов «вполне непрерывный самосопряженный
оператор» будем писать: «ВНС оператор». Спектр самосопряженного
оператора состоит из собственных значений и других чисел , при
которых не существует обратного оператора
ВНС оператора спектр устроен проще.
Теорема 1. Всякое число, отличное от нуля и входящие в спектр
ВНС оператора, является его собственным значением.
– вполне непрерывные операторы,
{
}
– последовательность вполне
→
, но и для любого бесконечномерного
, то и оператор вполне
не является вполне
(
−
)
. В случае
49
Теорема 2. Любой ВНС оператор имеет хотя бы одно
собственное значение.
Теорема 3. Если собственное значение ВНС оператора не
равно нулю, то ему соответствует конечно-мерное собственное
подпространство.
Теорема 4. Для ВНС оператора и любого положительного
найдется лишь конечное множество собственных значений , для
которых
окрестность, в которой не существует других собственных значений.
ВНС оператора есть изолированные точки спектра.
двум разным собственным значениям самосопряженного оператора
ортогональны между собой. Рассмотрим теперь собственные
элементы, соответствующие одному собственному значению не
равному нулю. По теореме 3 такие элементы образуют n-мерное
подпространство. Допустим >1 . Тогда в этом подпространстве
можно задать ортонормированный базис. Выбирая элементы всех
таких базисов можно построить ортонормированную
последовательность ℎ
оператора. Будем называть такую последовательность
фундаментальной системой.
,∈ можно разложить в ряд Фурье по собственным
элементам ℎ
где=(,ℎ
ВНС оператор. Будет ли нулевое значение принадлежать спектру.
Здесь возможны следующие варианты.
собственных значений. Тогда =0 является предельной точкой
спектра. Поэтому она также принадлежит спектру. При этом она
может быть собственным значением оператора , а может и не быть.
||
>.
Назовем точку спектра изолированной, если у нее найдется
Из теоремы 4 следует, что все отличные от нуля точки спектра
Выше говорилось, что собственные элементы, соответствующие
, состоящую из собственных элементов
Теорема 5. Пусть – ВНС оператор. Любой элемент вида
фундаментальной системы:
=
)
.
ℎ
,
Пусть – бесконечномерное гильбертово пространство, –
1) Пусть ВНС оператор имеет бесконечное множество
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]