Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
⎩
2) Оператор имеет лишь конечное множество собственных
значений. Тогда фундаментальная система собственных элементов
будет конечной. Такая система не может быть полной в .
Следовательно, 0 – собственное значение. Спектр совпадает с
множеством собственных значений.
9.4. Интегральные уравнения Фредгольма. Интегральным
уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию
под знаком интеграла. Уравнение вида
называется уравнением Фредгольма первого рода. Здесь
предполагается, что функции (,) и () заданы, а (
неизвестная функция.
Пример. Предположим, что на струну действует сила,
распределенная по ней непрерывно, с плотностью (
мала по сравнению с силой натяжения струны, величина отклонения
от положения равновесия описывается функцией
где
(,)=
Рассмотрим теперь обратную задачу: найти то распределение
нагрузки (), при котором струна примет заданную форму (
Мы получили интегральное уравнение Фредгольма первого
рода.
Более сложное уравнение
называется уравнением Фредгольма второго рода.
Ядро (,
Тогда интегральный оператор =∫(,)()
оператором в гильбертовом пространстве
уравнение можно записать в виде
(,)()+()=0
)
)
. Если эта сила
ℓ
()=(,)(),
ℓ
)
при0≤≤
)
при≤≤ℓ
(ℓ−
(ℓ−
.
ℓ
)
.
()=(,)()+(
)
предполагается непрерывным и симметричным.
)
является ВНС
. Теперь последнее
–
51
=γ+.
Разделим обе части на . Тогда
=+
где =
и=−/.
Теорема 5 из предыдущего параграфа означает, что всякая
непрерывная функция (), имеющая вид
()=∫(,)()
раскладывается в ряд Фурье по собственным функциям ℎ()
фундаментальной системы
⇒(−)=,
(9.1)
=ℎ
()
причем ряд сходится в среднем. Однако известен более сильный
результат.
Теорема 1. (Д. Гильберт – Э. Шмидт). Для всякой непрерывной
функции (), представимой по формуле (9.1), где ∈
справедливо разложение на отрезке [,] в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд Фурье
()=ℎ
()
по собственным функциям интегрального оператора .
9.5. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные функции. К
задаче Штурма-Лиувилля мы приходим при решении уравнений
математической физики методом разделения переменных.
Для функции =(),∈(0,ℓ
)
рассмотрим обыкновенное
дифференциальное уравнение с постоянным параметром c вида
()
−()+()=0,(9.2)
с краевыми условиями
(0)
+(0)=0,(9.3)
(ℓ)
+(ℓ)=0,(9.4)
+
≠0,=1,2.
,
52
Предполагается, что функции ()>0, ()>0 и ()≥0 –
непрерывны на
производную.
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения
множество значений параметра , при которых уравнение (9.2) имеет
ненулевое решение, удовлетворяющее однородным условиям
(
9.3)и(9.4).
Найденные значения параметра =
собственными значениями задачи Штурма–Лиувилля, а
соответствующие им решения () – собственными функциями.
9.6. Свойства решений задачи Штурма-Лиувилля.
1. Задача Штурма-Лиувилля имеет счетное множество
собственных значений, т.е. конечную или бесконечную
последовательность ,,… и все они вещественны.
2. Каждому собственному значению
единственная (с точностью до постоянного множителя) собственная
функция ().
3. Если функция =+ ( – мнимая единица) является
собственной, соответствующей собственному значению
вещественная и мнимая части также являются собственными
функциями, соответствующими тому же значению
функции задачи можно выбрать вещественными.
4. Собственные функции на отрезке
ортогональную систему с весом (
5. Система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля
полна в пространстве (0,ℓ).
6. Всякая функция (), удовлетворяющая краевым условиям
(9.3) и (9.4) и имеющая непрерывную первую производную и
кусочно-непрерывную вторую производную, разлагается в абсолютно
и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям
(
0,ℓ),а () кроме того имеет непрерывную
(
)
9.2
: найти все
называются
соответствует
. Собственные
[
]
0,ℓ
образуют
)
:
ℓ
()
()
()
=
0,≠,
‖
‖
,=.
, то ее
53
()=
()
,=()
Рассмотрим частный случай, когда ()≡1,()≡1,()≡0.
Тогда задача Штурма-Лиувилля имеет вид:
"+=0,
(0)
+(0)=0,
(ℓ)
+(ℓ)=0,
+
≠0,=1,2.
Пример 1. Струна длиной ℓ закреплена в точках оси =0
и=ℓ . Пусть (,) – величина отклонения струны в точке от оси
. Тогда уравнение свободных колебаний струны имеет вид
=
с нулевыми граничными условиями
(0,)=0, (ℓ,)=0
и начальными условиями
(,0)=();
Пример 2. Задача о распространении тепла в стержне длиной ℓ.
Пусть (,) – температура в точке стержня . Тогда уравнение
имеет вид
=
Будем считать, что на конце =0 поддерживается температура 0
|
на конце =ℓ тепло излучается в окружающую среду с температурой
нуль:
=−ℎ
ℓ
начальная температура равна
ℓ
;
(
,0)=().
.
=0;
|
ℓ
()
()
.
°
:
;
54
|
=()(0≤≤ℓ).
В обоих случаях будем искать решения в виде произведения функций,
которые зависят только от одной переменной.
Решение задачи о колебании струны. Для задачи о колебании
струны это значит, что
=()().
При этом должны выполняться граничные условия.
Подставив в уравнение, получаем равенство
или
Левая часть этого равенства зависит только от , а правая только
от . Это возможно, если обе части равны постоянной. Обозначим эту
постоянную через
(
−
Получаем два уравнения
()
+()=0;
Оба уравнения соответствуют задаче Штурма-Лиувилля. По общей
теории мы должны получить ортонормированную последовательность
()
и соответствующую последовательность собственных значений
. В данном случае эти функции можно легко найти, решив линейное
однородное дифференциальное уравнение. Для этого запишем
характеристическое уравнение
Тогда общее решение имеет вид
()=cos()+sin().
Аналогично, решая второе уравнение, найдем
В результате получаем формулу для одного из решений уравнения:
)
(
∙()=()′′(
()
=
=
()
()
)
. Тогда
()
()
()
+=0⇒
()
()
=−.
()
+()=0.
=±.
,
)
.
()=cos()+sin().
55
(,)=(cos()+sin())∙(cos()+sin()).
В этом равенстве участвуют ряд неопределенных постоянных:
,,,,. Подберем их таким образом, чтобы выполнялись
граничные условия. При этом решающую роль будет иметь второй
множитель. Пусть =0, тогда 0=(cos(∙0)+sin(∙0))⇒
+∙0=0⇒=0. Если =ℓ, то 0=sin(∙ℓ). Это возможно
только если ∙ℓ=π∙. Значит, =
последовательность решений
(
,)=cos
π
ℓ
+sin
Можно считать, что =1, а – целое положительное число.
Мы получили последовательность решений. Но нам нужно такое
решение, для которого выполняются начальные условия. Будем
искать такое решение в виде суммы ряда
Иными словами,
π
(,)=
cos
+sin
ℓ
Начальные условия
π0
(,0)=()⇒
=()=
∑
cos
sin
ℓ
ℓ
.
Последовательность
sin
собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. С другой стороны,
нами уже доказана ортогональность тригонометрической системы
функций. Отсюда следует, что коэффициенты
как коэффициенты разложения функции (
Следовательно,
. Тогда мы получаем
ℓ
π
sin
ℓ
∑
.
π
ℓ
π0
+sin
ортогональна как система
ℓ
ℓ
могут быть найдены
π
ℓ
π
sin
ℓ
π
sin
)
по синусам.
.
.
=
ℓ
56
ℓ
2
=
ℓ
()sin
(
,0)=()⇒(,)=
=
()=
−
π
ℓ
sin
(
,0)=
π
ℓ
+
π
ℓ
π
π
ℓ
∙
;(9.1
ℓ
π
cos
ℓ
π
sin
.
ℓ
)
;
Коэффициенты
находят по формулам
ℓ
=
2
()sin
π
ℓ
.
(9.2
Итак, решение поставленной задачи определяется формулой
(,)=
cos
π
ℓ
+sin
π
ℓ
sin
Решение задачи о теплопроводности. Так же, как в предыдущей
задаче, будем искать решения в виде
=()().
Тогда
)
(
∙()=()′′(
()
()
=
()
()
=−.
)
Решая уравнение
()
=−,
()
как и выше, получим решение
()=cos()+sin().
π
ℓ
)
.
57
Решая уравнение
получим решение =−⇒
ln=−+ln⇒=
Следовательно,
=
Но теперь у нас более сложные граничные условия.
=−ℎ
ℓ
|
ℓ
⇒
Следовательно, cos(ℓ)=−ℎsin(ℓ)⇒(ℓ)=−
=ℓ, получаем трансцендентное уравнение
=,где=−
Это уравнение имеет бесконечное множество вещественных
корней, из которых мы выберем только положительные (рис. 3).
Оказалось, что нашлась последовательность значений =
при которых функции
удовлетворяющими граничным условиям.
Для того, чтобы выполнялись начальные условия, ищем в
виде:
(,)=
и при =0 получаем:
|
=()=(
()
(
=−,
)
=−⇒
[
cos()+sin(
(0)=0⇒=0;
cos(ℓ)=−ℎ
(
(
)
=−.
.
)
]
.
sin(ℓ).
. Полагая,
1
.
ℎℓ
ℓ
)
являются решениями,
)
,
()
,
=
,
58
где
1
2
−
1
−
2
()
=(
)
. Заметим, что для получения этих функций мы
решали задачу Штурма-Лиувилля и
()
– собственные функции
этой задачи.
Рис. 3
Как известно, функции
()
образуют ортогональную и полную
последовательность (свойства 4-6). Поэтому коэффициенты
должны определяться формулой
=
ℓ
∫
()
∫
()
ℓ
()
.
10. Приближенно-аналитические методы решения краевых
задач
10.1. Классификация приближенных методов решения
дифференциальных уравнений. Идеи и результаты
функционального анализа используется при решении
приближенными методами дифференциальных и интегральных
уравнений. Рассмотрим краевую задачу для решения обыкновенного
59
дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид таких
задач
(,,,
()
где ,,
(),
– заданные функции определенной гладкости.
Получить точное (аналитическое) решение краевых задач
сложнее, чем решение задач Коши. Это объясняет большой интерес к
приближенным методом решения таких задач. По типу полученных
результатов эти методы можно разделить на две группы:
приближенно-аналитические, дающие приближенное решение краевой
[
задачи на отрезке
]
,
в виде конкретной функции, и численные или
сеточные методы, дающие ответ в виде таблицы приближенных
значений искомой функций. С точки зрения функционального анализа
нам ближе всего методы первой группы. К ним можно отнести
следующие
1) метод коллокации;
2) проекционные методы (моментов, Галеркина);
3) вариационные методы (наименьших квадратов, Ритца);
4) проекционно-разностные методы (метод конечных
элементов).
Рассмотрим методы коллокации, Галеркина и Ритца на примере
решения линейной краевой задачи
[]≔+()+()=(),∈[,],(10.1)
[]
ℓ
≔()+
[]
ℓ
≔()+
при этом предполагается, что
|
|+|
10.2. Метод коллокации. Будем искать приближенное решение
линейной краевой задачи в виде функции
()
≔
Предполагается, что функции
дифференцируемы и попарно линейно независимы. Кроме того,
функция
()
должна удовлетворять краевым условиям (10.2) и
|
()
)
=0,∈[,],
()
()
()
|+|
и
(),
=0,
≠0,|
+
()
=0,
=,(10.2)
=,(10.3)
|
≠0.
()
,(10.4)
()
должны быть дважды
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]