Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
‖‖
=vraisup
|
Здесь vraisup
|
()|≤почти всюду.
|
()
означает наименьшее из чисел M, для которых
6. Пространство всех функций (), непрерывных на отрезке
[
,] и имеющих на нем непрерывные производные до k-го порядка
включительно. Обозначим такое пространство, как
этом пространстве норму, полагая
‖‖
=maxmax
|()|
,max
Во всех примерах пространства определяются как множества
функций или последовательностей, для которых конечны
соответствующие нормы. Все эти пространства являются банаховыми
пространствами.
Множество элементов линейного пространства имеющих вид
=(1−)+,,∈,0≤≤1, называется отрезком,
соединяющим точки и. Множество К пространства Е
называется выпуклым, если отрезок, соединяющие две любые точки
множества К, целиком содержатся в этом множестве.
Легко видеть, что в нормированном пространстве шар является
выпуклым множеством.
Замкнутое линейное многообразие нормированного
пространства называют подпространством.
Множество называется ограниченным в нормированном
пространстве , если найдется такое число , что ‖
любого ∈.
Задача. Проверить являются ли векторы =(1;2;3),=
(
4;0;2),=(−2;4;4) линейно независимыми. В случае, линейной
зависимости выразить через и
Задача. Будут ли функции =1,=,=,=(4+2
линейно независимыми? Представить одну из этих функций как
линейную комбинацию остальных.
Задача. Дана последовательность функций =,=1,2,3,…
Найти нормы элементов в пространствах
|
()|.
[
]
,
. Введем на
)
(
.
,…,max
()
()
.
‖
[
0;1],[0;1],
< для
[
0;1].
)
21
В каком из этих пространств получается сходящаяся
последовательность? В каком неограниченная?
4. Гильбертово пространство.
4.1. Скалярное произведение. В обычном трехмерном
векторном пространстве
(
,)=||||cos или (,)=++
при ={,,} и ={,,
|(
что
,)|≤|||
|
,
⊥⇔(,)=0.
Приняв в качестве определения второе равенство можно легко
распространить его на n-мерный и даже бесконечномерный случай.
Для элементов ,
Здесь мы предполагаем, что ={,,…} и ={,,…,
причем «координаты» элементов и
рассматривают случай, когда и
случае
где комплексно-сопряженное к число. Т.е. если =+, то
=−. Норму в
‖‖
В дальнейшем мы рассмотрим еще несколько вариантов
скалярного произведения. Поэтому рассмотрим их общие свойства.
4.2. Аксиомы гильбертова пространства. Пусть – линейное
пространство, состоящее из элементов ,,,… . При этом
выполняются следующие утверждения.
1. Каждой паре и элементов из поставлено в соответствие
(
число
)
,
, которое называется скалярным произведением этих
элементов. При этом должны выполняться условия:
определяется скалярное произведение
}
. Из первого равенства следует,
||
положим
(
)
=
,
и для ненулевых векторов
(
,)=
(
,)=
.
– это комплексные числа. В этом
– вещественные числа. Часто
,
определим равенством
(
=
,)=
.
,
}
,
22
(
а)
,)=(,
(
б)
+,)=(,)+(,
(
в)
,)=(,
(
г)
,)≥0,причем(,)=0⇔=0. Число ‖‖=(,
назовем нормой элемента .
2. Пространство полно.
3. В для любого натурального числа найдется линейно
независимых элементов, т.е. – бесконечномерное пространство. В
этом случае будем называть – гильбертовым пространством.
Примеры. 1) Пространство ℓ, состоящее из
последовательностей ={,,…}с нормой
и скалярным произведением
2) Пространство
и скалярным произведением
В этих определениях предполагается, что ∈⇔‖
Возникает вопрос: для всяких ли функций () и (
нормами существует скалярное произведение, т.е., что
Для ответа на этот вопрос используем неравенство Буняковского Шварца
Из него также следует
‖
+
‖
≤‖
+2‖‖‖‖+‖
)
;
)
;
)
;
‖‖
ℓ
(
,)=
(
,), состоящее из функций ()с нормой
‖‖
(
,)=()().
|(
,)|≤‖‖‖‖.
‖
=(+,+)=(,)+2(,)+(,)≤
=
=
‖
=(‖‖+‖
(
.
)
.
‖)
‖
<∞.
)
с конечными
(
,)<∞?
)
или
‖
+‖≤‖‖+‖‖.
23
Таким образом, из неравенства Буняковского - Шварца следует
неравенство треугольника и существование скалярного произведения
для любых функций () и (
мы доказали, что функционалы
являются нормами.
4.3. Ортогональность, ортонормированные системы. Два
элемента ∈,∈ называются ортогональными, если (,)=0.
Будем в этом случае писать ⊥. Элемент называется
ортогональным подпространству ⊂, если ортогонален любому
∈. Тогда будем писать ⊥.
Расстоянием от элемента до подпространства назовем
число (,)=inf‖−‖ при ∈.
Теорема. Если ∈и – некоторое подпространство
пространства , то можно представить в виде суммы
где ∈ и ⊥. Такое разложение единственное. При этом норма
равна расстоянию от точки до подпространства .
Последовательность ,,…,… называется ортогональной,
если при ∀,,≠,⊥
Ортогональная последовательность ,,…,… называется
ортонормированной, если норма любого элемента
Бесконечная система элементов называется линейно
независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно
независима.
Любую линейно независимую систему ℎ,ℎ,…,ℎ,… можно
превратить в ортонормированную систему с помощью процесса
ортогонализации Шмидта.
Опишем этот процесс. Пусть =ℎ/‖ℎ
. Коэффициент подберем таким образом, чтобы
ортогонально
. Найдем его из уравнения
(
,
)
=0⇒(,ℎ−
При таком получаем ⊥. Пусть =/‖
,,…
уже построены. Возьмем
)
с конечными нормами. В результате
‖‖
ℓ
и
‖‖
действительно
=+,
.
равна единице.
‖
. Положим =ℎ−
)
=0;(,ℎ
=(,ℎ
)
)
.
−
(
,
)
‖
. Допустим, что
было
=0;
24
=ℎ−
и выберем числа так, чтобы
,,…,
. Для этого положим =ℎ,
скалярное произведение
(
)
,
=(ℎ,
=
)−(
ℎ,
)(
,
)
−
Пусть теперь =/‖
ортонормированную последовательность элементов ,,…,,… .
4.4.Разложение элементов Гильбертова пространства в ряд
Фурье. Пусть – подпространство, порожденное ортонормированной
системой ,,…,,… , и ∈. В этом случае для любого
положительного найдется такая линейная комбинация
−
Найдем
∑
−
=(,)−,2
=(,)+
=(,)−
=−
∑
было бы ортогонально элементам
,
‖
. Таким образом мы построим
,−
+
=(,)−2
+(−2)+
+
∑
,
<.
=(ℎ,
∑
−
. Найдем теперь
)−(
ℎ,
∑
=
,
.
,
=
+
−
=
∑
)
, что
=0
=
Здесь =,
. Из последнего равенства следует, что наименьшее
расстояние между элементом и линейной комбинацией
25
∑
получается, если коэффициенты совпадают с числами
случае
=(,)−
<.
(4.1)
−
Так как можно выбрать сколь угодно малым, то
=lim
→
=
.
=‖
∑
сходится, причем
‖
.
Из формулы (4.1) следует, что ряд
До сих пор мы предполагали, что ∈. Пусть теперь – любой
элемент пространства . Обозначим через проекцию на . Тогда
=
где
=(,
)=(
,
)
и
,
=‖
‖
Так как =+,∈,⊥, то
‖‖
=‖
‖
+‖
‖
≥‖
‖
.
Следовательно, для ∀∈ справедливо неравенство
≤‖
‖
.
Это соотношение называется неравенством Бесселя.
{
Ортонормированная система
}
называется замкнутой, если
подпространство , порожденное этой системой, совпадает с . Если
{
}
– такая система, то любой элемент ∈ можно представить в
виде суммы ряда
=
,где=(,)
.
.
. В этом
26
Ортогональная система элементов называется полной, если в
не существует элемента, отличного от нуля и ортогонального всем
элементам системы.
Ряд, определенный этими формулами, называется рядом Фурье.
{
Если ортонормированная система
справедливо равенство, которое называют равенством Парсеваля–
Стеклова:
Пример. Пусть =
{
}
определяется равенством
[
−1;1] и последовательность функций
можно ортогонализировать с помощью процесса Шмидта. При этом
получается ортогональная последовательность (). Затем ее делят
‖
на
‖
и получают ортонормированную последовательность. Другой
вариант деления состоит в том, что делят на (1). Тогда получится
ортогональная последовательность функций
(1)
=1. Эти функции известны под названием полиномы
Лежандра.
Задача. Полиномы Лежандра определяются равенствами
()
=1,
()
=,
Найти полиномы
(
),(
,
,
)
и нормы ,в пространстве
()
и
ортогональность функций ,,. Может ли последовательность
полиномов Лежандра быть ортонормированной?
5. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической
системе функций
5.1. Тригонометрическая система функций. На отрезке
[
]
−,
рассмотрим систему функций
1,cos(),cos(2),…,cos(),…,sin(),sin(2),…,sin(),…
эта последовательность ортогональна.
}
замкнутая, то для любого ∈
()
()
‖
=‖
()
.
=
. Эту последовательность
()
, для которых
1
(
=
2!
[
−1
)
. Найти скалярные произведения
[
−1,1]. Проверить
]
.
27
5.2. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда. Если найти скалярное
произведение любых двух разных функций из этого списка, то
получим нуль. Это значит, что тригонометрическая система
функций ортогональная. Допустим, что функция () равна сумме
ряда
()=
2
Здесь предполагается, что ряд сходится в пространстве .
Умножим скалярно обе части этого равенства на cos. Тогда должно
получиться равенство
(()
,cos)=
(
1,cos)+
2
+
Все эти скалярные произведения равны нулю, кроме одного
слагаемого, которое получается когда = . Мы получаем равенство
(()
,cos)=
(
cos,cos)⇒=
Вычислим
(
cos,cos)=cos()
Следовательно,
(()
=
С помощью аналогичных вычислений можно получить
равенство
(()
=
Наконец, умножим обе части исходного равенства скалярно на
единицу. Мы получим равенство
(
Следовательно,
+
,cos
,sin
cos
(
cos,cos)+
=
=
1
()cos.
1
()sin().
)
)
=
((),1)
=
1,1)=1=2.
+sin.
(()
,
(
,
1+cos(2
2
(
1,1). При этом
(
sin,cos).
)
.
)
)
=.
28
2
=
((),1)
2
Выпишем полученные формулы:
=
=
1
()cos;=
1
();
которые называются формулами Эйлера-Фурье. Мы получили эти
равенства, предполагая, что для данной функции
()=
2
+
cos
Здесь возникает несколько вопросов. Во-первых, для всех ли
функций ()∈
выполняется это равенство? Во-вторых, как
понимать это равенство? Сумма ряда это предел частичных сумм. Это
можно понимать как предел по норме пространства
поточечный предел, т.е. числовой предел при каждом фиксированном
, и наконец, это можно понимать в смысле равномерной сходимости.
Теорема. Тригонометрическая система полна в пространстве
[−,] .
Пусть ()=
∑
+
cos
,, вычислены по формулам Эйлера-Фурье для функции ().
Рассмотрим разность ()=()−(). Если вычислить
коэффициенты для функции (), то они получатся такие же, как у
функции (). Поэтому функция (
Это означает, что (
)
ортогональна всем функциям
тригонометрической системы. В силу полноты этой системы это
означает, что ()≡0. Таким образом, любая функция ()∈
может быть представлена как сумма ряда Фурье. При этом ряд
сходится по норме пространства
.
5.3. Условия Дирихле. Теорема Дирихле. Рассмотрим при
каких условиях в данной точке сумма ряда Фурье совпадает с
1
=
().
1
()sin;
+sin.
, как
+sin, где коэффициенты
)
имеет нулевые коэффициенты.
29
Рис.2
значением исходной функции. Допустим, в точке = функция (
имеет разрыв, но при этом существуют правосторонний и
левосторонний предел, т.е. (рис. 2)
=lim
она непрерывна в этом промежутке за исключение может быть
конечного числа точек, в которых допускаются разрывы первого рода,
и если, кроме того, промежуток
число таких промежутков, в каждом из которых () меняется
монотонно.
Теорема Дирихле. Если (), заданная в промежутке –,
удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле, то ряд Фурье
этой функции сходится во всем промежутке
ряда:
1) равна () во всех точках непрерывности (), лежащих
внутри промежутка;
2) равна
во всех точках разрыва x;
3) равна
на концах отрезка, т.е. при =−и=.
Теорема о равномерной сходимости
Теорема.
1. Во всяком промежутке [,]⊂–,
(), удовлетворяет условиям Дирихле и кроме того непрерывна, ряд
Фурье функции () сходится равномерно на [,].
→
()=lim
→,
=lim
называется точкой разрыва первого
рода.
функция удовлетворяет условиям
Дирихле в промежутке
–,
(+0)+(−0)
2
(−+0)+(−0)
2
()и= lim
→,
(),≠.
→
()=
Точка с в этом случае
Условия Дирихле. Говорят, что
–,, если
можно разбить на конечное
–,
и сумма этого
, на котором функция
)
,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]