Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
(
)
()
()
Доказательство. Обозначим
(0)=0 и
()
=(). Пусть ()≓(). Тогда по теореме об
изображении производной ()≓()−(0)=(). Поскольку
()
=()≓(), получается, что ()=(), откуда
()=
().∎
Изображение степенной функции. Имеем 1≓
теореме об изображении интеграла =∫1
т.е. ≓
или
и т.д. Вообще, очевидно,
. Применим ту же теорему еще раз:
≓
. Применяя эту же теорему далее, получим
(
)!
1
≓
().
()
∫
≓
, или, в силу линейности
=(). Очевидно,
. Значит, по
≓
=∫≓
∙
=
≓
!
,
∙
,
=
,
≓
!
преобразования Лапласа
(
≓
−1)!
.
12.8. Теорема запаздывания. Пусть имеется оригинал ().
Возьмем какое-нибудь
положительное число .
Оригиналом,
запаздывающим на ,
называется функция
()
=(−). На
рис.11 изображены
графики () и
()
.
Рис. 11.
Теорема. Если ()≓(), то
()
≓
().
81
+
Теорема запаздывания полезна для отыскания изображений
функций, имеющих характер импульсов. График функции () дан
на рис.12.
Рассмотрим теперь функцию (), график которой изображен на
рис. 13.
()=
Поэтому
()=
−
()
()
−
=
()
.
(
1−
)
.
Рис. 12.
Рис. 13.
12.9. Теорема затухания.
Теорема. Если ()≓(), то ()≓(−).
Доказательство.
()≓
()=
()
()=
(−).∎
В приложениях часто бывает, что () – периодическая
функция, а <0, так что
представляет собой множитель,
вызывающий затухание, отсюда название теоремы.
Изображение функции
(
)!
. Поэтому по теореме затухания
. Нам известно, что
(
−1)!
≓
(
−
.
)
≓
82
Таблица 12.1
№ формулы
Оригинал
Изображение
1
1
−λ
sin
+
cos
+
sin
(
−
)
+
cos
−
(
−
)
+
(
−1)!
(
−1)!
(
−
)
sin
2
(
+
)
cos
−
(
+
)
2+3
sin4–4
;
cos2+2
−1;
8
−
sin2+
;
4
−7cos3−;
−
+
;
+
;
+
(
)
+
−
+
.
12.10.Таблица оригиналов и изображений. Приведем
небольшую таблицу оригиналов и соответствующих им изображений
(табл.12.1).
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12.11. Задачи для решения на занятии.
12.11.1. Найти изображения по оригиналам, пользуясь таблицей
оригиналов, изображений и свойством линейности:
а)
в)
б)
г)
12.11.2. Найти оригиналы по изображениям:
а)
б)
в)
; г)
83
13. Операционный метод решения дифференциальных
уравнений
13.1. Отыскание оригинала, когда изображение –
рациональная дробь. Пусть ()=
дробь (так что () и () – многочлены, степень () выше
степени () ). Чтобы найти оригинал (), можно разложить эту
дробь на сумму простейших дробей. Чтобы найти оригиналы,
соответствующие простейшим дробям можно использовать формулы
из табл. 12.1.
Пример. Пусть ()=
2+3
(
−1
=
)
+
2+3=(−1
)
+(−1)++(−1).
Взяв =0,получим =3; взяв =1, получим =5;далее
раскроем скобки и приравняем коэффициенты при :0=+ и
при :2=−2+,найдем =8,=−8. Таким образом,
3
()=
8
+
Используя формулы из табл. 12.1 получим
(
≒,
)
≒. Следовательно,
()=3+8+5−8.
13.2.Теорема Хэвисайда. При разложении знаменателя на
множители могут получиться, например следующие множители
(
−
)
и(−
)
. Тогда и
– простой корень, – кратный корень (кратности ).
()
– правильная рациональная
()
. Разлагаем на простейшие
(
)
+
(
+
(
−1
)
5
−
)
−1
– корни знаменателя. При этом
+
8
−1
−1
≒,
;
.
≒1,
84
Таблица 13.1
()
(
)
()/(
)
На практике часто встречается случай, когда все корни
знаменателя простые. Для этого случая можно использовать
следующую теорему.
Теорема (Хэвисайд). Пусть ()=
рациональная дробь, причем все корни знаменателя ,,…,
простые. Тогда изображению (
)
соответствует оригинал
()
()=
′()
Пример. Найти оригинал (
)
для изображения
+3
()=
(
−1)(−2)(−3
Найдем
по формуле
(
)
=+′+′. Тогда
=(−2)(−3)+(−1)(−3)+(−1)(−2
таблицу коэффициентов для формулы Хэвисайда (табл.13.1).
()
– правильная
()
–
.
.
)
)
. Составим
постоянными коэффициентами операционным методом.
(,,,…,–числа) и начальные условия
1 2 3
4 5 6
2 -1 2
2 -5 3
Тогда ()=2−5+3
.
13.3. Решение линейных дифференциальных уравнений с
Дано дифференциальное уравнение
()
+
(
)
+⋯+
+=()
85
≓
≓−
15
≓
−15−
2
≓
−15
−2−56
.
(
)
(
|
=,
′
|
=
,…,
)
Перейдем к изображениям. Пусть ≓().Используя формулы
изображения производных, получим изображения ≓−
≓−−
и т.д. Подставим в уравнение, записав отдельно
слагаемые с и без него. Тогда
(
+
+⋯+
+
)
+()=()
Обозначим первую скобку через (). Тогда изображение
решения имеет вид ()=
()()
()
. Осталось найти по изображению
оригинал ().
Пример. 1.
|
=56.
−−6=0;
|
=15;
Преобразуем уравнение. Пусть ≓.
Коэффициенты производные
=
|
.
=2;
;
Тогда =0,=3,=−2. Все корни простые, поэтому можно
использовать теорему Хэвисайда. Запишем таблицу коэффициентов
(табл. 13.2).
0
-6
-1
1
(
−−6)−15+13+36=0;
15−13−36
=
−−6
.
Разложим знаменатель на множители: ()=(−−6)=0.
()=15−13−36; ()=(−3)(+2);
86
Таблица. 13.2
()
(
)
()/(
)
()=(
−3)(+2)+(+2)+(−3).
0 -2 3
-36 50 60
-6 0 15
Поэтому =6+4+5
6 5 4
.
Пример. 2. +=cos;
|
=0,
Пусть ≓, тогда ′≓ и ≓;cos≓
Получаем уравнение для изображений:
(
+1)=
|
=0.
,=
(
)
. В данном случае корни знаменателя кратные и теорема разложения
Хэвисайда неприменима. Разложение дроби на простейшие привело
бы к громоздкому счету. Воспользуемся формулой 9 (табл. 12.1):
=
sin. Здесь решено уравнение гармонического осциллятора в
случае резонанса.
13.4. Решение систем линейных уравнений с постоянными
коэффициентами операционным методом. Рассмотрим метод
решения на примере.
Пример.
+4+4=0;
+2+6=0.
Начальные условия:
|
=3,
|
=15.
Пусть ≓,≓. Тогда ≓−3,≓−15.
Мы приходим к системе линейных уравнений
−3+4+4=0
−15+2+6=0,
или
(
+4)+4=3
2+(+6)=15.
.
87
()
(
)
()/(
)
()
(
)
()/(
)
Решаем эту систему с помощью определителей:
+4 4
=
2 +6
=+10+16;=
=
2 15
=15+54;=
+4 3
У обоих выражений один и тот же знаменатель
=+10+16, с простыми корнями =−2,=−8; =
2+10.
Применим теорему Хэвисайда. Для этого построим таблицу
коэффициентов для функции (табл. 13.3) и для – Z (табл. 13.4)
Таблица 13.3
3 4
15 +6
,=
=3−42;
.
2 -8
-48 66
6 6
=−8
-8 11
+11
.
Таблица 13.4
2 -8
24 66
6 6
=4
4 11
+11
.
13.5. Теорема свертывания. Сверткой двух функций ()и()
называется функция
88
ℎ()=(−)(),(11.1
определенная при тех значениях , при которых интеграл сходится.
Кратко свертка обозначается следующим образом:
ℎ()=()∗().
Свертка обладает свойством перестановочности
()∗()=()∗().
Если ()и() – оригиналы, то можно писать
()∗()=(−)().
Заметим, что ()=0при <0, кроме того, (−)=0 при
>, поэтому верхний предел интегрирования можно взять , а
нижний – 0:
()∗()=(−)().
Последняя формула показывает, что свертка оригиналов
определена при всех (ибо интеграл не является несобственным).
Важность понятия свертки демонстрируется следующей теоремой.
Теорема. Если
()≓(),()≓(),
то
()∗()≓()∙().
Приведем два примера применения этой теоремы.
Пример. Пусть +9=sin5,
|
=0,
|
=0.
Уравнение для изображений
(
+9)=
5
+25
133
=
⟹=
(
+9
(
+9)(+25
∙
)
(
+25
5
=
)
5
.
)
Произведению изображений соответствует свертка оригиналов.
)
89
1
=
sin3∗sin5=
3
1
[
=
cos(3−8)−cos(3+2)
6
1
1
=
−
sin(3−8)−
6
8
=
Пример. Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний
гармонического осциллятора
+=().
С нулевыми начальными условиями
|
=0,
Вынуждающее воздействие () не будем задавать конкретно,
тем не менее, мы сумеем получить формулу для решения уравнения.
Положим, что ()≓(). Тогда, если ≓, то
(
+
)
=(),=(
Но
()≒(),
Следовательно, по теореме свертывания
1
=
13.6. Понятие о дельта-функции. При решении задач
математической физики широко используются обобщенные функции,
которые представляют собой функционалы, определенные на
некотором пространстве функций. Рассмотрим одну из них, которую
называют дельта-функцией и обозначают (). Дельта-функцию как
1
3
+
(−
sin3(−)∙sin5=
]
=
1
sin(3+2
2
)
sin3−
sin5.
|
1
=0.
1
≒
)
sin.
1
)
+
sin,
=
.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]