Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Учебное пособие
.pdf
2. Если (), удовлетворяющая условиям Дирихле, непрерывна во
всем промежутке
то ряд Фурье сходится равномерно на всем отрезке
5.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье
для четной функции имеет вид
Формулы Эйлера-Фурье в этом случае
2
=
Ряд Фурье для нечетной функции. Ряд Фурье для нечетной
функции имеет вид
Формулы Эйлера-Фурье в этом случае
=0;=0;=
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию ()=
Решение. По формулам Эйлера-Фурье для четной функции
–,
, и сверх того
(−+0)=(−0),
()=
2
+
2
();=
()=
2
=
2
=
2
cos.
()cos;
sin.
3
()sin
=
2
3
;
–,
=0.
.
.
.
31
2
=
cos=
2
=−
∙
=2 =
1
sin
Вычислим
sin
=
= sin
=
−1
=
−1
cos∗
−(−1
=
cos
)
Тогда
=
2
∙
1
sin
−
(−1)
2
∙
Подставляя в ряд Фурье значения коэффициентов, получим
=
+4
3
Так как функция ()=
непрерывна на интервале
на концах интервала принимает одинаковые значения, то этот ряд
сходится равномерно.
Задача. С помощью полученного разложения функции ()=
в ряд Фурье доказать, что
1) 1−
2) 1+
+
+
−
+⋯=
+
+⋯=
=
+
∙
(
;
.
2
−
=
1
−0+
)
(−1)
=cos
1
sin
cos=
1
sin
∙
4(−1
=
cos.
sin
.
(−1)
=
)
;=0.
=
(
–,
)
∙
и
Задача. Разложить в ряд Фурье функцию ()=. Вычислить
значение функции при =. Найти сумму ряда () при =.
.
32
Сравнить значение функции и сумму ряда. Объяснить, почему они не
совпадают.
6. Линейные операторы
6.1. Отображения, операторы, линейные операторы. Пусть E
и F – множества. Если каждому элементу ∈ по некоторому
правилу поставлен в соответствие один элемент ()∈, то говорят,
что задано отображение множества в множество , и пишут
:→.
Отображение одного нормированного пространства в другое
(или в исходное) принято называть операторами.
Оператор :→называется линейным, если
1) для любых ,∈ выполняется равенство
(+
2) для любого ∈ и любого числа
Оператор называется непрерывным, если из условий ∈,
lim
→
= следует lim
→
Примеры. 1) Нормированное пространство
которого являются n-мерные вектора. Дана квадратная матрица
размерами ×. Оператор определяется как оператор умножения
на эту матрицу. Такой оператор является линейным. Он отображает
в
.
2) Пусть
()=(,)(),
где (,) – непрерывная в квадрате ≤,≤ функция. Если
()∈[,], то ()∈[,]. Следовательно, оператор =
является линейным оператором, отображающим пространство [,]
в [,]. Можно доказать, что этот оператор непрерывен.
Оператор, рассмотренный в первом примере, называется
матричным, оператор во втором примере называется интегральным.
3) Единичный оператор , определен равенством =.
6.2. Непрерывность ограниченного линейного оператора.
Оператор :→ называется ограниченным, если существует такое
число , что ‖
‖
≤‖
)
=+;
()=.
=.
‖
для любого ∈.
, элементами,
33
Обычную функцию одной переменной, отображающую в
можно рассматривать как частный случай оператора. Нам хорошо
известно, что ограниченность функции еще не означает ее
непрерывности. Интересно, что в отличие от общего случая, для
линейного оператора ограниченность означает непрерывность.
Теорема. Для того чтобы линейный оператор был непрерывен,
необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
6.3. Норма оператора. Пусть – линейный ограниченный
оператор. Наименьшая из постоянных , удовлетворяющих
неравенству
обозначается
‖‖
‖‖
.
≤‖
‖
называется нормой оператора и
Норму оператора можно определить также равенством
‖‖
‖‖
=max
‖‖
.
Норма оператора обладает таким очевидным свойством: для
любого ∈
‖‖
≤‖‖‖
‖
.
Пусть в линейном нормированном пространстве задано
линейное многообразие . Его можно рассматривать как
самостоятельное линейное пространство, может быть неполное.
Предположим, что линейный оператор задан и ограничен на .
Соответствующую норму оператора обозначим как
‖‖
.
Теперь сформулируем теорему о продолжении.
Теорема. Линейный ограниченный оператор ,заданный на
линейном многообразии , всюду плотном в линейном нормированном
пространстве , со значениями в банаховом пространстве , может
быть продолжен на все пространство без увеличения нормы.
Сам процесс такого продолжения называется продолжением
оператора по непрерывности.
6.4. Пространство линейных ограниченных операторов.
Пусть два оператора А и В отображают пространство в . Тогда
можно рассмотреть сумму этих операторов – линейный оператор
+ заданный на элементе ∈ с помощью равенства
(
+)=+.
Аналогично, для любого числа можно определить линейный
оператор с помощью равенства ()=(
)
.
34
Таким образом, мы имеем линейное пространство линейных
операторов, отображающих в. Покажем, что функционал, который
мы назвали нормой линейного оператора, действительно обладает
свойствами нормы. Напомним, какими свойствами должна обладать
норма:
‖‖
1)
≥0,причем‖‖=0⇔=0;
‖‖
2)
‖
3)
+‖≤‖‖+‖‖.
=‖
‖
;
Покажем это для нормы операторов.
1) ‖‖=sup
2)
3)
‖‖
.
‖‖
= sup
‖‖
‖
+‖= sup
‖‖
‖‖
‖
‖=||sup
‖
+‖≤sup
‖‖
≥0;
‖‖=||‖‖
‖‖
‖‖
‖‖
;
+sup
‖‖
‖‖=‖‖
+
Таким образом, пространство линейных ограниченных
операторов есть линейное нормированное пространство. Но будет ли
это пространство полным? Ответ дает следующая теорема.
Рассмотрим пространство линейных операторов ,
отображающих в F.
Теорема. Если F полно, то пространство линейных
ограниченных операторов будет также полным.
6.5. Обратные операторы. При решении систем линейных
уравнений использовался метод обратной матрицы. Этот метод можно
использовать в гораздо более общей ситуации. Рассмотрим
операторное уравнение
=,
где – линейный оператор, отображающий линейное пространство
в себя, – известный элемент , а – искомый элемент этого же
пространства. К уравнениям этого типа относятся линейные
алгебраические системы, линейные дифференциальные, линейные
интегральные и другие уравнения. Предположим, что существует
оператор
для которого
=.
Такой оператор мы будем называть обратным.
35
Можно дать более общее определение обратного оператора.
Пусть оператор :→. Если существует оператор
определенный на , со значениями в такой, что
=
для любого ∈ и
=
для любого ∈ , то операторы и
называются взаимно
обратными.
Можно показать, что оператор, обратный к линейному, также
линейный.
6.6. Существование обратного оператора. В конечномерном
случае линейный оператор задается как оператор умножения на
матрицу. Тогда обратный оператор – это оператор умножения на
обратную матрицу. Мы знаем, что обратная матрица существует не
всегда. Точнее обратная матрица существует, если определитель
исходной матрицы не равен нулю.
В бесконечномерном случае гораздо труднее выяснить
существует ли обратный оператор. Сформулируем важную теорему
доказанную Банахом.
Теорема. Если линейный ограниченный оператор отображает
все банахово пространство на все банахово пространство
взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный
оператор , обратный оператору , отображающий на .
6.7. Операторы, зависящие от параметра. В разных разделах
математики встречаются уравнения вида
−=или(−)=,(6.1)
где – линейный оператор и – некоторый параметр. Наряду с
уравнением (6.1) рассматривают уравнение
−=0или(−)=0.(6.2)
Это уравнение всегда имеет решение =0, которое называется
тривиальным решением.
Допустим, что для некоторого оператор (−
обратный1
(
−
)
=. Оператор
называется резольвентным
оператором для уравнения (6.1). Тогда для этого уравнение (6.1)
имеет при любом единственное решение
=.
)
имеет
,
36
Однородное уравнение (6.2) имеет в этом случае только
тривиальное решение =0.
Такие значения , при которых уравнение (6.1) имеет
единственное решение при любом , а оператор
называются регулярными значениями для уравнения (6.1) или для
оператора . Если уравнение (6.2) при данном имеет, кроме
тривиального, некоторое другое решение, то такое значение
называется собственным значением для уравнения (6.1) или
оператора , а нетривиальное решение называется собственным
элементом уравнения (6.1) или оператора , соответствующим
данному собственному значению .
Пример. Найти собственные значения и собственные элементы
(векторы) оператора :→
умножения на матрицу
=
Тогда
1 0
=
Матрица − имеет обратную, если ее определитель не равен
нулю. В случае равенства определителя нулю однородная система
должна иметь нетривиальное решение. Значит, чтобы найти
собственные значения оператора надо решить уравнение,
приравняв определитель матрицы − к нулю. Итак, решаем
уравнение
8− 2
2 5−
Мы получили собственные значения оператора . Теперь надо
найти собственные элементы (векторы) оператора. Каждому
собственному значению соответствуют свои собственные элементы.
Пусть =4. Подставим это значение в систему (6.3).
0 1
−=
(
8−)+2=0
2+(5−)=0
=0⇒−13+3=0⇒=4;=9.
определенного как оператор
8 2
.
2 5
8− 2
2 5−
(6.3)
ограничен,
.
37
4+2=0
2+=0
Положим =1тогда=−2. Любой собственный вектор,
соответствующий собственному значению =4, можно записать в
виде С∙(1;−2).
Пусть =9. Подставим в систему (6.3).
−+2=0
2−4=0
Собственные вектора имеют вид С∙(2;1
собственных векторов найдем такие векторы, длины которых равны
единице =
независимы и ортогональны между собой.
Задача. Вычислить норму оператора в соответствующем
нормированном пространстве:
a) ()=()−(0),∈[0,1];
) (
)(
)
)
)()=(2−1)(),∈
Задача. Найти собственные значения и собственные элементы
операторов, заданных матрицами
2 1
и
1 2
Будут ли собственные элементы ортогональны между собой?
7. Линейные функционалы
7.1.Пространство линейных функционалов. Линейный и
непрерывный оператор, значениями которого являются числа,
называется линейным функционалом. Пусть линейный функционал
,−
√
⇒=−2
⇒=2
,=
√
.
.
√
=−−,={
=2−
3 4
5 2
.
,={
)
. Среди множества
,
. Эти векторы линейно
√
}
∈;
}
∈;
[
−1,1],1≤≤∞.
38
() отображает банахово пространство в
линейных функционалов можно задать норму
‖‖
= sup
‖‖
|
()|.
Пространство линейных функционалов называется
пространством, сопряженным с , и обозначается
По теореме о полноте пространства линейных операторов
сопряженное пространство также полно. Точнее можно
сформулировать следствие.
Следствие. Пространство
∗
, сопряженное с линейным
нормированном пространством , есть банахово пространство.
7.2.Теорема Хана - Банаха. Следующая теорема показывает
возможность продолжения на все пространство линейного
функционала без увеличения нормы.
Теорема. Всякий линейный функционал (), определенный на
линейном многообразии нормированного пространства , можно
продолжить на все пространство с сохранением нормы, т.е. можно
построить линейный функционал (), определенный на и такой,
что:
1) ()=()для∈,
‖‖
2)
∗
=‖
‖
∗
.
Следствие. Пусть в линейном нормированном пространстве
заданы линейное многообразие и элемент ∉, находящийся на
расстоянии >0от (=
‖−‖). Тогда существует
∈
функционал (), определенный всюду на и такой, что:
1) ()=0для∈,
2) (
3)‖‖=
)
=1,
.
7.3. Общий вид линейных функционалов в некоторых
банаховых пространствах.
а) Линейные функционалы в n-мерном пространстве
линейный функционал на
можно задать с помощью скалярного
произведения. Пусть () – произвольный линейный функционал.
. На множестве
∗
.
. Любой
39
Элементы =(1,0,…,0),=(0,1,0,…,0),…,=(0,0,…,1) –
образуют базис в
Любой вектор =(,,…,) можно задать как линейную
комбинацию векторов : =++⋯+.
Пусть число =(). Тогда ()=(++⋯+
=1(
1)+2(2)+…+
образом, функционал можно отождествить с вектором =
(
,,…,
)
б) Линейные функционалы в пространстве
последовательностей ℓ. Пространство ℓ
числовых последовательностей =(,,…,,…
конечна норма
можно задать скалярное произведение. Пусть =(,,…,,…
=(,,…,,…
Такой ряд сходится в силу неравенства Буняковского:
∈
‖‖
.
()=11+2
.
состоит из бесконечных
=
ℓ
)
тогда скалярное произведение равно
(
+
,):=
+⋯+
∑
+⋯ . На пространстве ℓ
.
2+…+
)
, для которых
. Таким
)
и
|(
,)|≤
|
|
≤
=‖
‖
‖
∙‖
ℓ
.
ℓ
∙
Таким образом, выбрав произвольный элемент ∈ℓ
задать линейный функционал ()=(,)=
∑
можно
на ℓ. Но
всякий ли линейный функционал можно представить с помощью
скалярного произведения? Допустим, мы имеем линейный
функционал (). Положим =(
получили бесконечную числовую последовательность
ли эта последовательность принадлежать пространству ℓ
)
,=(0,0,…,0
,1,0,…). Мы
{
}
.Будет
?
Рассмотрим последовательность элементов
=(,,…,,0,…).
Найдем число
(
)=∑
≤‖
‖ℓ
‖‖
=
∑
‖‖⇒
∑
≤‖
‖
,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]