Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
83
1. Механические колебания
В физике выделяются колебания механические, электромагнитные и их комбинации. Это обусловлено той исключительной
ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности
человека. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук,
а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем большую часть
прямой информации об окружающем мире.
Колебания – это движения или состояния, обладающие той
или иной степенью повторяемости во времени.
Классификация колебаний.
Во-первых, различают затухающие и незатухающие колебания.
Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, называются затухающими.
Затем говорят о свободных или собственных колебаниях, вынужденных колебаниях и автоколебаниях.
Колебания, совершающиеся при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально внесенной энергии, называются
свободными или собственными.
Таковы, например, колебания грузика на пружине, возникающие после того, как грузик сместили из положения равновесия и
отпустили. К свободным колебаниям относятся также колебания
груза, подвешенного на нити (маятника).
Замечание. В реальных системах вследствие рассеяния
(диссипации) энергии свободные колебания всегда затухающие.
Колебания, возникающие в системе под действием внешней
периодической силы, называются вынужденными.
Например, в швейной машине колебания способны совершаться только тогда, когда на тело действуют периодически изменяющиеся внешние силы, которые и вынуждают тело совершать
колебательное движение.
Незатухающие колебания, возникающие в колебательной системе при отсутствии периодических внешних воздействий за счет
наличия в ней (колебательной системе) активного элемента, вос-
81
84
полняющего неизбежные в реальной системе потери энергии,
N
t
T
называются автоколебаниями.
Колебания могут быть периодическими и непериодическими
(апериодическими, случайными).
Периодические колебания могут быть разнообразными по
форме:
синусоидальными или гармоническими;
пилообразными;
прямоугольными и др.
Отличительной особенностью систем, в которых происходят
свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия. Именно около этих положений и совершаются
свободные колебания.
Для того чтобы в той или иной системе возникли свободные
колебания, необходимо выполнение следующих условий:
1. Системе должна быть сообщена избыточная энергия. Эту энер-
гию можно сообщить системе либо в виде потенциальной энергии, либо в виде кинетической энергии, либо в виде и той, и другой.
2. Избыточная энергия, сообщенная системе, не должна в процессе
возникшего движения полностью тратиться на преодоление трения.
Эти два условия являются необходимыми, но не достаточными
для существования свободных колебаний. Система, помимо этого,
должна обладать еще некоторыми определенными свойствами, которые могут послужить причиной возникновения в системе колебаний.
Основные кинематические характеристики колебаний:
1) амплитуда колебаний (А) - это максимальное расстояние, на
которое удаляется колеблющееся тело от своего положения
равновесия. Амплитуда свободных колебаний определяется
начальными условиями, измеряется амплитуда в метрах;
2) период колебания (
) – это время, за которое совершает-
ся одно полное колебание; здесь N – число полных колебаний,
которые произошли за время t.
82
85
3) частота колебаний (
t
N
2
c
1
2
1
T
2
T
tAx
cos
tAx
sin
0
x
)cos(
0
tAx
)sin(
0
tAx
) – это число колебаний, совершае-
мых за 1 с, измеряется в герцах (Гц);
4) циклическая частота () – это число колебаний, совершаемых
за
секунд, измеряется в
Для периода, частоты и циклической частоты справедливы
формулы:
,
(5.1.)
В процессе свободных колебаний положение колеблющегося
тела непрерывно изменяется. Если трение настолько мало, что им
можно пренебречь, то графиком зависимости координаты колеблющегося тела (материальной точки) от времени является синусоидальная кривая, или, кратко, синусоида.
График зависимости координаты колеблющегося тела от
времени называют графиком колебаний. По графику колебаний
легко определяются все кинематические характеристики колебательного движения.
Колебания, при которых координата колеблющегося тела ме-
няется с течением времени по закону синуса (или косинуса), называются гармоническими.
Если момент начала отсчета времени колебаний совпадает с
моментом максимального отклонения маятника от положения равновесия, уравнение колебаний будет:
или
,
т.е. синусоидальными колебания будут происходить без начальной
фазы
.
– смещение маятника от положения равновесия.
Если момент начала отсчета времени колебаний не совпадает
ни с моментом максимального отклонения от положения равновесия, ни с моментом прохождения им положения равновесия, то колебания происходят с начальной фазой и уравнение таких колебаний имеет вид:
или
.
83
86
Фаза колебаний
0
t
tAx
sin
tvtA
dt
dx
v
coscos
max
Av
max
tatA
dt
dv
a
sinsin
max
2
2
max
Aa
tmatmAmaF
sinsin
max
2
tx
2sin5,0
tv
2cos
ta
2sin22
– это величина, которая позволяет опреде-
лить, какая доля периода прошла с момента начала колебаний, и
наиболее полно характеризует колебательный процесс:
.
По гармоническому закону изменяются не только смеще-
ние, но и все кинематические характеристики движения, и равнодействующая сила:
пусть смещение изменяется по закону:
скорость будет равна:
Ускорение равно:
Равнодействующая равна:
Например,
Графики смещения, скорости и ускорения будут иметь сле-
дующий вид:
, здесь амплитуда скорости равна
, здесь амплитуда ускорения
равна
. Тогда
.
, тогда
,
84
87
Задачи механических колебаний можно условно разделить на
четыре группы:
задачи на уравнения гармонических колебаний;
задачи о колебаниях пружинного маятника;
задачи о колебаниях математического маятника;
задачи о колебаниях физического маятника - маятника произ-
вольной формы, к колебаниям которого нельзя применять фор-
85
88
мулы, применимые к колебаниям пружинного или математиче-
kx
dt
xd
m
2
2
2
2
dt
xd
0
2
2
2
x
dt
xd
m
k
2
)cos(
0
tAx
)sin(
0
tAx
0
2
2
2
x
dt
xd
ского маятников.
Пружинный маятник
Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины.
Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный
пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
Пусть колебательная система – пружинный маятник – является консервативной.
Запишем второй закон Ньютона в дифференциальной форме:
,
где
– ускорение, m - масса маятника, x - смещение
(деформация) пружины, k – жесткость пружины.
Приведем последнее уравнение к стандартному виду:
, здесь
– квадрат циклической частоты.
Это уравнение называют дифференциальным уравнением
(второго порядка, однородное, с постоянными коэффициентами)
свободных колебаний.
Решением этого уравнения являются функции:
или
Колебания реальной системы можно считать свободными,
когда выполнены следующие условия:
1) силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы, и по-
этому их можно не учитывать;
2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так
что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.
Колебания пружинного маятника подчиняются уравнению
, так как:
86
89
1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смеще-
m
k
m
2
T
m
k
k
m
T
2
нию тела x от положения равновесия и направленной всегда к
этому положению.
2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не оста-
навливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.
Выражение для циклической частоты имеет вид:
,
где
- циклическая частота, k - жесткость пружины, m - масса.
Эта формула показывает, что частота свободных колебаний
не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы - в
данном случае жесткостью k и массой
.
Так как
пружинного маятника будет равен:
,
, то период свободных колебаний
.
Математический маятник
Математический маятник - это модель маятника, которая
представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли.
Реальный маятник можно считать математическим, если:
1. Длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела.
2. Масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела.
3. Деформации нити настолько малы, что ими вообще можно
пренебречь.
Колебательную систему в данном случае образуют нить,
присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не
могла бы служить маятником.
,
где ах – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.
87
90
Это уравнение называется уравнением свободных колеба-
g
l
T2
2
2
kx
Ep
2
2
mv
Ek
x
m
)(sin
22
0
2
22
t
kAkx
E
p
)(cos
22
0
2
222
t
Ammv
E
k
ний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие
предположения:
1) будем считать, что силы трения, действующие на тело, прене-
брежимо малы и потому их можно не учитывать;
2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с неболь-
шим углом размаха.
Свободные колебания любых систем во всех случаях опи-
сываются аналогичными уравнениями.
Причинами свободных колебаний математического маятника
являются:
1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препят-
ствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.
2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою
скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.
Период свободных колебаний математического маятника
.
Анализ последней формулы показывает, что период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы,
а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформирован-
ного тела
коэффициент упругости,
жения равновесия,
В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
Полная энергия пружинного маятника:
в его кинетическую энергию
- модуль смещения маятника из поло-
- масса маятника, v - его скорость.
,
88
, где k –
91
2
2
kx
E
222
2222
kAAmmv
mgh
mv
E
2
2
mghE
p
constEEE
kp
0x
kxrvma
rvF
сопр
kxF
упр
.
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
.
.
Превращение энергии при колебаниях пружинного маятника
происходит в соответствии с законом сохранения механической
энергии (
).
При движении маятника вниз или вверх от положения равно-
весия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия
(
), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая
энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной
энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника
его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т.д. Но полная механическая энергия при этом остается
неизменной.
Свободные затухающие колебания
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение
амплитуды колебаний, обусловленное потерей энергии колебательной системы.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным
образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих
волн.
Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной
системы.
Рассмотрим колебания пружинного маятника при наличии
силы сопротивления в системе.
Запишем второй закон Ньютона:
,
где
– сила сопротивления, которая при малых
скоростях пропорциональна скорости движения;
– сила упругости.
89
92
Запишем данное уравнение в дифференциальной форме:
kx
dt
dx
r
dt
xd
m
2
2
02
2
0
2
2
x
dt
dx
dt
xd
m
r
2
mr2
m
k
2
0
0
02
2
0
2
2
x
dt
dx
dt
xd
0
)sin(
00
teAx
t
22
0
22
0
22
T
t
eAA
0
tex
t
2sin2
4,0
.
Приведем его к стандартному виду:
,
где
,
– коэффициент затухания;
– квадрат циклической частоты;
– циклическая частота свободных незатухающих колеба-
ний.
Уравнение
называется дифференци-
альным уравнением свободных затухающих колебаний.
Если
, т.е. затухание не слишком велико, то решением
данного уравнения будет функция:
,
здесь
– циклическая частота затухающих колеба-
ний.
Период затухающих колебаний определяется формулой:
Величина
представляет собой амплитуду зату-
хающих колебаний.
Как видно, амплитуда затухающих колебаний изменяется по
экспоненциальному закону.
Например, график затухающих колебаний
имеет вид.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]