Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
23
инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета
Понятие «инерциальная система отсчета» является научной абстракци-
ей. Реальная система отсчета всегда связывается с каким-нибудь конкретным
телом (Землей, корпусом корабля и т.п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Однако в природе нет неподвижных
тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею
ускоренно по отношению к Солнцу и звездам), поэтому любая реальная система отсчета может рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной
степенью приближения. С очень высокой степенью точности инерциальной
можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему с началом координат в
центре Солнца и с осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических задач инерциальной системой можно считать систему
отсчета, жестко связанную с Землей (не учитывается вращение Земли вокруг
собственной оси и вокруг Солнца).
2
mcE
1
2
2
1
a
a
m
m
а
а
mm
эт
эт
является такая система, относительно которой свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно, или по инерции.
Система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной
системе отсчета с ускорением, является неинерциальной, и в ней не
выполняются ни закон инерции, ни второй закон Ньютона, ни закон сохранения импульса.
Понятие массы является одним из основных понятий динами-
ки.
Масса является мерой инертности (чем больше масса тела,
тем меньшее ускорение приобретает тело под действием постоянной силы), мерой гравитации (каждое тело создает поле тяготения,
пропорциональное массе тела, и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами) и мерой полной энергии
тела (
).
При любом взаимодействии тел имеет место закон (основной
закон взаимодействия тел):
(1.25.). Если массу одного из
тел принять за эталон, то масса второго тела будет равна
шивания на рычажных весах.
В классической (ньютоновской) механике считается, что:
1) масса материальной точки не зависит от состояния движения
тела и не изменяется в процессе движения тела;
. Практически массу тела определяют путем взве-
21
24
2) масса – величина аддитивная, т.е. масса системы, например,
n
i
i
mm
1
dV
dm
dm
Vm
)(V
dVm
m
vmp
НF ,
масса газа в сосуде равна алгебраической сумме масс всех его
молекул:
;
3) масса замкнутой системы является неизменной при любых
процессах, происходящих в этой системе (закон сохранения
массы).
Плотностью
тела в данной его точке называется величина:
(1.26.),
где
– масса элемента тела объемом dV.
Тело называется однородным, если во всех его точках плот-
ность одинакова.
Масса однородного тела m равна:
(1.27.)
Масса неоднородного тела определяется по формуле:
(1.28.),
где
– функция координат, а интегрирование проводится по все-
му объему тела.
Импульсом тела p называется векторная физическая величина,
равная произведению массы материальной точки
на его скорость v:
(1.29.).
В отличие от ускорения и скорости импульс является харак-
теристикой движущегося тела, отражающей не только кинематическую меру движения (скорость), но и его важнейшее динамическое
свойство – массу.
Второй закон Ньютона
Для описания действий тел (материальных точек) друг на
друга вводится понятие силы (
). Под действием сил тела либо
изменяют скорость движения, т.е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т.е. изменяют
свою форму и размеры (статическое проявление сил).
Сила - это векторная величина, являющаяся мерой механиче-
ского воздействия на тело со стороны других тел или полей. В
22
25
каждый момент времени сила характеризуется числовым значени-
В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых находят-
ся на основе второго закона Ньютона. Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная законы движения тела
)(),( tvtr
, определить действующие на него
силы. Классическим примером решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные Кеплером на основании результатов наблюдений законы движений планет, Ньютон доказал, что это
движение происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем.
Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том,
чтобы по действующим на тело силам определить законы его движения
)(),( tvtr
, т.е. решить основную задачу механики. Примерами таких задач
являются следующие: а) по величине и направлению скорости снаряда в момент
его вылета из канала ствола и действующим на снаряд при его движении силе
тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности, его траекторию, горизонтальную дальность полета, время движения до
цели; б) по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и
силе торможения найти время движения и путь до остановки.
p
F
dt
pd
F
dt
vmd
)(
m
constm
FamF
dt
vd
mF
dt
vmd
)(
m
F
a
ем (модулем), направлением в пространстве и точкой приложения.
Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, почему изменяется скорость движения тела.
Второй закон Ньютона гласит: скорость изменения импульса
тела (материальной точки) равна действующей на него силе:
, или
где
В частном случае, если
ем:
Второй закон Ньютона можно сформулировать и так: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей силе, совпадает с нею по направлению и
обратно пропорционально массе материальной точки (тела):
и v – масса и скорость тела.
(1.32.)
(1.30.),
, из последней формулы получа-
(1.31.)
23
26
Единица силы в системе СИ – ньютон (Н):
Н1
кг1
2
1
с
м
2
11
с
мкг
Н
F
2112
FF
12
F
21
F
– это сила,
которая телу массой в
лении действия силы:
1 кг сообщает ускорение
. При действии на материаль-
в направ-
ную точку нескольких сил справедлив принцип независимости
действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так,
как если бы других сил не было. Следствием принципа независимости действия сил является принцип независимости движений.
Если на тело действуют одновременно несколько сил, то, со-
гласно принципу независимости действия сил, под силой
во
втором законе Ньютона понимают результирующую силу.
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных
системах отсчета.
Третий закон Ньютона
Воздействие тел (материальных точек) друг на друга всегда
является взаимным и определяется третьим законом Ньютона (законом о равенстве действия и противодействия сил): действия двух
тел друг на друга всегда равны по модулю, противоположно
направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела:
(1.33.),
где
го;
- сила, действующая на первое тело со стороны второ-
- сила, действующая на второе тело со стороны первого.
Силы действия и противодействия приложены к разным телам (материальным точкам) и поэтому не уравновешивают друг
друга; они действуют парами и являются силами одной природы.
24
27
Примеры, иллюстрирующие третий закон Ньютона:
1) Человек прыгает с лодки на берег. Он толкает лодку назад с силой
12
F
, а
сам испытывает со стороны лодки силу
21
F
, направленную в сторону,
противоположную направлению силы
21
F
. Поэтому человек и лодка
движутся в прямо противоположных направлениях.
2) Камень массой
m
падает с обрыва на Землю с ускорением
g
. Он притя-
гивается к Земле с такой же по величине силой, что и Земля к камню.
Просто мы не замечаем движения Земли, т.к. ее масса Земли
M
во мно-
го раз превышает массу
m
камня, следовательно, ускорение
a
, с кото-
рым движется Земля, ничтожно мало по сравнению с ускорением g. В
самом деле, с учетом второго закона Ньютона уравнение (1.33.) запишет-
ся в виде:
aMgm
, откуда модуль ускорения Земли будет равен:
0 g
M
m
a
12
F
21
F
dt
vmd
F
)(
11
12
dt
vmd
F
)(
22
21
dt
vmd )(
11
dt
vmd )(
22
)()(
2211
vmdvmd
Заменим в уравнении (1.33.) силы
(1.30.):
и
согласно формуле
,
Тогда
=
или
(1.31.)
Следовательно, при механическом взаимодействии двух тел
изменения их импульсов численно равны и противоположны по
направлению.
Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых
как единое целое, называется механической системой. Силы взаи-
Закон сохранения импульса
модействия между материальными точками механической системы
называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.
Механическая система тел, на которую не действуют внеш-
ние силы (они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой.
В такой системе необходимо учитывать только силы взаимо-
действия между входящими в нее телами (внутренние силы). Стро-
25
.
28
го говоря, замкнутых механических систем в природе не существу-
1
m
2
m
1
v
2
v
t
1
u
2
u
2211
amam
t
vu
a
t
vu
a
22
2
11
1
,
t
vu
m
t
vu
m
22
2
11
1
222111
, pvmpvm
222111
, pumpum
212211
)( pppppp
2121
pppp
C
vmp
m
C
v
constvC
ет.
Закон сохранения импульса является обобщением третьего и
второго законов Ньютона.
Два тела массами
в результате взаимодействия за время
и стали равны
и
и
двигались со скоростями
соответственно.
и
скорости их изменились
Согласно третьему и второму законам Ньютона взаимодействие тел можно описать уравнением:
.
,
Здесь
Далее получаем:
.
. Здесь
- импульсы первого и второго тел до взаимо-
действия,
- импульсы первого и второго тел
после взаимодействия.
В результате дальнейших преобразований получаем два важных уравнения:
(1.32.)
(1.33.)
Выражение (1.33.) представляет собой закон сохранения импульса: в замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел
при любых взаимодействиях с течением времени не изменяется.
Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике. Этот закон носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.
Импульс системы
, где
– масса всей системы,
– скорость центра инерции системы. Из закона сохранения импульса следует, что при любых взаимодействиях, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции не изменяется:
.
Центром масс или центром инерции системы материальных
точек называется воображаемая точка C, положение которой ха-
26
29
рактеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор
m
rm
r
n
i
ii
C
1
ii
rиm
ойi
n
n
i
i
mm
1
n
i
ii
C
C
vm
mdt
rd
v
1
1
ppvm
n
i
i
n
i
ii
11
C
vmp
равен
где
– общее число материальных точек в системе,
,
– масса и радиус-вектор
материальной точки,
– масса
всей системы.
Скорость центра инерции вычисляется по формуле:
(1.34.). Закон (теорема) движения центра
масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует
сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.
В формуле (1.34.) геометрическая сумма импульсов всех ма-
териальных точек системы есть импульс системы материальных
точек:
(1.35.).
Из формул (1.34.) и (1.35.) следует, импульс системы равен
произведению массы всей системы на скорость ее центра инерции:
(1.36.).
3. Закон всемирного тяготения
В природе взаимодействие носит универсальный характер и
существует множество различных сил, которые являются мерами
этих взаимодействий: сила тяжести, различные силы трения, силы
упругости, вес тела, выталкивающая сила, сила Лоренца, сила Ампера, ядерные силы и другие.
Все известные взаимодействия в природе современная физика сводит к трем типам:
1) гравитационное взаимодействие: существует между всеми те-
лами в соответствии с законом всемирного тяготения. Мерой
взаимодействия является масса тела;
2) электрослабое взаимодействие: существует между телами или
частицами, обладающими электрическим зарядом и между
элементарными частицами – лептонами;
27
30
3) сильное взаимодействие: существует между элементарными
2
21
r
mm
GF
гр
G
2
2
)0041,06720,6(
кг
мНG
Первое измерение гравитационной постоянной выполнил английский физик
Генри Кавендиш в 1798 г. методом крутильных весов.
g
F
m
m
F
g
M
2
r
M
Gg
r
частицами – мезонами, гиперонами.
Каждая конкретная сила относится к тому или иному виду
(типу) взаимодействия.
Например, сила тяжести имеет гравитационную природу, а
сила упругости и сила трения скольжения относятся к электромагнитным силам, а ядерные силы относятся к сильному взаимодействию.
Закон всемирного тяготения И. Ньютона (1687 г.) гласит:
между всякими двумя материальными точками действуют силы
взаимного притяжения, которые прямо пропорциональны массам
точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.
Модуль силы тяготения или гравитационной силы определяется формулой:
(1.37.)
Коэффициент пропорциональности
называется гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная – одна из фундаментальных физических констант.
Опытным путем найдено, что
Гравитационное взаимодействие между телами осуществля-
ется посредством гравитационного поля или поля тяготения.
Силовой характеристикой гравитационного поля служит его
напряженность – векторная величина
, равная отношению силы
, действующей со стороны поля на материальную точку, к массе
этой точки:
(1.38.).
В частности, напряженность гравитационного поля, создава-
емого планетой, массу
которой можно считать распределенной
сферически симметрично, равна:
,
где
– расстояние от центра планеты до точки поля, нахо-
дящейся вне планеты.
28
.
31
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
1
m
2
m
r
r
mm
GW
p
21
m
W
p
p
W
m
r
M
G
Рассмотренная выше нерелятивистская теория тяготения, основанная
на законе всемирного тяготения Ньютона, является приближенной. Она достаточно точно описывает только сравнительно слабые гравитационные по-
ля, потенциалы которых
2
c
, где
с
м
c
8
103
– скорость света в ва-
кууме. В частности, она пригодна для описания гравитационных полей Земли и Солнца.
Современная (релятивистская) теория тяготения сформулирована А.
Эйнштейном, названа им общей теорией относительности (ОТО), представ-
ляет единую теорию пространства, времени и тяготения.
двух материальных точек массами
и
(шаров с симметриче-
ски распределенной массой), находящихся на расстоянии
друга, вычисляется по формуле:
(1.39.)
Потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга
тел принята равной нулю.
В силу потенциальности гравитационного поля можно ввести
его энергетическую характеристику – потенциал.
Потенциал гравитационного поля определяется формулой:
(1.40),
друг от
где
– потенциальная энергия материальной точки массой
, помещенной в данную точку поля.
В частности, потенциал гравитационного поля, создаваемого
планетой, массу Mкоторой можно считать распределенной сферически симметрично, равен:
.
29
32
Инертная и гравитационная массы
ин
m
гр
m
ин
m
гр
m
ин
m
гр
m
1110
Галилео Галилей (1564-1642) родился в Пизе (Италия). Получил об-
разование в Пизанском университете. Галилей прославился тем, что заложил
основы теории механических явлений, происходящих на поверхности движущейся Земли. Его наиболее известная работа «Диалоги о двух новых науках»
(1638) посвящена подробному изложению теории механического движения
тел. Записывая результаты опытов краткими математическими формулами,
Галилей первым показал всем, как нужно использовать аппарат математики в
научных исследованиях. Галилей сделал также важные астрономические открытия. В 1609 году он сконструировал зрительную трубу (телескоп), которая
давала более чем тридцатикратное увеличение, и обнаружил, что поверхность
Луны ничем принципиально не отличается по виду от земной поверхности,
открыл четыре спутника Юпитера: Ио, Европу, Каллисто и Ганимед, наблюдал фазы Венеры и пятна на Солнце. В 1633 году Галилей был приговорен к
пожизненному домашнему аресту за то, что активно поддерживал учение Коперника.
Инертная
масса – физическая величина, характеризующая
динамические свойства тела. Инертная масса входит во второй закон Ньютона, и, таким образом, является мерой инертности тела.
Гравитационная
масса (тяжелая масса) – физическая ве-
личина, характеризующая свойства тела как источника тяготения.
Гравитационная масса входит в закон всемирного тяготения Ньютона, и, таким образом, является мерой тяготения тела.
Эквивалентна ли инертная масса
массе, т.е. выполняется ли равенство
гравитационной
? Значения инертной
и гравитационной масс можно сравнить в эксперименте. Уже сам
Ньютон интересовался этой проблемой и проделал некоторые измерения, но его измерения по сегодняшним представлениям были
довольно грубыми. Недавно были выполнены эксперименты, которые показали, что если и есть разница между двумя типами массы,
то она не превосходит
. Такие исследования имеют очень
большое значение для ОТО, так как гипотеза о точном совпадении
инертной и гравитационной масс является одним из основных
предположений этой теории. Это важнейшее утверждение носит
название принципа эквивалентности.
4. Преобразования Галилея
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]