Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
93
Амплитуда данного колебания изменяется по закону:
teA4,02
teA4,02
Te
eA
eA
TtA
tA
T
Tt
t
lnln
)(
)(
ln
)(
0
0
2
0
2
.
График амплитуды затухающих колебаний, или функции
, имеет вид:
Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания.
На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания (от лат. decrementum – уменьшение)
или :
.
Замечание. Если
, то процесс перестает быть пе-
риодическим.
Вынужденные колебания. Резонанс
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Внешняя пе-
91
94
риодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебатель-
tFkxrvma
cos
0
rvF
сопр
kxF
упр
tF
cos
0
tFkx
dt
dx
r
dt
xd
m
cos
0
2
2
tfx
dt
dx
dt
xd
cos2
0
2
0
2
2
tfx
dt
dx
dt
xd
cos2
0
2
0
2
2
)cos()(
0
tAtx
ной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение
энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то
вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.
В отличие от свободных колебаний, когда система получает
энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту
энергию от источника внешней периодической силы непрерывно.
Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему
остается неизменной.
Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника
при наличии силы сопротивления в системе.
Запишем второй закон Ньютона:
,
где
– сила сопротивления, которая при малых
скоростях пропорциональна скорости движения;
– сила упругости.
– внешняя периодическая сила, действующая в системе.
Запишем данное уравнение в дифференциальной форме:
.
Приведем его к стандартному виду:
.
Уравнение (неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами)
называется дифференциальным
уравнением вынужденных колебаний.
Решением данного уравнения является функция
.
92
95
Здесь
2222
0
0
4)(
fA
22
0
0
2
arctg
2222
0
0
4)(
fA
tF
cos
0
2222
0
0
4)(
)(
f
A
22
0
2
22
0
0
max
2
f
A
22
0
2
рез
22
0
0
2
f
A
рез
Резонанс как механическое и акустическое явление впервые описан итальянским ученым Г. Галилеем, а в электромагнитных системах – на примере колебательного контура – английским ученым Дж. Максвеллом (1868).
0
колебаний,
– амплитуда вынужденных
– начальная фаза.
Анализ формулы
плитуда вынужденных колебаний зависит от частоты
периодической силы
и коэффициента затухания .
При заданном коэффициенте затухания
симость функции
периодической силы
.
показывает, что ам-
внешней
исследуем зави-
от частоты внешней
Методом математического анализа можно показать, что в точ-
ке
максимума
амплитуда вынужденных колебаний достигает
, т.е. в колебательной системе воз-
никает явление резонанса (от лат. Resono - звучу в ответ, отклика-
юсь).
Соответственно частота
и амплитуда
называются резонансными.
Резонанс – относительно большой избирательный (селек-
тивный) отклик колебательной системы (осциллятора) на периодическое воздействие с частотой, близкой к частоте ее собственных
колебаний. При резонансе происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний осциллятора.
Резонанс возникает из-за того, что при
внешняя си-
ла, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сона-
93
96
правлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положи-
m
A
тельную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой.
График зависимости амплитуды вынужденных колебаний
от частоты вынуждающей силы
представлен на рисунке,
этот график называется резонансной кривой:
Явление резонанса играет большую роль в ряде природных,
научных и производственных процессов. Например, необходимо
учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и
других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в
противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.
Чтобы предотвратить возникновение колебаний со слишком
большой амплитудой, следует:
по возможности устранять периодически действующие силы;
добиваться большой разности собственной частоты и частоты
возбуждающей силы;
добиваться того, чтобы частота принимала резонансные значе-
ния лишь на время, меньшее одного периода колебаний;
применять демпфирующие (с нем. Dämpfer – глушитель) эле-
менты.
2. Механические волны
Еще одним видом движения являются волны. Отличительной
особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а
изменения в их состоянии (возмущения).
94
97
Среда называется упругой, если между ее частицами суще-
ствуют взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации
этой среды.
Если какое-либо тело совершает колебания в упругой среде,
то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы. Эти силы действуют на все более удаленные от тела частицы
среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.
Волнами называются всякие возмущения состояния вещества
или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Упругими волнами называются механические возмущения
(деформации), которые распространяются в упругой среде. Тела,
вызывающие эти возмущения в среде, называются источниками
волн. Упругие волны называются звуковыми или акустическими,
если соответствующие им механические деформации среды имеют
малые амплитуды.
Отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц состоит в том, что распространение
волн не связано с переносом вещества среды из одного места в
другое на большие расстояния.
Волновой поверхностью (фронтом волны) называется совокупность точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах. На волновой поверхности фазы колебаний различных точек в рассматриваемый момент времени имеют одно и то же значение.
Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупности плоскостей
параллельных друг другу, или совокупность концентрических
сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.
Лучом называется линия, касательная к которой в каждой
точке совпадает с направлением распространения волны. В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной
к фронту волны, и совпадает с направлением переноса энергии
волны.
В плоской волне волновыми поверхностями являются плоскости, перпендикулярные направлению распространения волны.
Лучами являются параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны. Такие волны могут быть
95
98
получены на поверхности воды с помощью колебаний плоского
стержня.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеб-
лются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Например, волна, бегущая по струне.
Волна называется продольной, если колебания частиц среды
происходят в направлении распространения волны. Звуковые волны в газах и жидкостях – это примеры продольных волн.
В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах возможно распространение как продольных, так и поперечных
волн, связанных с наличием упругости формы.
Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под
скоростью волны понимают скорость распространения возмущения.
Скорость волны определяется свойствами среды, в которой
эта волна распространяется. В твердых телах скорость продольных
волн больше скорости поперечных. Это обстоятельство учитывается для определения местоположения очагов землетрясения.
Землетрясения являются источниками так называемых сейсмических волн, распространяющихся в земной коре в виде как
продольных, так и поперечных волн. Первыми на регистрирующую
станцию приходят продольные волны, затем поперечные.
Одной из важнейших характеристик любой волны является
длина волны.
Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в ее источнике. Она равна расстоянию между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне.
96
99
Длина волны обозначается греческой буквой
vT
T
v
)(sin),(
v
x
tAtx
x
k
2
T
2
2
k
k
v
(лямбда).
Единицей измерения является метр.
Поскольку скорость волны - величина постоянная (для дан-
ной среды), то длина волны по определению будет равна:
.
Длина волны совпадает с расстоянием между двумя ближайшими гребнями (или впадинами) волны и зависит как от свойств
среды (через скорость v), так и от свойств источника волны (через
период его колебания
).
Связь скорости волны с ее частотой и длиной выражается
формулой:
,
здесь
частота колебаний.
-
При переходе волны из одной среды в другую изменяются
скорость и длина волны, а циклическая частота, период и частота
при этом не изменяются.
Если частицы среды совершают гармонические колебания, то
в этой среде распространяется гармоническая волна. Уравнение
бегущей гармонической (плоской) волны:
ний,
Здесь
- циклическая частота колебаний частиц, t - время колеба-
- смещение частиц среды, A - амплитуда их колеба-
ний частиц, равное времени распространения волнового процесса в
среде,
- координата фронта волны, v – скорость распростране-
ния волны.
Циклическую частоту и волновое число
можно опреде-
лить так:
,
,
.
Из последнего уравнения следует, что фазовая скорость равна
.
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то
имеет место явление дисперсии волн.
97
100
Учитывая последнюю формулу, уравнение плоской волны
)sin(),( kxtAtx
)sin(),(
0
krt
r
A
tr
r
2
2
22
2
2
2
2
2
1
tvzyx
2
2
2
1
tv
v
2
2
2
2
2
2
zyx
2
2
22
2
1
tvx
I
t
2
м
Вт
tS
W
I
vwI
V
W
w
v
можно записать следующим образом:
.
Уравнение сферической волны записывается следующим об-
разом:
,
где
– расстояние от центра волны до рассматриваемой точки сре-
ды.
Распространение волн в однородной изотропной среде в об-
щем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных:
где
– фазовая скорость,
или
– оператор Лапла-
,
са.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, вол-
новое уравнение имеет вид:
.
Вектор Умова
Распространение волны всегда связано с переносом энергии, ко-
торый можно характеризовать вектором плотности потока энергии
Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова по
имени выдающегося русского физика Николая Алексеевича Умова
(1846-1915 гг.), который впервые в 1874 г. ввел понятие о потоке
энергии в сплошной среде.
Вектор плотности потока энергии физического поля численно
равен энергии W, переносимой в единицу времени
через еди-
ничную площадку S, перпендикулярно потоку энергии в данной
точке:
, или
, где
– плотность
.
энергии,
– скорость волны.
98
101
Полная энергия колебательного процесса выражается форму-
2
22
Am
W
V
W
w
2
22
A
w
v
A
I
2
22
)(2sin
1
x
T
t
A
)(2sin
2
x
T
t
A
)(2sin)(2sin
21
x
T
tx
T
t
A
рез
T
tx
A
рез
2sin2cos2
t
x
A
рез
sin2cos2
2,
1
T
лой:
.
Тогда плотность энергии (энергия в единице объема
будет равна
можно записать в виде формулы:
( – плотность среды), и вектор Умова
.
Вывод. Направление вектора Умова совпадает с направле-
нием переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой
волной в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно распространению волны.
Стоячие волны
Две волны, распространяющиеся одновременно в одной и той
же среде в противоположных направлениях, при сложении образуют стоячую волну. Предполагается, что обе волны имеют одинаковые амплитуды, частоты и длины волн. Чаще всего стоячие волны
возникают при сложении падающей одномерной волны с волной,
испытавшей отражение.
Пусть
– уравнение падающей волны, то-
гда уравнение отраженной волны будет иметь вид:
)
.
Для результирующей волны получаем
.
Применяя теорему сложения, находим
или
, т.к.
.
99
102
Замечание
A2
l
l
2
Гц16
кГцГц 20102
4
Гц16
кГцГц 20102
4
Стоячие волны возникают при отражении как от менее плот-
ной, так и от более плотной среды.
Точки, в которых амплитуда всегда равна нулю, называются
узлами волны.
Точки, в которых амплитуда всегда равна
, называются
пучностями волны.
В среде, имеющей ограниченный размер
жет образоваться только в том случае, когда
, стоячая волна мо-
кратна целому
числу полуволн
.
Во всех музыкальных инструментах звуки образуются благода-
ря стоячим волнам: в струнах - у струнных, в столбах воздуха у духовых, в барабанах - у других ударных.
4. Звуковой эффект Доплера
Звуковые волны с частотами от
до
воздействуют на органы слуха человека, вызывают слуховые ощущения и называются слышимыми звуками. Звуковые волны с частотами менее
лее
называются инфразвуками, а с частотами бо-
– ультразвуками.
Восприятие звука органами слуха зависит от того, какие ча-
стоты входят в состав звуковой волны.
Шумами называются звуки, образующие набор частот,
непрерывно заполняющих некоторый интервал.
Музыкальные звуки обладают линейчатым спектром частот;
им соответствуют периодические или почти периодические колебания.
Каждая синусоидальная звуковая волна называется тоном.
Высота тона зависит от частоты: чем больше частота, тем
выше тон.
Громкость звука зависит от интенсивности звука, т.е. опреде-
ляется амплитудой колебаний в звуковой волне. Наибольшей чувствительностью органы слуха обладают к звукам с частотами от
700 до 6000 Гц.
Порогом слышимости называется наименьшая интенсивность
звуковой волны, которая может быть воспринята органами слуха.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]