Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
13
1. Кинематика материальной точки
Механика – это часть физики, изучающая механическое дви-
жение материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними.
В механике рассматриваемые взаимодействия представляют
собой те действия тел друг на друга, в результате которых изменяются скорости точек этих тел или возникают деформации,
например, притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела.
Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику Галилея-Ньютона, предметом изучения которой
являются движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемые со скоростями, малыми по сравнению
со скоростью света. Движение макроскопических тел со скоростями порядка скорости света рассматривается релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности Эйнштейна. Для описания движения элементарных частиц и внутриатомных явлений законы классической механики неприменимы –
они заменяются законами квантовой механики.
Классическая механика условно делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.
Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают (т.е. движение тел без
учета их масс и действующих на них сил). Методы и зависимости,
устанавливаемые в кинематике, используются при расчетах передач движения в различных механизмах и машинах, а также при
решении задач динамики.
Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат законы механики Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы,
необходимые для решения задач динамики.
Статика изучает условия равновесия материальных тел под
действием сил. Если известны законы движения тел, то из них
можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики
всегда рассматриваются в связи с законами динамики.
Основными понятиями в механике, физике и естествознании в
целом являются пространство и время. Всякое материальное тело
имеет объем, т.е. пространственную протяженность. Время выража-
11
14
ет последовательность состояний материи, составляющих любой
процесс, любое движение. Таким образом, пространство и время
представляют собой наиболее общие формы существования материи.
Основные понятия кинематики
Под механическим движением понимают изменение положе-
ния тела в пространстве относительно других тел с течением времени. В природе – это движение небесных тел, колебания земной
коры, воздушные и водные течения и т.п.; в технике – движения
различных летательных аппаратов и транспортных средств, частей
двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и
многое другое.
Любое движение твердого тела можно представить как ком-
бинацию поступательного и вращательного движений.
Поступательным движением называют движение, при кото-
ром любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин «чертова колеса» и т.д.
Вращательным движением абсолютно твердого тела называ-
ют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой
осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат
на этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей).
Основная (прямая) задача механики состоит в определении
положения тела в пространстве в любой момент времени.
Механическое движение относительно: одно и то же тело
имеет различные характеристики движения (траекторию, путь, перемещение, скорость) в разных системах отсчета.
Положение материальной точки в пространстве в данный
момент времени определяется по отношению к какому-либо другому телу, которое называется телом отсчета. С ним связывается
система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение
каких-нибудь других материальных точек. Выбор системы отсчета
зависит от задач исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправны (декартовая, полярная). В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные
12
15
системы отсчета, по отношению к которым дифференциальные
A
zyx ,,
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
)(trr
уравнения движения имеют более простой вид.
В декартовой системе координат положение точки
в дан-
ный момент времени по отношению к этой системе определяется
тремя координатами
или радиусом-вектором r (рис. 1.1.).
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется
уравнениями (уравнениями движения):
(1.1.),
или векторным уравнением движения
(1.2)
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями
движения материальной точки.
Рис. 1.1.
Траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой точкой в пространстве.
В зависимости от формы траектории движение может быть
прямолинейным и криволинейным.
13
16
r
dt
rd
v
с
м
1
Рис. 1.2.
Путь (S) – это скалярная физическая величина, равная рас-
стоянию, пройденному телом вдоль траектории (Рис. 1.2.). Единица пути – 1 м – основная единица в системе СИ.
Перемещением (
единяющий начальное и конечное положения тела на его траектории (Рис. 1.2.).
Для определения быстроты движения и направления движе-
ния, или быстроты изменения положения тела в пространстве, в
данный момент времени вводят векторную физическую величину
– скорость.
Скорость движения тела – это векторная физическая величина,
) называют направленный отрезок, со-
равная производной радиуса-вектора точки по времени
(1.3.).
Скорость всегда направлена по касательной к траектории (Рис.
1.3.).
Рис. 1.3.
Единица измерения скорости в СИ –
.
14
17
Скорость по модулю – это производная пути по времени
dt
ds
v
dttvds )(
t
tt
t
tt
t
dttvs )(
t
a
n
a
nt
aa
dt
vd
a
t
a
dt
dv
at
(1.4.).
Из формулы (1.4.) получаем
Интегрируя последнее уравнение по времени от
.
до
найдем длину пути, пройденного материальной точкой за время
:
(1.5.).
В зависимости от скорости движения тела различают равномерное движение (с постоянной скоростью) и неравномерное движение (скорость движения тела изменяется с течением времени).
Для характеристики изменения скорости по величине и по
направлению вводится понятие ускорения.
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной
и нормальной
составляющих (Рис. 1.4.):
(1.6.)
,
Рис. 1.4.
Составляющая ускорения, определяющая изменение скорости по величине, называется тангенциальной составляющей
.
Численно она равна первой производной от модуля скорости по
времени:
(1.7.).
15
18
Вторая составляющая ускорения
n
a
r
v
a
n
2
r
2
2
2
22
r
v
dt
dv
aaa
nt
0
t
a
tvs
vtxtx
0
)(
0
x
constat
0
n
a
0ta, 0
n
a
constat
0
n
a
12
12
tt
vv
aa
t
01t
01
vv
, называемая нормальной
составляющей, направлена к центру кривизны траектории по нормали (перпендикуляру). Она характеризует быстроту изменения
скорости по направлению. Ее называют также центростремительным ускорением.
Модуль центростремительного ускорения определяют по
формуле:
, где
- радиус кривизны траектории.
Из рис. 1.4. видно, что модуль полного ускорения равен:
(1.8.).
В зависимости от значений тангенциальной и нормальной
составляющих ускорения движение тела классифицируется следующим образом:
1) если
(т.е. величина скорости не изменяется по величине),
то движение является равномерным. При таком движении путь
вычисляется по формуле:
ет вид:
2) если
3) если
(т.е. скорость не изменяется по направлению), то
. Здесь
, то движение является равноускоренным;
(1.9), уравнение движения име-
– начальное положение тела;
движение является прямолинейным;
4) если
, то движение является равномерным и
прямолинейным;
5) если
,
, то движение является прямолиней-
ным и равноускоренным. При таком движении
. Если в начальный момент времени
начальная скорость
, то имеем следующие формулы:
16
19
6)
t
vv
a
0
atvv
0
2
2
0
at
tvs
2
)(
2
00
ta
tvxtx
0
t
a
constan
)(tfa
t
0
n
a
constat
constan
2
1
с
м
t
,
,
(1.10.). Выбор знаков в формулах опре-
деляется направлением координатных осей и начальными
условиями движения;
7) если
,
, то имеет место равномерное враща-
тельное движение (равномерное движение по окружности);
8) если
,
, то движение является прямолинейным
с переменным ускорением;
9) если
,
, то тело движется равноускорен-
но по окружности и т.д.
,
Единица измерения ускорения в СИ –
.
Кинематика вращательного движения материальной точки
Рис. 1.5.
Пусть точка A движется по окружности радиуса R.
Ее положение через время
зададим углом
.
Угловой скоростью вращения называется вектор, численно
равный первой производной угла поворота тела по времени и
направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис.
1.5.):
17
20
dt
d
(1.11.)
111
с
c
рад
const
T
2
2
T
2
1
T
Гцc1
1
1
2
2
Rs2
R
T
R
v
2
dt
d
2
2
11 с
с
рад
Единица измерения угловой скорости в СИ – радиан в секунду
(
).
Таким образом, вектор определяет направление и быстро-
ту вращения.
Если
, то вращение называется равномерным.
При равномерном вращении его можно охарактеризовать пе-
риодом вращения
– временем, за которое точка тела совершает
один полный оборот, т.е. поворачивается на угол:
:
(1.12.)
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномер-
ном движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:
(1.13.)
Из последней формулы находим:
(1.14.)
Очевидно, что за время, равное периоду T, угловое переме-
щение точки будет равно
вен длине окружности:
и пройденный точкой путь будет ра-
.
Тогда при равномерном вращении линейная скорость точки
будет равна:
(1.15.)
Для характеристики неравномерного вращения тела вводится
понятие углового ускорения . Угловым ускорением называется
векторная величина, равная первой производной угловой скорости
по времени:
(1.16.)
18
21
A
R
dt
d
R
dt
Rd
dt
dv
a
t
)(
R
R
R
R
v
a
n
2
22
)(
)( const
2
2
00
0
t
t
t
0
0
Рис. 1.6.
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового
ускорения направлен вдоль оси вращения: при ускоренном движении
вектор
, и в противоположную сторону при замедленном вращении (рис.
1.6.).
щающейся точки
по окружности
направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости
Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения вра-
вычисляются по формулам:
(1.16.)
(1.17.)
В случае равноускоренного вращательного движения точки
уравнения движения имеют вид:
(1.18.),
где
– начальное угловое перемещение;
– начальная угловая
скорость.
19
22
Исаак Ньютон (1643-1727) родился в Линкольншире (Англия). По-
лучил образование в Тринити колледже в Кембридже. Возглавлял кафедру
Лукаса по математике в Кембриджском университете (1669-1701). В 1687 г.
опубликовал «Математические начала натуральной философии», одну из
величайших работ всех времен. Ньютон создал дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал законы классической механики, развил
теорию гравитации. Он выполнил важные исследования также по оптике и
астрономии. Являлся президентом Королевского общества с 1703 г. до конца
жизни. Ньютон похоронен в Вестминстерском аббатстве, где хоронили королей и английскую знать.
На памятнике Ньютону начертаны слова: «Здесь покоится сэр Исаак
Ньютон, дворянин, который почти Божественным разумом первый доказал с
факелом математики движения планет, пути комет и приливы океанов.
Он исследовал различие световых лучей и появляющиеся при этом
различные свойства цветов, чего ранее никто не подозревал.
Прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, древности и
Святого писания, он утверждал своей философией величие всемогущего Бога, а нравом выражал евангельскую простоту. Пусть смертные радуются, что
существовало такое украшение рода человеческого».
),кгm
2. Динамика материальной точки
Динамика (<греч. dinamis – сила) – раздел механики, посвя-
щенный изучению движения тел под действием приложенных к
ним сил. В основе динамики лежат законы Ньютона, из которых
получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения
задач динамики.
Первый закон Ньютона
Первый закон Ньютона (закон инерции Галилея) формулируется следующим образом: всякое тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения
до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его
изменить это состояние.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения при отсутствии или компенсации внешних воздействий называется инертностью. Если на тело действует
сила, то инертность сказывается в том, что изменение состояния
покоя или движения тела происходит постепенно, а не мгновенно.
При этом состояние системы изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела.
Мерой инертности тела при поступательном движении является масса (
. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой
системе отсчета. Системы, в которых он выполняется, называются
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]