Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
33
Рассмотрим две системы отсчета: систему
K
zyx ,,
K
zyx
,,
K
constu
0t
OиO
t
u
OO
O
tur
0
A
r
turrrr
0
tuzz
tuyy
tuxx
z
y
x
K
constu
K
ными осями
ной, и подвижную систему
тельно
равномерно и прямолинейно со скоростью
), которую условно будем считать неподвиж-
(
), движущуюся относи-
(с координат-
(рис. 1.7.).
Рис. 1.7.
Примем, что в начальный момент времени
обеих систем координат совпадают. Расположение систем
координат в произвольный момент времени
ный на рис. 1.7. Скорость
направлена вдоль прямой
ус-вектор, проведенный из точки O в точку
ординаты произвольной материальной точки
имеет вид, изображен-
, равен
в неподвижной и по-
движной системах отсчета определяются радиусами-векторами r и
.
Причем:
(1.19.)
В проекциях на оси координат векторное уравнение (1.19.)
записывается в виде, называемом преобразованиями Галилея:
начала
, а ради-
. Ко-
(1.20.)
В частном случае, когда система
движется со скоростью
вдоль положительного направления оси x0 системы
, преобразования координат Галилея примут следующий вид:
31
34
zz
yy
utxx
(1.21.)
tt
cu
constu
A
dt
dt
u
dt
rd
dt
rd
dt
rd
dt
rd
0
vuv
a
dt
uvd
dt
vd
a
)(
vuv
K
v
K
В классической механике предполагается, что ход времени не
зависит от относительного движения систем отсчета. Поэтому система уравнений (1.20.) дополняется еще одним соотношением:
(1.22.)
Соотношения (1.19.)-(1.22.) справедливы лишь в случае
.
При скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразова-
ния Галилея заменяются преобразованиями Лоренца.
Продифференцируем уравнение (1.19.) по времени и, учитывая, что
, найдем соотношения между скоростями и ускорениями
точки
относительно обеих систем отсчета:
откуда
(1.23), а также:
(1.24.)
Уравнение
(1.23.) называется классическим зако-
ном сложения скоростей:
скорость тела относительно подвижной системы отсчета
равна геометрической сумме скоростей – скорости тела
тельно подвижной системы отсчета
и скорости u подвижной
относи-
системы отсчета относительно неподвижной.
Из уравнения (1.24.) следует, что ускорение материальной
точки не зависит от выбора системы отсчета, т.е. инвариантно (<
лат. invarians – неизменяющийся) относительно преобразований
Галилея. Таким образом, и уравнения динамики при переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е.
являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.
Принцип относительности Галилея
В классической механике (Ньютона) справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах
отсчета.
32
35
Галилей обратил внимание на то, что никакими механиче-
0
v
H
скими опытами, проведенными в данной инерциальной системе
отсчета, нельзя установить, покоится она или движется равномерно
и прямолинейно.
Основные выводы
Кинематика – геометрическое описание движения, не рас-
сматривающее его причины.
1. За исключением тел, движущихся со скоростями, близким к
скорости света, и явлений микромира, законы Ньютона дают
практически точное описание динамики физических систем.
2. Если законы Ньютона справедливы в некоторой системе отсче-
та, то они сохраняют свою справедливость в любой другой системе отсчета, движущейся с постоянной линейной скоростью
относительно первой.
3. Тело приобретает ускорение только под действием приложен-
ной силы. Сила определяется скоростью изменения импульса.
4. В соответствии с принципом эквивалентности гравитационная
и инертная массы тождественны.
5. Сила и импульс – векторные величины.
6. Если к системе не приложены внешние силы, импульс центра
масс системы остается постоянным во времени.
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. Что является предметом изучения механики? Какова структура
механики?
2. Что такое физическая модель? Какие физические модели ис-
пользует механика для описания движения материальных объектов?
3. Что представляет собой система отсчета? Что называется век-
тором перемещения?
4. Какое движение называется поступательным? Вращательным?
5. Что характеризуют скорость и ускорение? Дайте определения
средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и
мгновенного ускорения.
6. Составьте уравнение траектории движения тела, брошенного
горизонтально со скоростью
с некоторой высоты
. Со-
противление воздуха не учитывать.
7. Что характеризуют тангенциальная и нормальная составляю-
щие ускорения? Каковы их модули?
33
36
8. Как можно классифицировать движение в зависимости от тан-
генциальной и нормальной составляющих ускорения?
9. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением? Как
определяются их направления?
10. Какими формулами связаны между собой линейные и угловые
характеристики движения?
11. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему си-
стема отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальная?
12. Какое свойство тела называется инертностью? Что является
мерой инертности тела при его поступательном движении?
13. Что такое сила, чем она характеризуется?
14. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?
15. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон
Ньютона следствием второго закона?
16. В чем заключается принцип независимости действия сил?
17. Что называется механической системой? Какие системы явля-
ются замкнутыми (изолированными)?
18. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах
он выполняется?
19. Каким свойством пространства обусловлена справедливость
закона сохранения импульса?
Литература
1. Трофимова, Т.И. Курс физики [Текст] / Т.И. Трофимова. - Гл. 1.
Гл. 2. Гл. 5. С. 1-22, 46-56.
34
37
Тема 2. Механика твердого тела
План
1. Поступательное и вращательное движения. Мгновенная ось
вращения.
2. Динамика вращательного движения твердого тела:
моменты силы и импульса;
момент инерции;
основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
3. Работа и мощность. Консервативные и неконсервативные силы.
4. Энергия. Механическая энергия. Виды механической энергии.
1. Поступательное и вращательное движения
Любое движение твердого тела можно представить как ком-
бинацию поступательного и вращательного движений.
Поступательным движением называют движение, при кото-
ром любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение
кабин «чертова колеса» и т.д.
При описании вращательного движения используют модель
абсолютно твердого тела.
Абсолютно твердое тело - это тело, у которого расстояния
между любыми двумя его материальными точками не изменяются
в процессе движения.
Вращательным движением абсолютно твердого тела называ-
ют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью
вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на
этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей) (рис. 2.1.).
35
38
n
n
i
i
mm
1
n
n
i
ii
rmI
1
2
dmrI
2
dVdm
dVrI
2
V
Рис. 2.1.
2. Характеристики динамики вращательного движения
Всякое твердое тело можно рассматривать как систему из
материальных точек, и масса m тела есть сумма масс всех этих
точек:
Мерой инертности вращательного движения является момент
инерции тела.
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений
масс
материальных точек тела на квадраты их расстояний до
рассматриваемой оси:
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:
.
(2.1.)
.
Если тело однородное, т.е. его плотность
всему объему, то
, где
и момент инерции будет равен
– объем тела.
одинаковая по
Таблица 2.1.
36
39
Моменты инерции некоторых однородных тел правильной
Тело
Ось, относительно которой
определяется момент
инерции
Формула
момента
инерции
Однородный тонкий
стержень массой mи
длиной l
Проходит через центр тяжести
стержня перпендикулярно
стержню
2
12
1
ml
Проходит через конец стержня
перпендикулярно стержню
2
3
1
ml
Тонкое кольцо, обруч,
труба радиусом
R
и мас-
сой m, маховик радиу-
сом
R
и массой
m
, рас-
пределенной по ободу
Проходит через центр перпен-
дикулярно плоскости основа-
ния
2
mR
Круглый однородный
диск (цилиндр) радиусом
R
и массой m
Проходит через центр диска
перпендикулярно плоскости
основания
2
2
1
mR
Однородный шар радиу-
сом
R
и массой m
Проходит через центр шара
2
5
2
mR
OO
I
OO
C
OO
2
maII
C
Неподвижная ось вращения
центр инерции тела (ось вращения маховика, ротора турбины и
т.п.), так и вне его (например, ось вращения самолета, выполняющего мертвую петлю).
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс (инерции), то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой
Штейнера (или теоремой о переносе осей инерции):
момент инерции тела
вращения
равен сумме момента инерции тела относительно
оси, проведенной через центр инерции
и произведения массы тела на квадрат расстояния между
этими осями:
Таким образом, с удалением центра инерции тела от его оси
вращения момент инерции тела относительно этой оси возрастает.
Из формул (2.1.) и (2.2.) видно, что момент инерции тела зависит не
формы
может проходить как через
относительно произвольной оси
тела параллельно оси
(2.2.)
37
40
только от его массы, но и от ее распределения относительно оси
M
F
O
O
F
FrM
M
r
F
FlFrM
sin
lr
sin
O
OO
i
r
ii
vm
i
L
O
iii
vmrL
вращения.
Момент силы
Моментом
щения, проходящей через точку
силы
относительно неподвижной оси вра-
, называется векторная физиче-
ская величина, определяемая векторным произведением радиусавектора r, проведенного из точки
на силу
:
в точку A приложения силы,
(2.3.)
Направление вектора
тельного движения правого винта при его вращении от
совпадает с направлением поступа-
к
(рис.
2.2.).
Рис. 2.2.
Модуль момента силы равен:
где
– угол между r и F,
яние между линией действия силы и точкой
– кратчайшее рассто-
– плечо силы.
,
Главный момент (результирующий момент) относительно
неподвижной оси
системы сил равен алгебраической сумме
моментов относительно этой оси всех сил системы.
Момент импульса
Векторное произведение радиуса-вектора
точки на ее импульс
называется моментом импульса
материальной точки относительно точки
:
материальной
этой
(2.4.)
38
41
Вектор
i
L
i
L
r
ii
vm
O
M
dt
Ld
Выведем этот основной закон динамики вращательного движения тела.
Для
ойi
материальной точки имеем:
i
i
ii
i
M
dt
vd
mr
dt
Ld
,
здесь согласно второму закону Ньютона
n
ik
k
ik
i
i
F
dt
vd
m
1
.
Для системы материальных точек, т.е. твердого тела получаем:
n
i
i
n
i
n
ik
k
iki
n
i
i
MFr
dt
Ld
11
1
1
(2.6.).
Векторная сумма моментов
i
M
всех внешних сил, приложенных к те-
лу, называется результирующим, или главным, моментом
M
внешних сил
относительно точки
O
:
n
i
i
MM
1
Векторная сумма моментов импульса
i
L
всех материальных точек тела
называется моментом импульса
L
тела относительно точки O:
n
i
i
LL
1
Векторная сумма моментов относительно точки
O
всех внутренних
сил
ik
F
взаимодействия между точками тела равна нулю, т.е.
называют также моментом количества движения ма-
териальной точки. Направление вектора
совпадает с направлением
поступательного движения правого винта при его вращении от
.
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Из законов Ньютона следует, что первая производная по времени от момента импульса L механической системы относительно
любой неподвижной точки
равна моменту внешних сил M:
(2.5.)
Уравнение (2.5.) выражает основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
к
39
42
0
1
1
n
i
n
ik
k
iki
Fr
,
так как по третьему закону Ньютона силы
ik
F
и
ki
F
численно равны, имеют
общую линию действия, но направлены в противоположные стороны. Поэтому их моменты
ikiik
FrM
и
kikki
FrM
относительно точки O численно
равны и противоположны по направлению.
Следовательно, на основании вышеизложенного уравнение (2.6.) можно
записать в следующем виде:
M
dt
Ld
, то есть скорость изменения момента
импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.
Полученный результат называется основным законом динамики враща-
тельного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент
импульса является основной динамической характеристикой твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки.
n
n
mmm ,...,,
21
n
rrr ,...,,
21
n
vvv ,...,,
21
n
n
r
v
r
v
r
v
...
2
2
1
1
n
i
iinn
вр
vmvm
vmvm
T
1
22
2
22
2
11
22
...
22
222
2
1
2
2
1
22
I
rm
rm
T
n
i
ii
n
i
ii
вр
Кинетическая энергия и работа при вращении тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг
неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на
сами
, находящихся на расстояниях
точек мас-
от оси
вращения, то при вращении они будут описывать окружности и
двигаться с различными линейными скоростями
как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения всех
. Так
точек будет одинакова:
Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кине-
тических энергий его точек, т.е.:
.
Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, полу-
чим:
(2.7.).
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]