Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
73
Первый постулат является обобщением механического прин-
K
zyx ,,
K
zyx
,,
K
constv
ципа относительности Галилея на любые физические процессы и
утверждает, что законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета: любой процесс
протекает одинаково в изолированной материальной системе,
находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной инерциальной системы отсчета; физически эти
состояния равноправны.
Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не за-
висит от скорости движения источника света или наблюдателя и
одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Рис. 4.2.
Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на базе сформулированных им постулатов,
показал, что преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам СТО.
Рассмотрим две системы отсчета: систему
ными осями
ной, и подвижную систему
тельно
равномерно и прямолинейно со скоростью
), которую условно будем считать неподвиж-
(
), движущуюся относи-
(с координат-
(рис. 4.2.).
71
74
Пусть в начальный момент времени (
0
tt
OиO
c
t
ctx
K
A
tcx
t
A
K
)( ttcxx
xx
K
tt
K
K
tt
Прямые преобразования
Обратные преобразования
Галилея
Лоренца
Галилея
Лоренца
vtxx
2
1
vtx
x
vtxx
2
1
vtx
x
yy
yy
yy yy
zz
zz
tt
2
2
1
x
c
v
t
t
tt
2
2
1
x
c
v
t
t
cv
), когда начала
обеих систем координат совпадают, излучается свето-
вой импульс.
Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в
обеих системах одна и та же и равна
Поэтому если за время
в системе K сигнал дойдет до неко-
торой точки A, пройдя расстояние
координата светового импульса в момент достижения точки
дет равна
(4.9), где
- время прохождения светового им-
пульса от начала координат до точки
Вычитая (4.8.) из (4.9.), получим:
Так как
то получается, что
(система
, т.е. отсчет времени в системах
.
(4.8), то в системе
бу-
в системе
.
.
перемещается относительно K),
и
различен или имеет относительный характер, тогда как в классической механике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково, т.е.
.
А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета
к другой заменяются преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму постулатам (табл. 4.1.).
Таблица 4.1.
1) при малых скоростях (
Галилея;
Из преобразований Лоренца следует:
) они переходят в преобразования
72
75
2) при скоростях
cv
ttxx
,,,
K
1
x
2
x
1
t
2
t
K
1
x
2
x
1
t
2
t
K
21
xx
21
tt
21
xx
21
tt
K
21
xx
21
tt
K
2
1
1
1
vtx
x
2
2
2
1
vtx
x
2
1
2
1
1
1
x
c
v
t
t
2
2
2
2
2
1
x
c
v
t
t
21
xx
21
tt
выражения для
теряют физиче-
ский смысл, т.е. движение со скоростью, большей скорости
света в вакууме, невозможно;
3) как пространственные, так и временные преобразования Ло-
ренца не являются независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь
пространства и времени.
Таким образом, релятивистская теория Эйнштейна оперирует
не трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное
пространство - время.
3. Следствия из преобразований Лоренца
1) Относительность одновременности
Пусть в системе
в точках с координатами
и
в мо-
менты времени
соответствуют координаты
Если события в системе
являются одновременными (
и
происходят два события. В системе
и
и моменты времени
происходят в одной точке (
), то согласно преобразованиям
и
им
) и
.
Лоренца:
,
,
т.е. эти события являются одновременными и пространственно
совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.
Если события в системе
(
), но одновременны (
пространственно разобщены
), то в системе
согласно
преобразованиям Лоренца:
,
73
76
Таким образом, в системе
K
A
x
K
12
tt
K
12
tt
2
2
1
1
1
x
c
v
t
t
2
2
2
2
1
x
c
v
t
t
2
12
1
tt
2
1
x
K
K
120
xxl
1
x
2
x
t
K
v
1
x
2
x
12
xxl
120
xxl
2
2
1
vtx
2
1
1
vtx
2
12
1
xx
эти события, оставаясь про-
странственно разобщенными, оказываются и неодновременными.
2) Длительность событий в разных системах отсчета
Пусть в некоторой точке
относительно системы
происходит событие, длительность ко-
,
с координатой
, покоящейся
торого (разность показаний часов в конце и начале события)
, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу собы-
тия. Длительность этого же события в системе
будет равна
,
где
тогда
или
,
,
, причем
(4.8.),
т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке,
наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно
которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся
относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся.
3) Длина тел в разных системах отсчета
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси
ящийся относительно системы
равна
, где
,
. Длина стержня в системе
– не изменяющиеся со временем
и поко-
координаты начала и конца стержня; индекс 0 показывает, что в
системе
стержень покоится.
Определим длину стержня в системе K, относительно кото-
рой он движется со скоростью
.
Для этого необходимо измерить координаты концов стержня
и
в системе K в один и тот же момент времени t.
Их разность
и даст длину стержня в системе K:
=
74
-
=
,
77
т.е.:
0
l
2
1
l
2
1
K
x
K
K
x
dt
dx
u
x
dt
xd
u
x
2
1
tvdxd
dx
2
2
1
xd
c
v
td
dt
K
K K
K
x
x
x
u
c
v
vu
u
2
1
x
x
x
u
c
v
vu
u
2
1
xx
uu ,
cux
cux
c
v
(4.9.)
Таким образом, размер тела, движущегося относительно
инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении дви-
жения в
раз, т.е. Лоренцево сокращение длины тем боль-
ше, чем больше скорость движения.
4) Релятивистский закон сложения скоростей
Пусть материальная точка движется в системе
, а система
движется относительно
со скоростью v (оси
вдоль оси
и xсовпадают).
Тогда
,
,
,
.
Произведя вычисления, получим релятивистский закон сложения скоростей (4.10.-4.11.):
Если скорости v,
малы по сравнению со скоро-
стью света, то эти формулы переходят в привычный закон сложения скоростей в классической механике.
Релятивистский закон сложения скоростей не противоречит
второму постулату Эйнштейна: если
рость
– предельная скорость, которую невозможно превысить.
, то
, т.е. ско-
4. Основной закон релятивистской динамики
Релятивистская энергия
Согласно представлениям классической механики, масса тела
есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его
движения, а именно возрастает с увеличением
по закону:
75
78
2
0
1
mm
(4.12.),
0
m
v
dt
vmd
dt
pd
F
)(
v
m
dt
d
F
2
0
1
v
m
p
2
0
1
cv
cv
где
– масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в
той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка
покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью
.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего
инвариантность всех законов природы при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной
закон динамики Ньютона
оказывается инвари-
антным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем
справа стоит производная от релятивистского импульса:
,
где
(4.13.) – релятивистский импульс.
Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие
.
Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая
. Таким образом, классическая механика –
это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со
скоростью света в вакууме) скоростями.
Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса:
релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е.
не изменяется с течением времени.
Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет
за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е.
между массой и энергией существует взаимосвязь.
Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и
энергии – установил А. Эйнштейн:
76
79
2
2
0
2
1
cm
mcE
(4.14.).
m
0
m
2
00
cmE
2
c
Em
2
mcE
eeh2
T
E
0
E
1
1
1
2
2
0
2
0
2
0
cmcmmcEET
Из последней формула следует, что любой массе (движущейся
или покоящейся
) соответствует определенное значение энер-
гии.
Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя
(4.15.)
Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая
складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной
энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.
В релятивистской механике не справедлив закон сохранения
массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение
дефекта массы ядра и ядерных реакций.
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы
и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:
,
(4.16.)
Таким образом, масса тела, которая в классической механике
является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергии тела.
Физический смысл выражения (5.14.) состоит в том, что су-
ществует принципиальная возможность перехода материальных
объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не
имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения
энергии.
Классическим примером этого является аннигиляция элек-
трон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электронпозитрон из квантов электромагнитного излучения:
В релятивистской динамике значение кинетической энергии
определяется как разность энергий движущегося
и покоящегося
тела:
(4.17.)
77
80
При
cv
2
2
0
vm
T
224
2
0
224
2
0
422
, cpcmEcpcmcmE
2
0
1
mm
v
m
p
2
0
1
v
m
dt
d
F
2
0
1
последнее уравнение переходит в классическое
выражение
.
Из формул (5.13.) и (5.11.) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:
(4.18.)
Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден
экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных
реакций.
Он широко используется для расчета энергического эффекта
при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.
Основные выводы
Специальная теория относительности (СТО) – это новое учение о
пространстве и времени, пришедшее на смену классическим
представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не могут распространяться
со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом
скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления
распространения. Это положение принято формулировать в виде
двух постулатов Эйнштейна – принципа относительности и
принципа постоянства скорости света.
Область применения законов классической механики ограничена
скоростью движения материального объекта: если скорость тела
соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме
является критерием, определяющим границу применимости
классических законов, т.к. она является максимальной скоростью
передачи сигналов.
Зависимость массы движущегося тела от скорости движения
определяется соотношением
.
Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение дина-
мики его движения
,
.
Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой
изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:
78
81
2
2
0
2
1
cm
mcE
2
mcE
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и
энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквива-
лентным изменением ее массы:
.
Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для
ядерной физики и физики элементарных частиц.
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. В чем заключается физическая сущность механического прин-
ципа относительности?
2. Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа
относительности Эйнштейна?
3. Каковы причины создания специальной теории относительно-
сти?
4. Сформулируйте постулаты специальной теории относительно-
сти.
5. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они
переходят в преобразования Галилея?
6. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?
7. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зави-
сит от скорости?
8. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем
оно отличается от основного закона ньютоновской механики?
9. В чем заключается закон сохранения релятивистского импуль-
са?
10. Что понимается под кинетической энергией в релятивистской
механике?
11. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его
физическая сущность?
Литература
1. Трофимова, Т.И. Курс физики [Текст] / Т.И. Трофимова. - Гл. 7
§§ 34-40. С. 67-80.
79
82
Мир живет по закону ритма. Идея универсальности ритма в материальном мире с поэтической красотой была выражена еще Гераклитом Эфесским.
«…Космос этот…, – писал Гераклит, – был, есть и будет огнем вечно живым,
мерно зажигающимся и мерно потухающим». А.Л. Чижевский был уверен в
том, что правильная периодичность и повторяемость явлений в пространстве
и во времени есть основное свойство мира. В 1908 г. А.В. Клоссовский писал
мироздание во всех направлениях и к распространению которых сводится вся
жизнь природы».
«Ритм … одинаково присущ как неживой, так и живой природе, присущ всему космосу. Ритм явлений, ритмичность процессов охватывает весь
космос, начиная от атома до высших проявлений человеческого духа – человеческого творчества». (Соколов П.Я.). Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, внутри которых происходят циклические ядерные реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы; движение Луны вызывает приливы и отливы на
Земле; в земной ионосфере и атмосфере циркулируют потоки заряженных и
нейтральных частиц; ветры возбуждают колебания и волны на поверхности
водоемов. Некоторые окислительно-восстановительные реакции, а также реакции, сопровождающиеся появлением новой фазы вещества, являются колебательными.
Колебательные реакции лежат в основе ряда важнейших биологических процессов: генерации нервных импульсов, мышечного сокращения, г енерации биоритмов. Внутри живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной
надежностью бьется человеческое сердце, даже психика людей подвержена
колебаниям.
Роберт Бишоп, профессор Лондонского университета, специалист в области механики, считает, что мир, в котором мы живем, удивительно склонен
к колебаниям.
Тема 5. Колебания и волны
План
1. Свободные колебания. Затухающие колебания. Вынужденные
колебания. Резонанс. Автоколебания.
2. Уравнение гармонической волны (плоской и сферической).
Продольные и поперечные волны.
3. Энергия, переносимая упругой волной. Вектор Умова. Стоячие вол-
ны.
4. Звуковой эффект Доплера.
Во всем царит гармонии закон,
И в мире все суть ритм, аккорд и тон.
Джон Драйден, 1687 г.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]