Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
53
Тема 3. Законы сохранения в механике
1
m
2
m
1
v
2
v
t
1
u
2
u
2211
amam
t
vu
a
t
vu
a
22
2
11
1
,
t
vu
m
t
vu
m
22
2
11
1
222111
, pvmpvm
222111
, pumpum
План
1. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.
2. Закон сохранения момента импульса.
3. Закон сохранения энергии.
1. Закон сохранения импульса. Реактивное движение
Закон сохранения импульса
Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых
как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы
называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.
Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы (они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой.
В такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, замкнутых механических систем в природе не существует.
Закон сохранения импульса является обобщением третьего и
второго законов Ньютона.
Два тела массами
в результате взаимодействия за время
и стали равны
и
Согласно третьему и второму законам Ньютона взаимодействие тел можно описать уравнением:
и
двигались со скоростями
соответственно.
и
скорости их изменились
.
,
Здесь
Далее получаем:
.
. Здесь
– импульсы первого и второго тел до взаи-
модействия,
– импульсы первого и второго
тел после взаимодействия.
В результате дальнейших преобразований получаем два важных уравнения:
51
54
212211
)( pppppp
(3.1.)
2121
pppp
dt
dm
tvvF
dt
vd
tm
внешн
))(()(
1
)(tm
)(tv
t
внешн
F
1
v
0
dt
dm
0
dt
dm
dt
dm
tvvF
p
))((
1
(3.2.)
Выражение (3.2.) представляет собой закон сохранения им-
пульса: в замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел
при любых взаимодействиях с течением времени не изменяется.
Закон сохранения импульса справедлив не только в классиче-
ской механике. Этот закон носит универсальный характер и является фундаментальным законом природы.
Реактивное движение
Движение тела, возникающее при отделении какой-то его ча-
сти с некоторой скоростью, называется реактивным.
Движение ракеты представляет собой движение тела пере-
менной массы.
Уравнение поступательного движения тела переменной мас-
сы (уравнение Мещерского) имеет вид:
(3.3.),
где
момент времени
и
– масса и скорость тела в рассматриваемый
;
– главный вектор внешних сил, действующих на тело;
– скорость отделяющихся частиц после отделения
бо присоединяющихся частиц до присоединения
.
, ли-
Второе слагаемое в правой части уравнения Мещерского
представляет собой дополнительную силу, действующую на тело
переменной массы.
Эта сила называется реактивной силой:
(3.4.)
Реактивная сила характеризует механическое действие на те-
ло отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частиц
(например, действие на ракету вытекающей от неѐ струи газов).
Уравнение движения ракеты в отсутствие внешних сил имеет
вид:
52
55
dt
dm
tu
dt
vd
tm )()(
(3.4.)
dt
dm
tu
dt
dv
tm )()(
constu
m
m
uv
0
ln
0
m
T
mm
m
uv
0
0
max
ln
T
m
n
i
Tii
i
i
mm
m
uv
1
0
0
max
ln
n
Ti
m
i
i
u
i
im0
n
Если начальная скорость ракеты равна нулю, то ракета движется прямолинейно в направлении относительно скорости u
струи газа на выходе из сопла двигателя.
В этом случае
(3.5.)
При
связь между скоростью ракеты и ее массой
выражается формулой Циолковского:
(3.6.),
где
– начальная (стартовая) скорость ракеты.
Максимальная скорость, которую может развить ракета в отсутствие внешних сил, называется характеристической скоростью:
(3.7.)
Эта скорость достигается в момент окончания работы двигателя из-за использования всего запаса топлива и окислителя (
).
Характеристическая скорость составной (многоступенчатой)
ракеты равна:
(3.8.),
где
– общее число ступеней ракеты;
– масса топлива и окислителя, предназначенных для работы
двигателя
ой ступени;
– относительная скорость истечения газов из сопла двигателя
ой ступени;
– стартовая масса части составной ракеты, включающей все
ступени ракеты с iой по
-ю.
53
56
dt
Ld
M
0M
0
dt
Ld
constL
OO
0
dt
Ld
constL
constI
OO
OO
1
2. Закон сохранения момента импульса
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного
уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного
в неподвижной точке (
), и состоит в следующем:
если результирующий момент внешних сил относительно не-
подвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса
тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Действительно, если
, то
, откуда
(3.9.)
Другими словами, момент импульса замкнутой системы с те-
чением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
, следует закон сохранения момента им-
пульса тела относительно оси:
если момент внешних сил относительно неподвижной оси
вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела
относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е.:
, откуда
или
(3.10.)
Закон сохранения момента импульса является фундаменталь-
ным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с
инвариантностью физических законов относительно выбора
направления осей координат системы отсчета.
Справедливость закона сохранения момента импульса отно-
сительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать
на опыте со скамьей Жуковского.
Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка,
свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси
. Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и приводится во
вращение вместе со скамьей вокруг оси
с угловой скоростью
. Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции
54
57
системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент им-
2
OO
2
2
201
2
10
)2()2(
mrImrI
0
I
2
1
2mr
2
2
2mr
m
21
, rr
OO
12 врврвр
TTT
2
)2(
2
)2(
2
1
2
10
2
2
2
20
mrImrI
2
20
1
2
10
2
2
)2(
mrI
mrI
2
1
2
10
2
20
)2(2
mrImrI
вр
T
)(
2
)2(
121
2
10
mrI
пульса системы сохраняется, и угловая скорость ее вращения
возрастает. Тогда по закону сохранения момента импульса относи-
тельно оси
где
- момент инерции человека и скамьи;
менты инерции гантелей в первом и втором положениях;
са одной гантели;
можно записать:
– расстояния от гантелей до оси
(3.11.),
и
- мо-
– мас-
.
Изменение момента инерции системы связано с изменением
ее кинетической энергии:
Из (3.11.) выразим
=
(3.13.), затем выразим
(3.12.)
и подставим в уравнение (3.12.).
После преобразований получим:
(3.13.)
Это изменение кинетической энергии системы численно рав-
но работе, совершенной человеком при перемещении гантелей.
3. Закон сохранения энергии в механике
Путь к правильному пониманию переходов движения из одной формы в другую был намечен М.В. Ломоносовым, который
сформулировал закон сохранения массы вещества при химических
превращениях и закон сохранения материи и движения. Количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии дали немецкие ученые Ю. Майер и Г. Гельмгольц (XIX в.):
в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее
количество остается неизменным.
Закон сохранения и превращения энергии является одним из
фундаментальных законов природы, справедливым как для систем
макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц. Он
55
58
является выражением вечности и неуничтожимости движения в
constПTE
)( xfEП
п
природе, которое лишь переходит из одной формы в другую.
В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми являются консервативными (потенциальными), отсутствуют
взаимные превращения механической энергии в другие виды энергии. Такие системы называются замкнутыми консервативными, и
для них справедлив закон сохранения энергии в механике: механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется в
процессе ее движения:
(3.14.)
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.
Механические системы, на тела которых действуют только
консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды
энергии, называются диссипативными (диссипация – рассеяние
энергии). Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными, и в них закон сохранения механической энергии нарушается. Однако при изменении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом,
энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом состоит физическая
сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность
неуничтожимости материи и ее движения.
Во многих задачах рассматривается одномерное движение
тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь од-
ной переменной (например, координаты x), т.е.
График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой, анализ которой позволяет
определить характер движения тела:
.
56
59
WxE
п
)(
CDG
WxE
п
)(
WEп
max
W
ABC
A
x
C
x
B
O
x
x
E
F
п
x
0
x
E
п
B
Рис. 3.1.
В общем случае потенциальная кривая может иметь доста-
точно сложный вид, например, с несколькими максимумами и минимумами (рис. 3.1.).
Проанализируем эту потенциальную кривую в предположе-
нии, что система консервативна и в ней выполняется закон сохранения энергии в форме (3.14.). Если W - заданная полная энергия
тела, то тело может находиться только там, где
областях I и III. Переходить из области I в область III и обратно
тело не может, так как ему препятствует потенциальный барьер
, ширина которого равна интервалу значений x, при которых
, а его высота определяется разностью
того чтобы тело смогло преодолеть потенциальный барьер, ему
необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте
барьера или превышающую ее. В области I тело с полной энергией
оказывается «запертым» в потенциальной яме
ет колебания между точками с координатами
и
.
, т.е. в
. Для
и соверша-
В точке
с координатой
потенциальная энергия тела
минимальна. Так как действующая на тело сила
условие минимума потенциальной энергии
57
, то в точке
, а
60
0
x
F
. При смещении тела из положения
O
x
O
x
*
x
max
п
E
Совокупность явлений, возникающих при столкновении твердых дви-
жущихся тел, а также при некоторых видах взаимодействия твердого тела с
жидкостью или газом (удар струи о тело, гидравлический удар (удар тела с
поверхностью жидкости), действие взрывной или ударной волны на твердое
тело и др.), называется ударом твердых тел.
Длительность удара обычно очень мала (на практике
c
54
1010~
),
а развивающиеся на площадках контакта соударяющихся тел ударные или
мгновенные силы очень велики: средние величины напряжений (давлений) на
площадках контакта имеют порядок
атм
54
1010
.
Следствиями удара могут быть остаточные деформации, звуковые ко-
лебания, нагревание тел, изменение механических свойств их материалов (в
частности, увеличение прочности), полиморфные и химические превращения,
и даже разрушение тел на месте.
в результате малых
возмущений в системе оно испытывает действие возвращающей
силы, поэтому положение
является положением устойчивого
равновесия. Указанные условия выполняются и для точки
(для
). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого
равновесия, так как при малых возмущениях в системе появляется
сила, стремящаяся удалить тело от этого положения.
Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия замкнутой консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, а в состоянии неустойчивого равновесия –
максимальное значение.
Рис. 3.2.
Рассмотрим явление абсолютно упругого центрального удара
(применение законов сохранения импульса и энергии).
58
61
Абсолютно упругим называется такой удар, в результате ко-
1
m
2
m
1
v
2
v
1
v
2
v
1
u
2
u
2222
2
22
2
11
2
22
2
11
umumvmvm
2
22
2
11
2
22
2
11
umumvmvm
2211
vmvm
2211
umum
1
v
2
v
1
u
2
u
2211
vmvm
2211
umum
21
11122
2
21
22211
1
2)(
2)(
mm
vmmmv
u
mm
vmmmv
u
торого не происходит превращения механической энергии системы
соударяющихся тел в другие виды энергии.
Пусть два абсолютно упругих шара массами
и
двига-
лись до удара поступательно со скоростями
в одну сторону вдоль линии их центров, причем
Требуется найти скорости шаров
и
и
, направленными
>
(рис. 3.2, а).
после их соударения (рис.
3.2. б).
Согласно условию взаимодействующие шары являются за-
мкнутой консервативной системой, в которой сохраняются импульс и механическая энергия.
Шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их по-
тенциальная энергия в поле тяготения Земли при ударе не изменяется.
Запишем закон сохранения энергии (кинетической) для двух
состояний системы: до и после удара.
После упрощения получаем:
(3.15.)
Для двух состояний (до и после удара) запишем закон сохра-
нения импульса:
При центральном ударе векторы скоростей
,
,
и
направлены вдоль одной прямой. Поэтому в уравнении (3.17.)
можно перейти от векторов к их модулям:
(3.16.)
Решая совместно уравнения (3.15.) и (3.16.), получим:
(3.17.)
Анализ уравнений (3.17.) позволяет сделать следующие выводы:
59
62
1) если массы шаров одинаковы (
mmm
21
21
vu
12
vu
12
mm
22
121
2
vu
vvu
0
2
v
0
2
11
u
vu
11
vu
2211
vmvm
)(
21
mmu
21
2211
mm
vmvm
u
, т.е. при ударе шары обмениваются скоростями;
), то
и
2) если масса второго шара
, то
.
При этом если второй шар был неподвижен до удара (
),
то
,
т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и
движется в обратную сторону со скоростью
.
Как отмечалось, система тел называется диссипативной, если
ее механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В качестве
примера рассмотрим диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух поступательно движущихся
шаров (удар называется абсолютно неупругим, если после удара
тела движутся как одно целое, т.е. с одной и той же скоростью).
Согласно условию взаимодействующие шары являются замкнутой неконсервативной системой, в которой сохраняется только импульс. (Закон сохранения механической энергии не выполняется).
Общая скорость обоих шаров после удара по закону сохранения импульса равна:
(3.18.)
Шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их потенциальная энергия в поле тяготения Земли при ударе не изменяется.
Полная механическая (кинетическая энергия) энергия системы до удара:
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]