Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Механика. Учебное пособие
.pdf
43
Сопоставление формулы (2.7.) с выражением для кинетиче-
v
v
22
22
vIvm
T
CC
C
v
C
I
F
B
r
d
B
rdds
rdFdA sin
MrF
sin
MddA
M
MddA
вр
dTdA
dI
I
ddT
вр
2
2
ской энергии тела, движущегося поступательно со скоростью
показывает, что момент инерции является мерой инертности тела
во вращательном движении.
Если твердое тело движется поступательно со скоростью
одновременно вращается с угловой скоростью
вокруг оси, про-
и
ходящей через его центр инерции, то его кинетическая энергия
определяется как сумма двух составляющих:
(2.8.),
,
где
– скорость центра масс тела;
- момент инерции тела от-
носительно оси, проходящей через его центр масс.
Найдем выражение для работы при вращении тела.
Пусть сила
вращения на расстоянии
приложена к точке
; – угол между направлением силы и
, находящейся от оси
радиусом-вектором r.
Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна
работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол
ложения
проходит путь
, и работа равна произведе-
точка при-
нию проекции силы на направление смещения на величину смещения:
Учитывая, что
где
- момент силы относительно оси вращения.
.
можно записать
Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:
(2.9.)
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
,
,
где
.
41
44
Тогда
dIMd
dt
d
I
dt
d
M
dt
d
I
dt
d
IM
F
F
cos sFsFA
F
sd
dsFsdFdA
cos
, или
, а т.к.
, то
получаем
(2.10.)
Уравнение (2.10.) так же, как и уравнение (2.5.), представляет
собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси.
3 Работа, мощность, энергия.
Консервативные и неконсервативные силы
Работа
Работой постоянной силы
в механике называют скаляр-
ную физическую величину, равную (скалярному) произведению
вектора силы
на перемещение s:
(2.11.),
где
– угол между векторами F и s (рис. 2.3.).
Рис. 2.3.
В общем случае сила может изменяться как по величине, так
и по направлению, поэтому формула (2.11.) является лишь одним
из частных случаев.
Однако если рассматривать достаточно малое перемещение,
то движение материальной точки можно считать прямолинейным, а
силу – постоянной.
Поэтому элементарная работа, совершаемая силой
ментарном перемещении
равна:
на эле-
.
42
45
F
2
1
2
1
cos dsFdsFA
s
)(sF
kxF
упр
1
x
2
x
222
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
kxkx
x
k
dxxkdxkxA
x
x
x
x
x
x
m
З
Rr
1
2
r
З
З
R
З
R
З
r
r
З
гр
R
mGM
r
mGM
r
dr
mGMdr
r
mGM
A
З
З
1
22
2
1
0
2
g
R
GM
З
З
З
З
З
гр
Rmg
R
mGM
A
0
Рис. 2.4.
Работа, совершаемая силой
на рис. 2.4.), равна алгебраической сумме элементарных работ на
отдельных бесконечно малых участках:
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость
, т.е. зависимость силы от перемещения.
Например,
1. работа силы упругости
на конечном пути s (путь 1-2
при деформации (растяже-
нии) пружины от
до
будет равна:
;
2. работа сил гравитационного поля Земли при перемещении тела
массой
с поверхности Земли
на расстояние
будет равна:
.
А так как величина
падения на поверхности Земли, то
есть ускорение свободного
43
.
46
Из формулы (2.11.) следует, что сила, действующая на тело,
0s
0cos2
0
90
F
0
90
mgFТ
kxF
упр
NF
тр
F
212121
ba
AAA
не совершает работы, если:
1) тело покоится (
);
2) сила перпендикулярна к направлению перемещения тела
(
), т.е. сила сообщает телу центростреми-
тельное ускорение. Например, сила Лоренца (сила, действующая со стороны магнитного поля на движущиеся в нем электрические заряды) не совершает работы.
Если угол
Если угол
, то работа силы
будет положительной.
, то работа сила F будет совершать отри-
цательную работу.
Так сила тяжести
может совершать как положи-
тельную работу, так и отрицательную, работа силы упругости
(
) и силы трения скольжения (
) всегда от-
рицательная.
Единица работы (в СИ) – джоуль (Дж): 1 Дж – это работа,
совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м: 1 Дж = 1 Н·м.
Если на тело, движущееся поступательно, одновременно дей-
ствуют несколько сил, то работа равнодействующей силы равна
алгебраической сумме работ составляющих сил.
Консервативные и неконсервативные силы
Если работа, совершаемая силой
при перемещении точки
из одного произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2, не зависит от формы траектории, т.е. выполняется усло-
вие
(2.12.), то такая сила называется консер-
вативной (или потенциальной).
44
47
Примерами консервативных сил являются силы всемирного
dt
dA
P
sdFdA
vFP
F
t
A
Pср
тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия.
Все силы, не удовлетворяющие условию (2.12.) (т.е. работа
этих сил зависит от формы траектории движения тела), называются
неконсервативными или диссипативными.
Примером таких сил являются силы трения, которые всегда
направлены в сторону, противоположную направлению движения.
Поэтому работа сил трения при перемещении материальной точки
вдоль замкнутой траектории всегда отрицательна и никогда не равна нулю.
Мощность
Для характеристики скорости совершения работы силой F
вводится понятие мощности, численно равной работе, совершаемой силой за единицу времени:
(2.13.)
Поскольку
, то получаем:
(2.14.)
Следовательно, мощность (мгновенная мощность) силы равна
скалярному произведению векторов силы и скорости.
Средняя мощность за некоторый промежуток времени t, в
течение которого сила
совершила работу А, будет равна:
(2.15.)
45
48
Единица мощности (в СИ) – ватт (Вт): 1 Вт – мощность,
E
П
ПTE
F
m
1
v
2
v
при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж: 1 Вт = 1 Дж/с.
4. Энергия. Механическая энергия.
Виды механической энергии
Энергия
Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся единой (универсальной) мерой различных форм движения
материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие.
Для характеристики различных форм движения вводят соответствующие виды энергии:
механическая энергия;
внутренняя энергия;
энергия электростатического взаимодействия;
атомная энергия;
ядерная энергия и др. виды.
Энергия подчиняется закону сохранения, который является
фундаментальным законом природы.
Энергия есть функция состояния системы и не зависит от
способа перехода системы из одного состояния в другое.
Механическая энергия
Механическая энергия
характеризует механическое дви-
жение и взаимодействие тел и, следовательно, является функцией
скоростей, массы и взаимного расположения тел (или их частей).
Поэтому различают два вида механической энергии: кинетическую (T) и потенциальную (
).
Механическая (полная) энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий этой системы:
.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия – это энергия, которой обладают всякое движущееся тело или система движущихся тел.
Получим формулу кинетической энергии.
Пусть в результате действия постоянной силы
нии движения тела массой
скорость тела изменилась от
в направле-
до
.
46
49
Работа постоянной силы равна:
FsA
maF
s
vv
a
2
2
1
2
2
222
2
1
2
2
2
1
2
2
mvmv
As
s
vv
mA
2
2
mv
T
2
2
mv
T
T
TA
П
Согласно второму закону Ньютона
.
, где
– ускорение движения тела.
Тогда получаем:
(2.16.), т.е. работа равнодей-
ствующей равна изменению некоторой величины, являющейся
функцией состояния системы: функцией массы и скорости.
Скалярную величину
(2.17.) в классической меха-
нике и называют кинетической энергией тела.
Скорость – понятие относительное. В разных инерциальных
системах отсчета скорость движения тела имеет различные значения. Следовательно, и его кинетическая энергия
в разных инер-
циальных системах отсчета будет неодинакова.
Таким образом, кинетическая энергия тела (или системы) зави-
сит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной.
Из формулы (2.16.) следует важный вывод:
работа есть мера изменения кинетической энергии системы
.
Потенциальная энергия
Потенциальная (
) энергия – это часть полной механической энергии системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему
силы при переходе системы из этого состояния в то, где потенциальная энергия системы условно принимается равной нулю.
Выбор нулевого состояния (уровня потенциальной энергии),
т.е. начала отсчета, совершенно произволен, так как в любом опыте
можно измерить только изменение потенциальной энергии, но не
еѐ абсолютное значение.
Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для
консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действую-
47
50
щих сил зависит только от начального и конечного положения си-
m
H
mgHП
2
2
kx
П
0x
r
Mm
GП
r
ПA
стемы (и не зависит от формы траектории).
Например,
1) потенциальная энергия тела массой
сил тяжести на высоте
от поверхности Земли, равняется
, находящегося в поле
. За нулевой уровень потенциальной энергии приня-
та поверхность Земли;
2) потенциальная энергия упруго деформированной пружины
равна
пружины (
. Потенциальная энергия недеформированной
) принимается равной 0;
3) потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяготения
Земли, определяется формулой:
. На расстоянии
потенциальная энергия гравитационного взаимодей-
ствия принимается равной 0.
Связь потенциальной энергии с работой равнодействующей
выражается формулой:
48
51
Основные выводы
Поступательное движение
Вращательное движение
Мера инертности
Масса материальной точки
m
Момент инерции материальной
точки
2
mRI
Скорость
dt
rd
v
Угловая скорость
dt
d
Связь:
Rv
Ускорение
dt
dv
a
Угловое ускорение
dt
d
Связь:
Ra
Сила F
Момент силы
FrM
Импульс тела
vmp
Момент импульса
IL
В частном случае
2
mRL
Связь:
RpL
Основное уравнение динамики:
amF
или
dt
pd
F
Основное уравнение динамики:
IM
или
dt
Ld
M
Работа
FdsdA
Работа вращения
MddA
Кинетическая энергия
2
2
mv
T
Кинетическая энергия вращения
2
2
I
T
вр
Таблица 2.2.
Аналогия между поступательным и вращательным движением
твердого тела
49
52
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента
инерции во вращательном движении?
2. Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент
инерции тела?
3. Что называется моментом силы относительно неподвижной
точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется
направление момента силы?
4. Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется
направление момента импульса?
5. Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?
6. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательно-
го движения твердого тела.
7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких
системах он выполняется?
8. Сопоставьте основные величины и уравнения динамики посту-
пательного и вращательного движений.
Литература
1. Трофимова, Т.И. Курс физики [Текст] / Т.И. Трофимова - Гл. 1.
Гл. 3. Гл. 4 §§ 16, 18. С. 23-34. С. 34-35. С. 37-38.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]