Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по «Высшей математике». Для студентов по направлению подготовки специальность 280705 «Пожарная безопасность» заочное отдел
.pdf
.
2
3
;32 CC
.
2
3
2 x
exy
.
2
3
221xxx
exxeCeCy
.1
2
xyy
;1;1;0;0)1(;0
321
23
kkkkkkk
.
321
xx
eCeCCy
)(xQexy
xr
.)(;1;0
2
CBxAxxQr
CxBxAxy
23
;6;26;23
2
AyBAxyCBxAxy
;1236
22
xCBxAxA
;16;02;13 CABA
;1;0;
3
1
CBA
.
3
1
3
321
xxeCeCCy
xx
0),...,,,,...,,,(
......................................................
0),...,,,,...,,,(
0),...,,,,...,,,(
2121
21212
21211
nnn
nn
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxF
yyyyyyxF
Частное решение имеет вид:
Общее решение линейного неоднородного уравнения:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения:
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное
уравнение:
.
Получаем общее решение неоднородного дифференциального
уравнения:
Определение. Совокупность соотношений вида:
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
где х- независимая переменная, у
, у2,…,у
1
– искомые функции,
n
называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого
порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций
называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
71
Такая система имеет вид:
),...,,,(
........................................
),...,,,(
),...,,,(
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
yyyxf
dx
dy
yyyxf
dx
dy
yyyxf
dx
dy
),...,,,(
2111 n
CCCxy
),...,,,(
2122 n
CCCxy
),...,,,(
21 nnn
CCCxy
Для примера можно сказать, что график решения системы двух
дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в
трехмерном пространстве.
Определение. Общим решением системы
дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций
,
, …
при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.
, которые
72
Контрольная работа № 3
xdxе
x
2sin
2
sin
dxxarctg
;8
3
x
dx
.
113x
dx
b
a
dxxf )(
8
2
3
.16dxx
.
0
2
dxxe
x
2
25 у
e
dyyxdxyx )()(
22
Задание 1.
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 1
а)
; б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3x2 + 1 и
прямой у = 3x + 7.
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
2
(х
+ у2)3 = а2 х2 у2.
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, z = x, y = 0, y = 4, x =
.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль дуги 1 окружности x = 5 cos t, y = 5 sin2 t, обходя ее против хода
часовой стрелки от точки А (5; 0) до точки В (0; 5). Сделать чертеж.
73
Задание 1.
;
4
6
2
x
xdx
dxee
xx
31ln
;
1
132
3
2
x
xx
.
sin tgxx
dx
b
a
dxxf )(
12
2
3
.9dxx
3
22
)1(x
xdx
20 t
e
dyyxdxyx )()(
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 2
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
.
Задание 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x =
a (t – sin t); y = a (1-cos t); (
) и осью Ox.
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
2
(х
+ у2)2 = а2 (4х
2
+ у
2
).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, z = 9 – у2, x2 + у2 = 9.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль ломанной 1 = ОАВ, где О (0; 0); А (2; 0); В (4; 5). Сделать чертеж.
74
Задание 1.
;
1
8
3
x
dxx
dxxx3
;
1644
73
23
xxx
dxx
.
33
3
2
xx
dx
b
a
dxxf )(
7
3
3
.32dxx
.
1
1
2
xx
dx
е
yx
xdyydx
22
ABC
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 3
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 3 (1 + cos
).
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
2
(х
+ у2)3 = а2 х
2
(4х2+3у
2
).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, z = 4 – х – у , x2 + у2 = 4.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль границы
, обходя ее против хода часовой стрелки, если А
(1; 0); В (1; 1); С (0; 1). Сделать чертеж.
75
Задание 1.
;
13cos
2
tgxx
dx
dx
x
xx
21
arcsin
;
2223xxx
dx
.
1
1
3
2
x
xx
b
a
dxxf )(
10
0
3
.5dxx
.
1
1
0
3
2
x
dxx
e
dyхyуdxхyx )2()2(
22
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 4
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой
r = 4 sin 2 .
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
2
(х
+ у2)2 = а2 (3х
2
+ у
2
).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, z = у2 , x2 + у2 = 9.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль дуги 1 параболы у = х
2
от точки А (-1; 1) до точки В (1; 1).
Сделать чертеж.
76
Задание 1.
;
3sin4
3cos
x
xdx
dxex
x32
;
485
23
2
xxx
dxx
.cos1
cosxxdx
b
a
dxxf )(
9
1
3
.2dxx
.
)1(
2
1
2
x
dx
e
dyyхуdxхуx )2()3(
22
t0
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 5
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx
фигуры, ограниченной параболами у = х
2
и у = x.
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
4
х
= а2 (3х2- у2).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, у + z = 4, x2 + у2 = 4.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль верхней половины 1 эллипса х = 3 cos t, у = 2 sin t, (
).
77
Задание 1.
;
cos
sin
3
2
x
xdx
dx
x
x1arcsin
;
2
)3(
23
xxx
dxx
.
)4(
)1(
4
3
4
xx
dxx
b
a
dxxf )(
12
2
3
.4dxx
.
)3(
2
3
2
x
dx
2
1 x
у1
e
dyxydxyx )()(
22
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 6
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченном полуэллипсом у = 3
, параболой х =
и
осью Оу.
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
6
х
= а2 (х4- у4).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, 4z = у2, 2x - у = 0, х + у = 9.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль ломанной t = ABC, где А (1; 2); В (1; 5); С (3; 5). Сделать чертеж.
78
Задание 1.
;
1
)(
2
x
dxarctgxx
dxxx 1ln
2
;
65
)3(
24
2
xx
dxx
.
51
5
3
x
dxx
b
a
dxxf )(
11
1
3
.3dxx
.
ln
3
xx
dx
edy
у
х
уdx
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 7
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной кривыми у = 2 / (1+x2) и у = x2.
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
4
х
= а2 ( х2 - 3 у2).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, х2 + у2 = z, x2 + у2 = 4.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль дуги 1 кривой у = е
-х
от точки А (0; 1) до точки В (-1; е). Сделать
чертеж.
79
Задание 1.
;
)1(dxxx
xarctg
xdxxx cossin
;81
4
2
x
dxx
.sin4cos3 xx
dx
b
a
dxxf )(
7
3
3
.36dxx
.
)2(
3
2
x
dx
3
)2( x
e
dy
y
x
dx
у
у
2
2
1
Найти неопределенные интегралы. В пункте а) и б) результаты
проверить дифференцированием.
Вариант 8
а)
б)
; в)
г)
Задание 2.
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с
помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Задание 3.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Задание 4.
Вычислить длину дуги полукубической параболы у =
от точки
А (2; 0) до точки В (6; 8).
Задание 5.
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координат
площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых
координатах (а > 0).
6
у
= а2 (у4 – х4).
Задание 6.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного
указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на
плоскость х о у.
z = 0, z = 1 – у2, x = у
2
, х = 2у
2
+ 1.
Задание 7.
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль отрезка t = AB прямой от точки А (1; 2) до точки В (2; 4).
Сделать чертеж.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]