Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по «Высшей математике». Для студентов по направлению подготовки специальность 280705 «Пожарная безопасность» заочное отдел
.pdf
888816
286844
30624
9
DBA
DCBA
DCBA
CBA
112
143422
66542430
9
DBA
DCBA
BABAD
BAC
1142242
1412672443622
4224
9
BABA
BABABA
BAD
BAC
3554
50104
4224
9
BA
BA
BAD
BAC
3551050
50104
4224
9
BB
BA
BAD
BAC
3
50104
4224
9
B
BA
BAD
BAC
2
1
3
5
D
C
B
A
.
2
)4ln(
2
1
4ln32ln5
4
2
4
4ln32ln5
4
2
4
3
2
5
2
222
C
x
arctgxxx
dx
x
dx
x
x
xxdx
x
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
xxxxx
61743
776202586
23
2345
dx
xxx
xx
xxdx
xxx
xx
dxdxxdx
xxx
xx
x
61743
554
5
3
3
2
61743
554
532
61743
252520
32
23
2
3
23
2
2
23
2
2
Итого:
Пример.
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее
целую часть:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6
6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3
9x3 + 8x2 – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х =
3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3
3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2
5x2 – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
11
Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x –
1323)13)(2)(3(
554
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
554)2)(3()13)(3()13)(2(
2
xxxxCxxBxxA
1
2135
1640
C
B
A
1
5/3
5/2
C
B
A
dx
xxx
xxxxx
61743
776202586
23
2345
13
5
3
2
2
33
3
2
3
x
dx
x
dx
x
dx
xx
.13ln
3
5
3ln22ln33
3
2
3
Cxxxxx
dx
x
EDx
dx
x
CBx
dx
x
A
dx
xx
xxx
2)2(
3
)2)(3(
157143
22222
24
157143)2)(3)(()3)(()2(
24222
xxxxxEDxxCBxxA
)4632()263()432()3()(
6326323344
234
23324224
AECAxEDCBxAEDBAxEDxAD
EExExExDxDxDxDxCCxBxBxAAxAx
15463
7263
14432
03
3
AEC
EDCB
AEDB
ED
AD
15418543
76186183
14492726
39
3
AAC
AACB
AAAB
AE
AD
69223
73
3511
39
3
AC
CB
AB
AE
AD
69270921
37
3511
39
3
BB
BC
BA
AE
AD
0
0
1
2
3
E
D
C
B
A
1). Тогда:
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных
коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы
уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно
большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть
метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются
поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов)
произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве
произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби
равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:
Окончательно получаем:
=
Пример.
Найдем неопределенные коэффициенты:
12
Тогда значение заданного интеграла:
.
224
1
)2(4
2
1
3ln3
)2()2(
2
3
3
)2(
12
3
3
2
2222222
C
x
arctg
x
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
dxxxR )cos,(sin
2
x
tgt
2
2
1
2
2
1
2
2
sin
t
t
x
tg
x
tg
x
;
1
1
2
1
2
1
cos
2
2
2
2
t
t
x
tg
x
tg
x
;
1
2
;2
2
t
dt
dxarctgtx
.)(
1
2
1
1
,
1
2
)cos,(sin
22
2
2
dttrdt
tt
t
t
t
RdxxxR
.
2
2
1
2
1
)2(44
882
2
55338
2
5
1
1
3
1
2
4
1
2
5cos3sin4
22
222
2
2
2
2
C
x
tg
C
t
t
dt
tt
dt
tt
dt
ttt
dt
t
t
t
t
t
dt
xx
dx
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно
много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить
аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций,
которые могут быть проинтегрированы всегда.
Интеграл вида
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от
переменных sinx и cosx.
Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки
. Эта
подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в
рациональную.
Тогда
Таким образом:
,
Описанное выше преобразование называется универсальной
тригонометрической подстановкой.
Пример.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее
помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в
рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам
можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно
сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много
времени и сил.
13
Однако при невозможности применить более рациональную замену
.
4
1
2
2
1
4
1
2
1
16)1(
2
172
2
1
2
1
)1(8
9)1(
2
sincos89
22
22
2
2
C
x
tg
arctgC
t
arctg
t
dt
tt
dt
t
t
t
t
t
dt
xx
dx
dxxxR )cos,(sin
xdx
x
xxR
dxxxR cos
cos
)cos,(sin
)cos,(sin
x
xxR
cos
)cos,(sin
.)(cos)(sin)cos,(sin
dttrxdxxrdxxxR
.
3
sin
sin3
sin
3
sin3
1
3
1
3
3
3
1
3
3
331)1(
sin1cos
cos
sin
sin
cos
3
3
3
3
2
244
642
4
32
22
4
7
C
x
x
x
x
tt
t
t
dttdt
t
dt
t
dt
dt
t
ttt
dt
t
t
xx
xdxdt
tx
x
xdx
dxxxR )cos,(sin
.)(sin)(cos)cos,(sin dttrxdxxrdxxxR
переменной этот метод является единственно результативным.
Пример.
Интеграл вида
если
функция R является нечетной относительно cosx
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью
универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить
подстановку t = sinx.
Функция
может содержать cosx только в четных степенях, а
следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию
относительно sinx.
Пример.
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только
нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в
функцию, может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида
если
функция R является нечетной относительно sinx
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t =
cosx.
Тогда
14
Пример.
.)2ln(cos3cos2
2
cos
2ln32
2
42ln82ln52
2
4
2
82ln52
2
1
2
2
2
2,1
2
22
2
42ln52
22
5
2
42
2
5
2
4
2
2
54)2(
2
5444
2
1
sin
cos
cos2
sin
22
22
2
2223
Cxx
x
Ctt
t
tttt
t
dt
t
dt
tt
t
tt
t
AB
tBtA
B
t
A
t
t
dt
t
t
tt
t
t
dt
t
tdt
dttdtdt
tt
t
t
dt
t
tt
dt
t
ttt
dt
t
t
xdxdt
tx
dx
x
x
dxxxR )cos,(sin
dttrdxxxR )()cos,(sin
.
8
2
ln
10
1
53
53
ln
10
1
25)3(166
)(
cos
1
;
166
cos
1
cos16cossin6sin
22
2
2
2
22
C
tgx
tgx
C
tgx
tgx
t
dt
tt
dt
dttgxddx
x
ttgx
dx
tgxxtg
x
xxxx
dx
nm
xnm
nm
xnm
dxxnmxnmnxdxmx
)sin()sin(
2
1
)cos()cos(
2
1
coscos
nm
xnm
nm
xnm
dxxnmxnmnxdxmx
)cos()cos(
2
1
)sin()sin(
2
1
cossin
nm
nm
nm
nm
dxxnmxnmnxdxmx
)sin()sin(
2
1
)cos()cos(
2
1
sinsin
.9sin
18
1
5sin
10
1
9cos
2
1
5cos
2
1
2sin7sin Cxxxdxxdxxdxx
Интеграл вида
функция R четная относительно sinx и cosx
Для преобразования функции R в рациональную используется
подстановка
t = tgx.
Тогда
Пример.
Интеграл произведения синусов и косинусов
различных аргументов
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
Пример.
15
Пример.
.7cos
28
1
13cos
52
1
cos
4
1
21cos
84
1
7sin
4
1
13sin
4
1
sin
4
1
21sin
4
1
3cos10sin
2
1
11cos10sin
2
1
]4cos7[cos10sin4cos7cos10sin
Cx
xxxxdxxdxxdxxdx
xdxxxdxxdxxxxxdxxx
Cxctg
x
dx
xdctg
x
dx
xx
dx
22
sin
22
2sin
4
cossin
2222
.
8
4sin
2sin
2
3
4
1
32
4sin
84
2sin
4
4cos
8
1
4
2sin
4
)4cos1(
2
1
4
1
2sin
4
1
4
2cos
4
1
2cos
2
1
4
1
)2cos2cos21(
4
1
)2cos1(
4
1
2cos
2
1
2
1
sin
2
22
2
4
C
x
x
xxxxx
xdxdx
xx
dxxx
x
xdxxdxdx
dxxxdxxdxxxdx
;cossincos
;;cos
;;sin
sin
cos
;;sin
;;cos
cos
;;
;
1
;ln
)cos(ln
udueueue
eqududp
duedqup
udue
ue
eqududp
duedqup
udue
duedxex
dx
x
duxu
dxx
uuu
u
u
u
u
u
u
u
uu
udueuueudue
uuu
cos)sin(coscos
;ln
4
cos
2
)cos(ln
))sin(ln)(cos(ln
2
1
)cos(ln
)sin(cos
2
cos
Cx
x
dxx
Cxx
x
dx
x
xx
Cuu
e
udue
u
u
Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно
использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения
порядка функций.
Пример.
Пример.
Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
Пример.
Итого
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл,
выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от
иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит
преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть
найден как известно всегда.
иррациональных функций.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов
16
Интеграл вида
dx
dcx
bax
xRn,
t
dcx
bax
n
;;; dt
cta
bt
dx
cta
bt
xt
dcx
bax
n
n
n
n
n
.)(,,
dttrdt
cta
bt
t
cta
bt
Rdx
dcx
bax
xR
n
n
n
n
n
1
2
2
;
2
214
2
;21
2121
2
2
3
33
4
4
4
t
dtt
tt
dtt
t
dx
x
dx
dttx
xx
dx
.121ln221221
1ln22
1
1
12
1
22
1
2
44
22
Cxxx
Ctttdt
t
tdt
t
t
tdtdt
t
t
t
.112
)11ln(61121612)1ln(6126
1
12
12
1
1212
1
1
1
1
12
11
12
1
12
)1(
12)(
;12
;1;1
11)1(
11
12
6
12
6
22
2
2222
2
2
3
2
23
212
1134
11
12
12
6
4
3
Cxarctg
xxxCarctgtttt
t
dt
dt
t
tdt
tdtdt
t
dt
t
t
tdt
t
t
dt
t
t
dt
t
tt
tt
dtttt
dttdx
txtx
dx
xx
xx
xt
n
m 1
где n- натуральное число.
С помощью подстановки
функция рационализируется.
Тогда
Пример.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных
степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени,
равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в
выражение.
Пример.
Интегрирование биноминальных дифференциалов
Определение: Биноминальным дифференциалом называется
выражение
xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл
от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные
функции только в следующих трех случаях:
1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью
подстановки
2) Если
, где - общий знаменатель m и n.
- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
17
s
n
bxat
, где s – знаменатель числа р.
p
n
m
1
s
n
n
x
bxa
t
dxcbxaxxR
2
,
.
22
mu
;),(
22
duumuR
;),(
22
duumuR
;),(
22
dumuuR
duumuR ),(
22
tmu sin
tmu cos
.
2
arcsin
2
cossin
22
2sin
42
)2cos1(
2
coscossin
cos
;sin
22
22222
2
2222222
Cxa
x
a
xa
Ctt
ata
Ct
ata
dtt
a
dttatdtataa
tdtadx
tax
dxxa
duumuR ),(
22
mtgtu
mctgtu
.
3
)(
1sin
sin
1
sin3
1
sin
sin)sin1(1
sin
cos
cos
cos
;
cos
;
cos
;
4
22
34
2/322
22
22
2
434
4
2
444
3
442
22
2
224
C
xa
xa
xa
xa
xa
x
xa
a
tC
tata
t
tdt
ata
tdt
tatgta
tdta
t
a
xa
dt
t
a
dxatgtx
xax
dx
dumuuR ),(
22
t
m
u
sin
t
m
u
cos
3) Если
- целое число, то используется подстановка
, где s
– знаменатель числа р.
Интегралы вида
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций.
В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала,
предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата
может быть приведен к виду:
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:
1)
2)
3)
1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида
подстановкой
или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint
или cost.
Пример:
Теорема: Интеграл вида
или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно
sint и cost.
Пример:
подстановкой
Теорема: Интеграл вида
18
или cost.
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint
подстановкой
или
Пример:
.
2
arccos
32
1
416
1
)4(12
1
4
2
3232
1
96
1
1
sin
1
32
1
96
1
32
1
)(
32
1
1
sin
1
32
1
32
1
22cos
cossin2
;24
;
cos
sin2
;
cos
2
)4(
2
2/32
2
3
2
322
2
2
4
552
2
2
2/52
C
x
x
x
x
ctgtC
t
ctgttctg
dt
t
tctgtdtctgctgttdctgdt
t
tctg
tdtctg
ttgt
tdtt
tgtx
dt
t
t
dx
t
x
xx
dx
dxcbxaxxR ),(
2
axtcbxax
2
dxcbxaxxR ),(
2
ctxcbxax
2
dxcbxaxxR ),(
2
)(
1
2
xxtcbxax
;
)(
.;)(.;
)(
.
2
2
2
cbxaxx
dx
IIIdxcbxaxxPII
cbxax
dxxP
I
n
;)(
)(
2
2
2
cbxax
dx
cbxaxxQ
cbxax
dxxP
cbxax
2
2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)
1) Если а>0, то интеграл вида
рационализируется
подстановкой
.
2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида
подстановкой
.
рационализируется
3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные
множители a(x – x1)(x – x
рационализируется подстановкой
), то интеграл вида
2
.
Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического
использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях
приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют
скорее теоретический интерес.
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду
интеграла I типа.
Далее делается следующее преобразование:
в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже
степени многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.
19
Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x),
степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части
полученного выражения, затем умножают на
коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют и коэффициенты
многочлена Q(x).
и, сравнивая
Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х)
52
52)(
52
173
2
22
2
23
xx
dx
xxCBxAxdx
xx
xx
cbxax
2
52
)1(
52
52)2(
52
173
22
2
2
2
23
xx
x
xx
CBxAx
xxBAx
xx
xx
)1)(()52)(2(
22
xCBxAxxxBAx
173
23
xx
CBxAxCxBxAxBBxBxAxAxAx
223223
521042
173
23
xx
1735)310()25(3
2323
xxCBxCBAxBAAx
7
13
1
1
15
0310
725
1
C
B
A
CB
CBA
BA
A
4)1(
752)13(
52
173
2
22
2
23
x
dx
xxxxdx
xx
xx
.)521ln(752)13(
222
Cxxxxxxx
3
3)(
3
)3)(64(
3)64(
2
223
2
22
22
x
dx
xDCxBxAxdx
x
xxx
dxxxx
33
)(
3)23(
3
181264
22
23
22
2
234
xx
xDCxBxAx
xCBxAx
x
xxxx
DxCxBxAxxCBxAxxxxx
23422234
)3)(23(181264
DxCxBxAxCBxAxCxBxAxxxxx
2342234234
36923181264
CxDBxACBxAxxxxx 3)6()92(34181264
234234
;2/9;6;2/3;2;1 DCBA
.3ln
2
9
36
2
3
23)64(
222322
Cxxxxxxdxxxx
2
2
2
2
2
2
3
2
23
1
1)(
1
1
1
;
1
1 v
dv
vBAv
v
dvv
v
v
dvv
v
dv
dx
v
x
xx
dx
больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы
интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная
функция является производной подкоренного выражения.
Пример.
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на
и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
Итого
=
Пример.
=
=
=
Пример.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]