Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по «Высшей математике». Для студентов по направлению подготовки специальность 280705 «Пожарная безопасность» заочное отдел
.pdf
Геометрические и физические приложения кратных интегралов
b
axxf
dydxS
)(
)(
-2 2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
6
4
4
2
y
x
2
6
2
6
2
2
2
6
2
4
4
2
6
2
124
4
1
4
448
4
4
2
2
dyyydy
yy
dy
y
ydxdy
y
y
3
1
21
3
8
88
4
1
612
2
364
3
636
248
3
8
4
1
12
2
4
34
1
2
6
23
y
yy
2
1
)(
)(
dddydxddS
f
1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
y = (x)
S
y = f(x)
a b x
Площадь S, показанная на рисунке, может быть вычислена с помощью
двойного интеграла по формуле:
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Построим графики заданных функций:
Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом,
область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от
до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:
S =
2) Вычисление площадей в полярных координатах.
41
3) Вычисление объемов тел.
212
1
0
lim
xxy
y
x
zdydxzdydxxyz
;1;1
2
2
2
1
xyxy
111
1
;3)3(
2
x
x
dydxyxV
dydx
z
f
z
f
y
f
x
f
S
2
2
2
dydx
y
z
x
z
S
2
2
1
Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью
z = f(x,y),
а с боков – цилиндрической поверхностью.
Такое тело называется цилиндроид.
z
z = f(x, y)
x1 y1 x
2
x
y
2
V =
Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ:
по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;
4) Вычисление площади кривой поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее
поверхности находится по формуле:
Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то
площадь этой поверхности вычисляется по формуле:
5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.
42
Пусть площадь плоской фигуры (область ) ограничена линией,
dydxyI
x
2
dydxxI
y
2
dydxyxIII
yx
)(
22
0
;;
wdydx
wydydx
y
wdydx
wxdydx
x
CC
21212
1
xxyyz
z
dzdydxV
;;;
r
r
C
r
r
C
r
r
C
wdv
wzdv
z
wdv
wydv
y
wdv
wxdv
x
r r
zy
r
x
wdvyxIwdvzxIwdvzyI ;)(;)(;)(
222222
r
yz
r
xz
r
xy
wdvxIwdvyIwdvzI ;;;
222
r
wdvzyxI ;)(
222
0
уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся
по формулам:
- относительно оси Ох:
- относительно оси Оу:
- относительно начала координат:
- этот момент
инерции называют еще полярным моментом инерции.
6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.
Координаты центра тяжести находятся по формулам:
здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).
7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем
тела может быть найден по формуле:
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х
или постоянные, х
и х2 – постоянные.
1
8) Координаты центра тяжести тела.
9) Моменты инерции тела относительно осей координат.
10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.
11) Момент инерции тела относительно начала координат.
В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления
интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент
объема
- в декартовых координатах: dv = dxdydz;
- в циллиндрических координатах: dv = dzdd;
- в сферических координатах: dv = 2sinddd.
43
12) Вычисление массы неоднородного тела.
r
wdvM ;
Теперь плотность w – величина переменная.
44
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2
2
0
at
tVS
2
2
;
dt
Sd
dt
dV
a
dt
dS
V
2
)(
)(
0
ttf
tVtfS
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение различных геометрических, физических и инженерных
задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые
переменные, характеризующие ту или иную задачу, с какой – либо функцией
этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай
равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при
равноускоренном движении является функцией времени и выражается по
формуле:
В свою очередь ускорение a является производной по времени t
от скорости V, которая также является производной по времени t от
перемещения S. Т.е.
Тогда получаем:
- уравнение связывает
функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка
функции f(t).
Определение. Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и
производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну
независимую переменную, то оно называется обыкновенным
дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две
или более, то такое дифференциальное уравнение называется
дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в
уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения
называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при
подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает
уравнение в тождество.
45
Свойства общего решения
0
yyx
0 y
dx
dy
x
ydxxdy
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
0
lnln Cxy
0
lnln Cxy
0
ln Cxy
Cexy
C
0
x
C
y
2;
1
2 C
С
1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то, вообще говоря,
дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
2) При каких- либо начальных условиях х = х
, у(х0) = у
0
существует
0
такое значение С = С0, при котором решением дифференциального
уравнения является функция у = (х, С
Определение. Решение вида у =
).
0
(х, С
) называется частным
0
решением дифференциального уравнения.
Определение. Задачей Коши называется нахождение любого
частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С
удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у
.
0
),
0
Определение. Интегралом дифференциального уравнения
называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого
данное дифференциальное уравнение является следствием.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью
интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно
преобразовано следующим образом:
Теперь интегрируем:
- это общее решение исходного дифференциального уравнения.
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0=1; y0=2,
тогда имеем
46
При подстановке полученного значения постоянной в общее
x
y2
0),,(
yyxF
),( yxfy
;0),(;),();,( dydxyxfdxyxfdyyxf
dx
dy
;0),(,
),(
),(
),( yxQ
yxQ
yxP
yxf
0),(),( dyyxQdxyxP
Cdxxfy
)(
),( yxfy
решение получаем частное решение при заданных начальных условиях
(решение задачи Коши).
Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые
используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением первого
порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую
производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
Если такое соотношение преобразовать к виду
то это
дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением,
разрешенным относительно производной.
Преобразуем такое выражение далее:
Функцию f(x,y) представим в виде:
тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:
- это так называемая дифференциальная форма уравнения
первого порядка.
Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и
методы их решения.
Уравнения вида y’ = f(x)
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором
интервале a<x<b. В таком случае все решения данного дифференциального
уравнения находятся как
и у
называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно
записать в виде
. Если заданы начальные условия х
, то можно определить постоянную С.
0
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение
47
0
)()( yxy
.
;0)(0)(
)(
;0)()(;0)()(
yприdxx
y
dy
dxyxdyyxy
);(
)(
1
);()( yY
y
xXx
;0)()( dyyYdxxX
CdyyYdxxX
)()(
y
x
yy
cos
2
x
dx
dy
yy 2cos
xdxydyy 2cos
xdxydyy 2cos
yyyydyyy
yvdydu
ydydvyu
ydyy cossinsinsin
sin;
;cos;
cos
Cxyyy 2cossin
0cossin
2
Cxyyy
02sincossin
xyyyyyyy
y
x
yy
cos
2
Такое уравнение можно представить также в виде:
Перейдем к новым обозначениям
Получаем:
После нахождения соответствующих интегралов получается
общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее
решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное
решение.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
- это есть общий интеграл исходного дифференциального
уравнения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа
продифференцируем его по переменной х.
- верно
48
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
y
y
y
ln
y
dy
ydx
ln
y
ydy
dxln
y
ydy
dx
ln
)(lnln yydCx
2
ln2y
Cx
;2;02;
2
1ln
2
2
CCC
;ln)2(2
2
yx
42 x
ey
422
2
42
x
ey
x
yx
e
xe
y
y
x
x
ln42
)42(
42
42
.
3
2
yy
3
2
y
dx
dy
dxdyy
3
2
dxdyy
3
2
Cxy
3
1
3
3
)(27 Cxy
3
)(
27
1
Cxy
при условии у(2) = 1.
при у(2) = 1 получаем
Итого:
или
Проверка:
Пример. Решить уравнение
- частное решение;
, итого
- верно.
- общий интеграл
- общее решение
49
Однородные уравнения
).,(),( yxfttytxf
n
?3),(
23
yxxyxf
),()3(3)(3)(),(
3233233323
yxftyxxtyxtxttytxtxtytxf
),( yxfy
0),(),( dyyxQdxyxP
).,( yxfy
).,(),( yxftytxf
x
t1
x
y
fyxf ,1),(
x
y
u
);(),( u
x
y
yxf
)(uy
xuxuy
;
)(
);();(
x
uu
uuuxuuxuxu
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го
измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения
параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной функция
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида
называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть
однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида
является
однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции
одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении
этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно
записать:
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что
Получаем:
Правая часть полученного равенства зависит фактически только
от одного аргумента
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать
в виде:
Далее заменяем y = ux,
.
, т.е.
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]