Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по «Высшей математике». Для студентов по направлению подготовки специальность 280705 «Пожарная безопасность» заочное отдел
.pdf
22
2
2
2
11
)(
1
1 vv
vBAv
vA
v
v
BvAvAvAv
222
ABvAvv
22
2
;2/1;0;2/1 BA
C
x
x
x
v
vv
v
dvv
1
arcsin
1
2
1
arcsin
2
1
2
1
1
2
22
2
2
.
11
arccos
2
1
11
2cossin22sin2sin
4
1
2
1
2cos1
2
1
cos
sincos
cossin
cos
1
cos
sin
;1
;
cos
;
cos
1
1
2
2
2
2
2
4
3
2
2
23
C
x
x
x
x
x
x
tttttdtt
tdtdt
tt
tt
dt
tgt
t
t
t
tgtx
dt
t
tgt
dx
t
x
xx
dx
xx
1
arccos
2
1
arcsin
.
1
coscos
cos
1cos
;cos
;sin
)1(
2
23
2
2/32
C
x
x
Ctgt
t
dt
t
tdt
xt
tdtdx
tx
x
dx
dxxPxR ))(,(
Второй способ решения того же самого примера.
С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением
ответы, полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно
применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода
интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством,
очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью
вычислений и преобразований.
К таким интегралам относится интеграл вида
многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются
эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется
ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные
функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие
интегралы:
Пример.
, а постоянная интегрирования С – произвольное число,
Несколько примеров интегралов, не выражающихся через
элементарные функции
21
, где Р(х)-
1)
dxe
x
2
dxxdxx
22
cos;sin
xdxln
dx
x
e
x
dx
x
xsin
dx
x
x
cos
S
n
i
ii
xm
1
S
n
i
ii
xM
1
- интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский
математик (1781-1840))
2)
- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель –
французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
3)
4)
5)
6)
- интегральный логарифм
- приводится к интегральному логарифму
- интегральный синус
- интегральный косинус
Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
m
0 a xi b x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на
отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – x
= xn;
n-1
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее
значение функции.
[x0, x1] m1, M1; [x1, x2] m2, M
; … [x
2
, xn] mn, Mn.
n-1
Составим суммы:
= m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
n
= M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =
n
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S –
верхней интегральной суммой.
22
Т.к. mi Mi, то
S
S
S
S
n
i
ii
xf1)(
n
i
ii
n
i
n
i
iiii
xMxfxm
11 1
)(
nnn
SSS
n
i
iin
xfS
1
)(
.)(lim
1
0max
Sxf
n
i
ii
x
i
n
i
iin
xfS
1
)(
.)(
b
a
dxxf
n
i
ii
x
xf
i
1
0max
)(lim
,)(
b
a
dxxf
b
a
n
i
ii
x
dxxfxm
i
)(lim
1
0max
b
a
n
i
ii
x
dxxfxM
i
)(lim
1
0max
n
, а m(b – a)
n
n
M(b – a)
n
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , x
< < xn.
n-1
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое
называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
Тогда можно записать: m
Следовательно,
xi f(
i
)xi M
i
x
i
i
Геометрически это представляется следующим образом: график
функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу –
вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi –
наименьший. Если maxx
0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b]
i
стремится к бесконечности.
Если
, то
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что
maxx
0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма
i
стремится к пределу S, который называется определенным
интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение :
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b]
– отрезок интегрирования.
Определение: Если для функции f(x) существует предел
то функция называется интегрируемой на отрезке
[a, b].
Также верны утверждения:
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она
интегрируема на этом отрезке.
23
Свойства определенного интеграла
;)()(
b
a
b
a
dxxfAdxxAf
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf )()())()((
2121
0)(
a
a
dxxf
b
a
b
a
dxxdxxf )()(
b
a
abMdxxfabm )()()(
)()()(
fabdxxf
b
a
Mdxxf
ab
m
b
a
)(
1
b
a
dxxfab)(
1
)()()(
fabdxxf
b
a
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b
a
b
a
dxxfdxxxf )()()()(
1)
2)
3)
4) Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции f(x) на отрезке [a, b], то:
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
на этом отрезке существует точка такая, что
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом
отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число
[a, b], что если
и = f(), а a b, тогда
. Теорема
доказана.
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из
входящих в него интегралов.
8)
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x)
непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на
этом отрезке существует точка , такая, что
24
Вычисление определенного интеграла
b
a
dxxf )(
x
a
dttf )(
)()( xfdttf
dx
d
x
a
b
a
aFbFdxxf )()()(
b
a
b
a
dxxf )(
Пусть в интеграле
нижний предел а = const, а верхний предел b
изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и
значение интеграла.
Обозначим
= Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по
переменному верхнему пределу х.
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного
нижнего предела.
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b],
существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует
неопределенный интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной
функции f(x), то
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x)
.
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к
нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они
практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые
были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной),
метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных
для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций.
Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо
распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но
и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не
забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных
Пусть задан интеграл
, где f(x) – непрерывная функция на
отрезке [a, b].
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).
25
Тогда если
b
a
dtttfdxxf )()]([)(
)()()]([)]([)]([)()]([ aFbFFFtFdtttf
.
4
sin
4
1
4
2sin
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
coscossin1
2/;0
;sin
1
2/
0
2/
0
2/
0
2
2/
0
2
1
0
2
tt
dtttdttdtt
tx
dxx
0
0
xdx
0
1)1(coscossin
0
0
2
0
22
0
22
0
t
dt
ttgx
xtgx
dx
xx
dx
dx
.
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
1) () = а, () = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]
3) f((t)) определена на отрезке [, ], то
Тогда
Пример.
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о
том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin)
должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае
формальное применение формулы приводит к абсурду.
Пример.
, с другой стороны, если применить тригонометрическую
подстановку,
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это
произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная
tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в
данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в
определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением
перечисленных выше условий.
Интегрирование по частям
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также
непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула
интегрирования по частям:
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы
интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был
весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
26
Несобственные интегралы
b
a
b
dxxf )(lim
a
b
a
b
dxxfdxxf )()(lim
b
a
a
b
dxxfdxxf )(lim)(
c
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
bbxxdxxdx
bb
b
b
b
b
sinlim)0sin(sinlimsinlimcoslimcos
0
00
1
1
1lim
1
limlim
1
1
2
1
2
bx
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b
)()(0 xxf
a
dxx)(
a
dxxf )(
a
dxx)(
a
dxxf )(
)()(0 xfx
a
dxx)(
a
dxxf )(
a
dxxf )(
a
dxxf )(
a
dxxf )(
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда
она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение: Если существует конечный предел
, то этот
предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на
интервале [a, ).
Обозначение:
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что
несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл
расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных
интегралов вида:
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы
существуют.
Пример.
- не существует.
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
- интеграл сходится
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие
интеграл
сходится, то
тоже сходится и
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие
интеграл
Теорема: Если
В этом случае интеграл
расходится, то
сходится, то сходится и интеграл
тоже расходится.
называется абсолютно сходящимся.
и
.
и
.
27
Интеграл от разрывной функции
b
a
cb
c
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
b
a
dxxf )(
c
a
dxxf )(
b
a
dxxf )(
c
a
dxxf )(
c
b
ab
c
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
с
a
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
b
a
dxxfS )(
Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то
Если интеграл
интеграл
не существует, то
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то
существует, то интеграл
- расходится.
- сходится, если
.
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
Таких точек внутри отрезка может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный
интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
у
+ +
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x).
Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак ““, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак
“+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула
.
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с
помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x, y = x2, x = 2.
28
Искомая площадь может быть найдена по формуле:
6
5
2
1
3
1
2
4
3
8
23
2
1
23
2
1
2
1
2
xx
xdxdxxS
dfS )(
2
1
2
n
i
in
SS
1
n
i
i
S
SS
i
1
0max
lim
i
i
i
iii
x
x
y
yxS
2
22
1
2
(ед
)
Нахождение площади криволинейного сектора
= f()
О
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную
систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой
системе координат, имеет вид = f(), где - длина радиус – вектора,
соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона
этого радиус – вектора к полярной оси.
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по
формуле
Вычисление длины дуги кривой
y y = f(x)
Si yi
xi
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как
.
Тогда длина дуги равна
Из геометрических соображений:
.
29
В то же время
i
ii
i
i
x
xfxf
x
y
)()(
1
b
a
n
i
i
x
dx
dx
dy
SS
i
2
1
0max
1lim
b
a
dxxfS
2
)(1
dtttS
22
)()(
dttZttS
222
)()()(
dS
22
22
xry
22
xr
x
y
2
arcsin1
4
1
0
0
22
0
22
2
r
r
x
rdx
xr
r
dx
xr
x
S
r
rr
0
)(
d
df
rdrdrS
20
2
0
2
0
2
Тогда можно показать, что
Т.е.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил
вычисления производной параметрически заданной функции, получаем
, где х = (t) и у = (t).
Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
, = f().
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ. Выразим из уравнения переменную у.
Найдем производную
Тогда
Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе
координат, то получим: r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция = f() = r,
тогда
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]