Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
РЕШЕНИЕ. В нашем примере 0,02
A
B
A
0,02 100 2
ражением (6.30):
(100) 0,13534.Re e
, тогда воспользуемся вы-
Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения
практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:
Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью
не зависит от времени предшествующей работы
t
до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени
(при заданной интенсивности отказов).
t
Докажем это свойство, введя следующие обозначения:
стью
безотказная работа элемента на интервале
.t
0
безотказная работа элемента на интервале
(0, )t
(, )tt t
00
длительно-
0
длительно-
стью t.
Тогда событие
на интервале
(0, )tt
B состоит в том, что элемент безотказно работает
0
длительностью
Найдем вероятности этих
.tt
0
событий по формуле (6.30), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:
t
() , () ,
PA e PB e
() .
PAB e e e
0
()
tt t
00
t
(6.31)
t
Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать
безотказно на интервале времени
(, )tt t
00
при условии, что он уже
проработал безотказно на предшествующем интервале времени:
t
()
(/) .
PB A e
PAB e e
()
PA
0
e
Мы видим, что полученная формула не зависит от
t
t
0
t
(6.32)
а только от t.
,t
0
Сравнивая выражения (6.31) и (6.32), можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.
Итак, в случае показательного закона надежности безотказная
работа элемента «в прошлом» не сказывается на
величине вероятно-
сти его безотказной работы «в ближайшем будущем».
6.4.РаспределениеПарето
В практических задачах встречаются так называемые усеченные
распределения, у которых из общего множества значений СВ устранены
значения, большие или меньшие некоторого порогового уровня С
0
.
81
В частности, такое распределение будет иметь заработная плата работ-
f
ника при условии, что ее значение не может быть меньше некоторой заданной величины.
Распределением Парето называется такое распределение, для которого функция и плотность распределения вероятностей имеют вид:
C
Fx
1,
C
xxC
Cx
0
0
0
x
1
, 0, .
(6.33)
0
(6.34)
Очевидно, плотность распределения вероятности монотонно убывает,
выходя из точки
(, / ).CC
00
Вычислим математическое ожидание такой случайной величины
1
Mx x dx C x dx
CC C
00 0
x
CC
00
1
11
C
0
C
Cx
0
0
1
1
(1)
x
C
0
(6.35)
, 1.
0
Соответственно для дисперсии получим выражение
Dx x dx x
22
C
0
C
Cx
0
2
12
1
0
1
()
(6.36)
2
C
0 ,
2.
ПРИМЕР 6. Заработная плата работника фирмы ограничена нижним пределом в размере 10000 руб. и подчиняется закону Парето
(x – заработная плата в тысячах руб., 3
). Необходимо записать
плотность распределения СВ X, найти математическое ожидание уровня
заработной платы и ее среднее квадратическое отклонение.
РЕШЕНИЕ. Учитывая (6.34), получим
310
fx x
10
4
, 10, 3.
x
Используя выражения (6.35) и (6.36), вычислим:
3 10 / 2 15, 3 10 / 2 1 75, 8,66.Mx Dx
22
82
Глава7
x
x
x
D
D
ЗАКОНБОЛЬШИХЧИСЕЛ
Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубоких времен. В какой бы области оно не проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. Именно эта устойчивость средних и
представляет собой физическое содержание
нимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случай-
ных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых при
ных условий устанавливается факт приближения средних характеристик
большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Различные формы закона больших чисел вместе с различными
формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так
называемых
предельных теорем теории вероятностей.
Предельные теоремы дают возможность не только осуществить научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность
этих прогнозов.
закона больших чисел, по-
соблюдении определен-
7.1.НеравенствоЧебышева
Имеется случайная величина (СВ)
бышева утверждает, что каково бы ни было положительное число ,
роятность того, что СВ
дания не меньше, чем на
X отклонится от своего математического ожи-
,
ограничена сверху величиной
().
P
Χm
x
(7.1)
2
Доказательство. Рассмотрим доказательство для непрерывной СВ X.
По определению известно, что
()().
PX m xdx
x
Xm
x
Вспомним определение дисперсии СВ X:
()() ()().
xm xdx xm xdx
xx x
22
Xm
x
83
Неравенство Че-
,.
x
2
:
/
D
(7.2)
(7.3)
ве-
Проиллюстрируем выражение (7.3) рисунком:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Рис. 7.1. Отрезок интегрирования
В выражении (7.3)
xm
x
ся на внешней части отрезка АВ. Если в (7.3) принять, что
означает, что интегрирование ведет-
xm
(отметим, что неравенство при этом только усиливается), получим:
DxdxPXm
22
xx
Xm
() (| | ).
x
(7.4)
Итак, неравенство Чебышева доказано. Неравенство Чебышева дает грубую оценку сверху и утверждает, что для любой случайной величины Х вероятность того, что она отклонится на
2
.
дисперсия, деленная на
ПРИМЕР 1. Дана СВ
ность того, что X отклонится от
XmD
,
xx
не меньше, чем на 3.
m
2
. Оценим сверху вероят-
от
, меньше, чем
m
РЕШЕНИЕ. Согласно неравенству Чебышева запишем
PX m
(| | 3 )
xx
D
9
1
x
2
.
9
Известно, что для случайной величины, распределенной по нор-
мальному закону,
(| | 3 ) 0, 003.
PX m
x
7.2.ТеоремаЧебышева
Пусть имеется СВ
независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех на-
n
блюденных значений случайной величины Х. Необходимо найти характеристики среднего арифметического – математическое ожидание и
дисперсию. В результате первого опыта СВ X приняла значение
втором опыте –
..., в n-м опыте –
,
2
Рассмотрим среднее арифметическое этих значений:
Yx
СВ Y линейная функция независимых случайных величин
,,.
1
x
Определим:
n
Над этой величиной производится
,.
x
.
n
n
1
n
84
.
(7.5)
i
1
i
, во
1
n
X
X
x
x
mMY Mx nmm
Yixx
[] [ ] ,
DDx
Yi
11
(7.6)
nn
i
1
n
1
2
n
[] .
1
i
D
x
nn
2
(7.7)
Таким образом,
не зависит от числа опытов (п), а дисперсия при
m
Y
больших п может стать сколь угодно малой, то есть СВ Y ведет себя почти не как случайная. Это свойство и устанавливает теорема Чебышева.
При достаточно большом числе независимых опытов среднее
арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится
по вероятности к ее
Говорят, что СВ
при увеличении
математическому ожиданию.
сходится по вероятности к величине a, если
n
n вероятность того, что
и a будут сколь угодно
n
близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при
достаточно большом n
где
PX a
и
– произвольно малые положительные числа. Запишем анало-
n
(7.8)
(| | ) 1 ,
гично теорему Чебышева:
n
Доказательство. Ранее было показано, что для
1
(| | ) 1 .
Pxm
n
ix
i
1
(7.9)
n
1
Yxmm
n
,,
iY x
1
i
D
.
D
Y
выполнялось неравенство:
Применим к СВ Y неравенство Чебышева:
n
D
(| | ) .
PY m
Как бы ни было мало
, всегда можно взять такое большое n, чтобы
D
x
n
Y
2
, где
Y
22
D
(7.10)
n
сколь угодно малое число.
Тогда получим:
n
1
Pxm
n
ix
1
i
(7.11)
.
Запишем вероятность события противоположного (7.11)
n
1
Pxm
n
ix
i
1
1.
(7.12)
Что и требовалось доказать.
85
7.3.ОбобщеннаятеоремаЧебышева
L
L
Пусть X1, X2, …, Xn – независимые случайные величины с соответствующими математическими ожиданиями и дисперсиями: X
X
m
2
одним и тем же числом L, таким, что D
x
, D
2
; …; X
x
2
m
n
x
, D
n
. Eсли все дисперсии ограничены сверху
x
n
< L (i = 1, 2, …, n), то при воз-
i
x
m
1
, D
x
x
1
1
растании n среднее арифметическое наблюденных значений величин
X
, X2, …, Xn сходится по вероятности к среднему арифметическому их
1
математических ожиданий:
nn
Xm
P
ix
11
ii
i
nn
1.
(7.13)
n
Доказательство. Рассмотрим СВ
характеристиками:
mmD D
11
YxY x
n
ii
nn
,.
ii
11
1
YX
n
i
2
n
с соответствующими
i
1
Применим к СВ Y
неравенство Чебышева
D
Y
PY m
(| | )
Y
, или
2
;
nn
Xm
P
ix
ii
11
i
nn
Как бы ни было мало
няться неравенство
2
n
P
, можно так выбрать n, что будет выпол-
. Тогда получим:
nn
Xm
ix
11
ii
i
nn
Перейдем к противоположному событию:
nn
Xm
P
ix
11
ii
i
nn
Что и требовалось доказать.
n
.
1.
.
(7.14)
2
(7.15)
(7.16)
86
7.4.ТеоремаМаркова
X
X
D
A
A
p
Если имеются зависимые СВ
справедливо соотношение
наблюденных значений СВ
n
[]
DX
i
i
1
2
n
,,,
XX
12
,,,
XX
12
0,
то среднее арифметическое
сходится по вероятности к
n
и если при n
n
среднему арифметическому их математических ожиданий.
1
Доказательство. Рассмотрим величину
YXD
n
1
n
точно большом n справедливо
n
DX
[].
2
i
1
Применим к величине Y неравенство Чебышева:
i
(| | ) .
PY m
Y
Так как по условию теоремы при
(| | ) ,
PY m
Y
2
nD
Y
то при доста-
0,
Y
или переходя к про-
тивоположному событию:
nn
Xm
PY m P
Y
(| | ) 1 .
ix
ii
11
i
nn
n
i
iY
1
(7.17)
Что и требовалось доказать.
7.5.ТеоремаБернулли
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых
может произойти или не произойти событие A, вероятность которого в
каждом опыте равна p. Теорема Бернулли утверждает, что при неогра-
ниченном увеличении числа опытов n частота события
вероятности к его вероятности p.
Обозначим частоту события
в n опытах через
теорему Бернулли в виде формулы:
где
(| | ) 1 ,Pp p
и δ – сколько угодные малые положительные числа. Требуется
(7.18)
*
доказать неравенство (7.18) при достаточно большом n.
87
сходится по
*
и запишем
Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины:
X
x
X
p
x
X
M
M
число появления события A в первом опыте;
1
число появления события A во втором опыте;
X
2
..........................................................................................
Все эти величины дискретные и имеют один и тот же закон распределения, выраженный рядом распределения:
x
i
0
1
pi q p
Здесь
1.qp
не что иное, как среднее арифметическое величин
n
1
есть
*
X
n
i
1
вероятности к общему математическому ожиданию
Нетрудно показать, что
Тогда, согласно закону больших чисел, p* сходится по
.
i
mpDpq
,.
x
,,,,
12
этих величин.
m
Частота p*
XX
n
то
7.6.Центральнаяпредельнаятеорема
Закон больших чисел устанавливает факт приближения средних
большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но
этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате
суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно – к нормальному закону распределения.
Центральная предельная теорема представляет собой группу
теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает
нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место
принадлежит теореме Ляпунова.
Теорема Ляпунова. Если
, , ,
XX
12
величины, у каждой из которых существует математическое ожидание
Xa
ii
дисперсия
,
мент третьего порядка
DX
ii
Xa m
ii i
lim 0
n
2
абсолютный центральный мо-
i
,
3
n
m
i
1
i
3/2
2
n
i
1
– независимые случайные
n
и
, (7.19)
то закон распределения суммы
YXX X
12nn
при n неог-
раниченно приближается к нормальному закону с математическим
ожиданием
n
a
и дисперсией
i
1
i
n
2
.
i
1
i
Теорему примем без доказательства.
88
n
X
M
M
Z
Смысл условия (7.19) состоит в том, чтобы в сумме
было слагаемых, влияние которых на рассеяние
подавляюще велико
Y
n
YX
ni
i
не
1
по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть
большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по
сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный
вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при
увеличении числа слагаемых.
Следствие. Если
, , ,
XX
12
– независимые случайные величи-
n
ны, у которых существуют равные математические ожидания
дисперсии
Xa
i
,
ты третьего порядка
пределения суммы
YXX X
DX
i
Xa mi n
12nn
2
и абсолютные центральные момен-
3
ii i
1, 2 , , ,
то закон рас-
при n неограниченно при-
ближается к нормальному закону.
Замечание. Опираясь на центральную предельную теорему, можно утвер-
ждать, что рассмотренные нами ранее случайные величины, имеющие законы
2
распределения (биномиальный, Пуассона, равномерный,
(«хи-квадрат»),
t (Стьюдента)), при
n распределены асимптотически нормально.
ПРИМЕР 2. Определить вероятность того, что средняя продолжительность 100 производственных операций окажется в пределах от 46 до
49 с, если математическое ожидание одной операции равно 47,4 с, а
среднее квадратичное отклонение – 4,9 с.
РЕШЕНИЕ. В этой задаче X
производственной операции,
n
1
X
n
i
1
Xn
, 100.
i
Здесь
средняя продолжительность 100 наугад
X
взятых производственных операций, причем
222
/4,9/100 c.n
46 49 2,857 3,265
PX P P Z
**
3,265 2,857 1 0,9973.
Теперь вычислим соответствующую вероятность
1, 4 47 , 4 1, 6
0, 49 0, 49 0, 49
X
продолжительность наугад взятой
47,4 c, aMX
[] 4,9 c,DX
DX
47,4 c, MX
При решении задачи на основании следствия из теоремы Ляпунова
распределение центрированного и нормированного среднего
( 47, 4) / 0,49 X
приближенно заменено на распределение стандарт-
ной нормальной случайной величины
89
~(0, 1)
N
.
Раздел2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯСТАТИСТИКА
Глава8
ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯИЗАДАЧИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Математическая статистика – это наука, изучающая методы сбо-
ра, систематизации и интерпретации числовых (случайных) данных.
В этом определении интерпретация и систематизация данных рассматривается как существенный аспект.
Главная цель статистики – получение осмысленных заключений
из несогласованных (подверженных разбросу) данных.
Действительно, исключая тривиальные ситуации, реальные данные
всегда являются несогласованными, что требует применения статистических методов. Рассогласованность (разброс) между индивидуальными
наблюдениями может быть, например, обусловлена ошибкой при считывании позиции стрелки прибора, когда она расположена между двумя
делениями шкалы стрелочного прибора. Изменчивость может быть
же следствием нестабильности работы электронного оборудования при
передаче сообщений по радио или телеграфу. (В последнем случае для
характеристики ситуации используется термин «шум»).
Чем же конкретно занимается математическая статистика?
Какие задачи решает?
так-
1. Выборочные распределения
Статистика должна получить свои выводы, используя наличную
выборку. Каждое наблюдение является реализацией некоторой случайной величины. Известно множество значений, которые может принимать случайная величина; некоторые из них имеют большую возможность появления, чем другие.
Значение, которое наблюдалось, представляет собой
Вероятности возможных реализаций характеризуются
вероятностей случайных величин
ления вероятностей бывают заданы с точностью до одного, двух параметров значений некоторых неизвестных. Это приводит к проблеме поиска таких комбинаций выборочных значений, которые бы давали наилучшее приближение для неизвестных параметров. Каждая такая комбинация и есть статистика. Выборочное распределение статистики по-
(СВ). Обычно функции распреде-
90
реализацию.
распределением
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]