Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
По формуле Байеса найдем условную вероятность гипотезы Н1:
H
0,4 0,95
PH A
/0,475.
1
0,4 0,95 0,6 0, 7
ПРИМЕР 11. В урне находятся три шара белого и черного цвета,
причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате
испытания из урны извлекли один шар.
содержимом урны до испытания и укажите их вероятности.
а) Сформулируйте гипотезы о
b) Найдите
вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.
РЕШЕНИЕ.
а) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и рав-
новероятных гипотезы:
в урне 3 белых и 0 черных шара;
1
H в урне 2 белых и 1 черный шар;
2
в урне 1 белый и 2 черных шара;
H
3
H в урне 0 белых и 3 черных шара.
4
1234
b) Так как извлечен белый шар – событие
14.PH PH PH PH
A
, то условные вероятно-
сти этого события соответственно равны:
( / ) 2 / 3, ( / ) 1. PA H PA H По формуле Байеса вычислим:
21
1
1
( / ) , ( / ) ,
PH A PH A
12
4
121
1
433
11
23
( / ) 0, ( / ) 1/ 3, PA H PA H
43
12
43
121
(1 )
433
11
( / ) , ( / ) 0.
PH A PH A
34
43
121
1
433
1
6
ПРИМЕР 12. Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила
15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны:
0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным
. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй ор-
ганизации?
31
РЕШЕНИЕ. Пусть
ру отчета первой, второй или третьей организации. Вероятности этих
гипотез соответственно равны:
, , HH H гипотезы, соответствующие выбо-
123
По формуле полной вероятности вычислим вероятность события:
A
выбран правильно оформленный отчет
По формуле Байеса вычислим искомую вероятность:
Формула Байеса (2.15) называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся
априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.
15/50, 10/50, 25/50.PH PH PH
123
0,9 15 / 50 0,8 10 / 50 0,85 25 / 50 0,855.PA
( / ) 0, 2 0,8 / 0,855 0,19.PH A
2
32
Глава3
ПОВТОРЕНИЕИСПЫТАНИЙ
3.1.СхемаБернулли
Если производится несколько испытаний (опытов), причем веро-
A
ятность события
гих испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события
В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из
висимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступление какого-то события
в каждом испытании не зависит от исходов дру-
A
.
n неза-
A
(успех) или его ненаступление A (неуда-
ча). Причем вероятность успеха при одном испытании равна
(0 1)p
но, вероятность неуспеха
Сформулируем задачу – вычислить вероятность того, что при
испытаниях событие
осуществится
По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:
Однако интересующее нас событие (k успехов при n опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов
(комбинаций) выборки
– постоянна и не зависит от номера испытания. Следователь-
A
осуществится ровно k раз и, следовательно, не
– nk раз (см. рис.):
Ppp pqq qpq
k элементов из n вычисляется по формуле (1.5):
1PA p q
тоже постоянна.
knk
.
,PA p
n
(3.1)
Окончательно получим:
Pk C p q
nn
k
C
n
knk
kknk
!
n
!!
33
.
knk
!
npq
!!
knk
.
(3.2)
Это и есть формула Бернулли (биномиальное распределение).
p
Вспомним формулу бинома Ньютона:
k
n
kknk
n
0
.
(3.3)
pq C p q
n
Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (3.2), следует:
n
Pk
0
n
k
1.
(3.4)
Очевидно этот же результат получится, если учтем, что для
0, 1 , 2, , kn получим полную группу событий, вероятность кото-
рых равна 1.
ПРИМЕР 1. В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения
мальчика равна 0,5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, ...,
10 мальчиков.
РЕШЕНИЕ. Отметим, что в силу предположения 0, 5
венства
CC
mmn
nn
имеют место равенства:
q и ра-
Pm Pn m
nn
Отсюда
.
получим:
11
5
2
0
10
2
110
1
10
2
145
2
10
2
1 120
3
10
2
1210
4
10
2
1 252
10
1024
1024
1024
1024
1024
1024
PP C
010 ,
10 10 10
PPC
19 ,
10 10 10
PPC
28 ,
10 10 10
PPC
37 ,
10 10 10
PPC
46 ,
10 10 10
PC
5.
10 10
В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет
поровну с вероятностью ~ 0,25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.
Введем следующее обозначение, пусть
Pm k m
12
n
означает
()
вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит
34
не менее чем 1m раз и не более чем 2m раз
P
p
(0 )mm n
. Так как со-
12
бытия, соответствующие различному числу успехов, попарно несовместны, то имеет место формула:
m
2
mkm Pk
nn
12
(3.5)
km
1
.
Вероятность (1 )
Pmn того, что в результате n испытаний, ус-
n
пех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:
1101.
Pkn P q
nn
n
(3.6)
Типичный график биномиального распределения приведен на
рис. 3.1 для 0,5; 20.
Сформулируем задачу: необходимо найти
число успехов, то есть такое
n
k наивероятнейшее
0
k , вероятность которого максимальна.
0
Запишем условия максимума вероятности:
()
Pk
0
n
) 1;
a
(1)
Pk
0
n
) 1.
b
()
Pk
0
n
(1)
Pk
0
n
Запишем неравенства )a и )b в явном виде:
knk
()
Pk
0
)
a
n
(1) ! ! !
Pk k n k n
000
n
!
npq
(1)
nk p
kq
1!( 1)
knk
00
0
0
1,
00
11
knk
00
pq
;knpp
0
()
Pk
0
)
b
n
(1) ! ! !
Pk k n k n
000
n
!
npq
(1)
kq
()
nkp
0
1!( 1)
knk
00
0
0
1,
.knpq
Учитывая оба неравенства, окончательно получим:
0
35
knk
00
11
knk
00
pq
.np q k np p
(3.7)
Рис. 3.1. График вероятностей биномиального распределения
(p = 0,5; n = 20)
В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является
единственное число
два числа
0
0
knpp
и
0
При достаточно большом числе испытаний
k
0
(3.7) получим
p
При больших значениях
(статистическое определение вероятности).
n
n
наиболее вероятная относительная час-
, knpp
если число
1 knpp
, если число
np p
()n
нецелое;
np p
целое.
из выражения
тота успеха совпадает с вероятностью успеха при одном испытании.
ПРИМЕР 2. Вероятность того, что расход электроэнергии на про-
должении одних суток не превышает установленной нормы, равна
0,75p
. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход
электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
РЕШЕНИЕ. Вероятность нормального расхода
0, 25q
ность перерасхода
PCpq
66
40,3.
. Искомая вероятность по формуле Бернулли:
6! 0,75 0,25
442
4! 2!
36
42
0,75p
. Вероят-
3.1.1.ОбобщениесхемыБернулли
A
j
A
j
p
A
A
A
p
Рассмотрим обобщение схемы Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, каждое из которых имеет
вместных и возможных исходов, которые обозначим
m ( 2)m попарно несо-
1, 2, , .
jm
j
События
ления каждого события
творяют условию
отрицательных чисел
(, , , )
Pk k k
12
nm
k раз, исход
1
составляют полную группу событий. Вероятности наступ-
PA в общем случае различны и удовле-
m
1.
p
Тогда для произвольно заданных целых не-
j
j
1
k таких, что
i
того, что при n испытаниях исход
k
22
Pkk k pp p
nm m
раз и т. д., исход
, , , .
12
j
m
kn
i
i
1
произойдет
m
!
n
!! !
kk k
12
m
определим вероятность
,
наступит ровно
1
k раз:
m
kk
12
12
k
m
(3.8)
Выражение (3.8) называется формулой полиномиального распре-
деления
.
ПРИМЕР 3. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова веро-
ятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?
РЕШЕНИЕ. Вероятности выпадения шестерки и единицы равны
1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна
4/6. Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других
значения чисел равна:
15! 1 1 4
10, 3, 2 1, 022 10 .
P
15
10!3!2! 6
10 3
66
2
6
3.2.ТеоремаПуассона(Законредкихсобытий)
Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравнительно
небольшом числе испытаний
этой формулой затруднительно. Еще большая проблема возникает, если в
схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность успеха мала.
Пусть , 0
np , так что 0.
n
0 k вероятность получить k успехов в n испытаниях схемы Бернул-
ли с вероятностью успеха
n. При больших значениях n пользоваться
np
Тогда для любого
n
k
стремится к величине
n
37
e
:
k
!
!
p
P
x
x
nk
Pk Cp p
nn
kk
11
kk
!!
knnk
nnk
!
n
k
11 .
!
n
!!
knk n n
nk
knk
(3.9)
e
При решении конкретных задач понятия «число испытаний велико» и «вероятность успеха мала» субъективны. При более строгом подходе воспользуемся оценкой погрешности формулы Пуассона:
nk
kk
Cp p e np
n
1.
k
!
kn
2
2
(3.10)
ПРИМЕР 4. На предприятии изготовлено и отправлено заказчику
100 000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться
битой, равна 0,0001. Какова вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три битых бутылки?
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Пуассона, учитывая, что
100 000, 0,0001, 10:np np
10
e
P
100 000
3 10 0,007567.
3
3!
По формуле (3.10) вычислим погрешность, которая не превышает
0,001, таким образом, искомая вероятность не превысит 0,008567.
3.3.ЛокальнаятеоремаМуавра–Лапласа
Несмотря на элементарность формулы Бернулли
Pk Cpq
nn
при большом числе испытаний n непосредственное вычисление по ней
связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Разрешить эту проблему поможет
локальная теорема Муавра–Лапласа:
Если вероятностьp наступления события A в каждом испыта-
нии постоянна и отлична от 0 и 1 (0 1)
того, что событие
A
произойдет k раз в n независимых испытаниях
, то вероятность ()
при достаточно большом числе n, приближенно равна
1
kx
n
,
(3.11)
npq
2
где
1
2
e
, .
2
knp
x
(3.12)
npq
kknk
,
Pk
n
38
Данная формула (теорема) тем точнее, чем .n Вычисление по
x
x
x
p
p
этой формуле дает незначительную погрешность уже при выполнении
условия 20.npq Функция
свойствами:
1)
функция
функция
2)
значениях x, причем при
при
3)
ПРИМЕР 5. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют
автомобили. Какова вероятность того, что из 400 семей у 300 имеются
автомобили?
РЕШЕНИЕ. Вероятность того, что в семье имеется автомобиль,
равна 80 /100 0,8.
рему Муавра–Лапласа:
Так как 400n
400 0,8 0,2 64 20npq выполнено), то применим локальную тео-
4 0,0001.xx
является четной, то есть
– монотонно убывающая при положительных
300 400 0,8
x
табулирована и обладает следующими
;xx
0;xx
достаточно велико (условие
400 0,8 0,2
2,50;
P
Замечание. Значение функции
статистических таблиц
300 0,0022.
400
.
400 0,8 0,2
2,50
0,0175
8
получено из соответствующих
2,50
3.4.ИнтегральнаятеоремаМуавра–Лапласа
Пусть в условиях ПРИМЕРА 5 необходимо найти вероятность того,
что от 300 до 360 семей (включительно) имеют автомобили. Тогда по
теореме сложения вероятностей событий, и учитывая (3.5), получим:
300 360 300 301 360 .PkP P P
400 400 400 400
В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной
формуле Муавра–Лапласа, но большое количество слагаемых делает
расчет очень трудоемким. В таких случаях справедлива
теорема Муавра–Лапласа
Если вероятность
нии постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k
наступления события
делах от
m
до
1
:
наступления события A в каждом испыта-
A
в n независимых испытаниях заключено в пре-
(включительно) при достаточно большом числе n,
m
2
интегральная
39
приближенно равна
P
x
x
x
x
x
x
1
2
2
где
m
2
mkm Cpq edx
nn
12
mnp m np
12
; .
kknk
m
1
2
x
npq npq
Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):
2
t
x
Φ,
0
обладающая следующими свойствами:
1)
2)
() 0,5x
0
функция
функция
(практически можно считать, что уже при
Φ
Φ
нечетная, то есть
0
– монотонно возрастающая, причем при
0
Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:
Pm k m e dx
n
12 00
1
2
2
1
2
edt
0
ΦΦ
2
x
2
(3.14)
00
ΦΦ.
;
x
4(4)0,5
).
(3.13)
,
0
(3.15)
Интегральная формула, как и локальная, тем точнее, чем больше n .
20npq
При условии
интегральная формула (3.15) дает незначитель-
ную погрешность вычисления вероятностей.
ПРИМЕР 6. По данным ПРИМЕРА 5 вычислим вероятность того,
что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют автомобили.
РЕШЕНИЕ. Применим интегральную теорему Муавра–Лапласа
( 64 20).npq
300 360 5,0 2,50 5,0 2,50 0,9938.Pk
400 0 0 0 0
300 400 0,8 360 400 0,8
400 0,8 0, 2 400 0,8 0,2
2,50; 5,0.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]