Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:
2
x
xdx
4
1
.
P
2
()
0
43
21
Глава2
A
P
A
A
A
A
A
A
A
P
A
A
A
A
A
A
A
ОСНОВНЫЕТЕОРЕМЫТЕОРИИВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1.Теоремасложениявероятностейнесовместныхсобытий
Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных со-
бытий
, , ,
AA
12
равна сумме вероятностей этих событий:
n
i
n
1
.
(2.1)
n
APA
ii
1
i
Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух не-
совместных событий
Пусть событию
событию
m исходов. Так как события
22
несовместны, то событию
и
1
благоприятствуют 1m элементарных исходов, а
1
.
2
A
12
1
и
по условию теоремы
2
благоприятствуют
mm
12
элемен-
тарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,
mm m m
A A PA PA
12 1 2
12 1 2
,
nnn
где
попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их
сумма – событие достоверное, а вероятность достоверного события
равна 1.
()PA и
Следствие 1. Если события
Это следствие очевидно, если вспомнить, что события
PA соответственно вероятности событий
1
2
образуют полную группу
n
1
. (2.2)
n
PA
1
i
, , ,
AA
12
i
и
1
, , ,
AA
12
Противоположными событиями называются два несовместных
.
2
n
события, составляющие (образующие) полную группу
и A.
Примеры противоположных событий:
1.
2.
попадание при выстреле;
при бросании кубика выпала шестерка; C при бросании
C
промах при выстреле.
кубика шестерка не выпала.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
1.PA PA
22
(2.3)
ПРИМЕР 1. Для отправки груза со склада может быть выделена
A
A
A
A
A
P
A
A
P
P
одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения
каждой машины:
РЕШЕНИЕ. Так как выделение одновременно двух машин – невозможное событие, то по формуле (2.1) вероятность прибытия к складу
хотя бы одной из этих машин будет равна:
ПРИМЕР 2. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает
выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50
билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов – выигрыши по 5 рублей, остальные билеты – невыигрышные. Некто покупает один билет.
Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.
РЕШЕНИЕ. Обозначим события:
лей,
500 рублей.
справедливо выражение:
выигрыш 20 рублей,
1
Очевидно, что события
По теореме сложения вероятностей:
123
0,2PA ,
1
12
2
, ,
123
AA A.
123
0,4.PA
2
0, 2 0, 4 0, 6.PA A
выигрыш 100 рублей,
AA попарно несовместны, причем
A
выигрыш не менее 20 руб-
выигрыш
3
0,050 0,010 0,001 0,061.PA PA PA PA
2.2.Теоремасложениявероятностейсовместныхсобытий
Как было указано выше, теорема сложения вероятностей
справедлива только для несовместных событий. В случае, когда два
события А и В совместны, справедлива следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления:
Доказательство. Событие
трех несовместных событий:
ностей несовместных событий (2.1) имеем:
Событие
бытий:
A
произойдет, если наступит одно из двух несовместных со-
,
BAB
,PAB откуда
. Вновь применяя терему (2.1), получим
A B PA PB PAB (2.4)
AB
, , .
BABAB
AB PA PAB
наступит, если наступит одно из
По теореме сложения вероят-
.
.
(2.5)
.PA B PAB PAB PAB
APAB
(2.6)
23
Аналогично для события В:
P
PB PAB PAB
, откуда
Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим выражение (2.4), теорема
доказана.
Как несложно заметить, формула (2.1) является частным случаем
выражения (2.4). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.
Аналогично выражению (2.4) запишем вероятность суммы трех совместных событий:
PA B C PA PB PC
.PAB PB PAB
(2.7)
(2.8)
P AB P AC P BC P ABC
Справедливость формул (2.4) и (2.8) наглядно иллюстрируется рисунками:
Из выражения (2.4) можно получить формулу для вероятности
произведения двух событий. Действительно:
А AB
В
А
АС
AC ABC BC
C
.
В
АВ
AB P A P B P A B
ПРИМЕР 3. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность
появления хотя бы одной шестерки?
РЕШЕНИЕ. Обозначим события:
B
вой кости,
т. е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.
a) Для вычислений воспользуемся формулой (2.4). Однако здесь
возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т. е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По
формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций
на второй кости. Понятно, что эти события совместные,
(2.9)
A
появление шестерки на пер-
24
.
равно 1, а число всех равновозможных комбинаций вычислим по прави-
A
A
A
A
A
A
P
лу произведения (комбинаторика):
PA B
b) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следст-
вием закона сложения вероятностей:
PA B PA B PAB
111.
111111
666636
.
55 11
66 36
2.3.Независимостьсобытий
Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем
одно важное понятие – понятие о зависимых и независимых событиях.
Событие
ность события
Событие
ность события
B
тие
второй монете.
событие
последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну.
Рассмотрим события:
или нет.
ПРИМЕР 4. Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события:
А – появления герба на первой монете;
РЕШЕНИЕ. Очевидно, событие А не зависит от того, произошло
B
или нет. Событие А независимо от события В.
ПРИМЕР 5. В урне два белых шара и один черный. Два человека
– появление белого шара у первого человека,
называется независимым от события В, если вероят-
не зависит от того, произошло событие B или нет.
называется зависимым от события В, если вероят-
меняется в зависимости от того, произошло собы-
B
– появление герба на
B – появление белого шара у второго человека.
РЕШЕНИЕ. Вероятность события A равна 2/3. Если стало известно, что событие
только один белый. Тогда вероятность события
1/2. Из этого заключаем, что событие
произошло, то в урне осталось два шара, из которых
B
становится равной
B
зависит от события А.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А, называется
B
и обозначается: ( / )PB A.
Для ПРИМЕРА 5: ( ) 2 / 3; ( / ) 1 / 2.PA PB A
Теперь условие зависимости или независимости событий можно
выразить математически. Если соотношение
верно, то события A и B называются независимыми.
(/) ()
условной вероятностью события
AB PA
25
(2.10)
Если верно выражение
P
P
A
A
P
P
P
P
(/) (),
то события A и B называются зависимыми.
Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая
схема». В урне (закрытой емкости) находится
ров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны. Если
реализуется схема без возвращения, то события – зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается
в урну, то события – независимые.
AB PA
(2.11)
a белых и
b
черных ша-
2.4.Теоремаумножениявероятностей
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произве-
дению вероятностей одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое имело место:
( ) ()( / ) ()( / ).
Доказательство. Предположим, что из
тарных исходов событию
исходов благоприятствуют событию В. Тогда вероятность событияA
k
будет
() /,PA m n
AB PAPB A PBPA B
n
благоприятствуют m исходов, из которых
условная вероятность события В относительно со-
(2.12)
всевозможных элемен-
бытия
которые благоприятствуют и событию А, и событию В одновременно, то
есть
на
получим
тие В не зависит от события А.
бытия В, тогда с учетом (2.10) получим
уравнение в формулу (2.12):
равна
Произведению событий А и В благоприятствуют только те исходы,
исходов. Поэтому вероятность произведения событий А и В рав-
k
() /PAB k n
Аналогично можно показать, что
Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и собы-
Доказательство. Согласно условию, событие А не зависит от со-
(/) /.PB A k m
. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на т,
() / (/)(/) ()(/).
AB mk mn m n k m P A P B A
()PA (/) () ()PB A PB PA.
() ()(/).
AB P B P A B
(/) ().
BA PB
(/) ()
AB PA
Разделив левую и правую часть уравнения на () 0,PA
. Подставим это
получим
Таким образом, следствие доказано.
26
Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий
A
A
A
A
A
равна произведению вероятностей этих событий.
Доказательство. Для независимых событий условные вероятности
равны безусловным:
PA A A PA PA PA
ПРИМЕР 6. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из
трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение
времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно
равна: р
ность безотказной работы) за время t?
= 0,8; р2 = 0,9; р3 = 0,7. Какова надежность прибора (вероят-
1
РЕШЕНИЕ. Обозначим события:
12 1 2
kk
()
.
безотказная работа прибора;
безотказная работа первого узла;
1
безотказная работа второго узла;
2
безотказная работа третьего узла.
3
Безотказная работа прибора обеспечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов:
Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий
получим:
AAA
123
.
ПРИМЕР 7. Экзаменующимся по теории вероятностей было
предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из
предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент
сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?
РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не
возвращается. Пусть событие
B
билет»,
бытия
возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность собы-
тия
() 4/34;( / ) 30/33,PA PB A тогда
A
во второй раз вынут «удачный» билет». Очевидно, что со-
и B зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не
.AB По формуле умножения вероятностей:
123
A
«в первый раз вынут «неудачный»
()()(/);PAB PA PB A
0,8 0,9 0, 7 0, 504.PA PA PA PA
PA B
430
34 33
0,107.
27
2.5.Формулаполнойвероятности
A
H
A
A
A
j
A
H
Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятно-
стей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая
формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события
,
которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий:
, , ,
HH , образующих полную группу несовместных событий, то
12
HH
есть ,
ij
n
,1, , ; ; Ω.
ij n i j H
n
i
i
1
.
Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформули-
руем формулу (теорему) полной вероятности.
Теорема.
Вероятность события A равна сумме произведений вероятности гипотезы на соответствующую условную вероятность этого события:
n
() / .
PA PH PA H
i
1
ii
(2.13)
Доказательство. Вспомним операции над событиями
n
HAH AH
in
i
1
1
Так как HH
.
ij
, то и
ΩAA
HAH
ij
, , 1, , ;ij ni j , то есть события
H
i
и
H
также несовме-
стны. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий
PA PAH PAH PAH, т. е.
n
PA PAH
По теореме произведения вероятностей
PH PA H , откуда и следует формула (2.13). Теорема доказана.
()(/ )
ii
i
1
.
i
12
()
n
PAH
i
ПРИМЕР 8. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся два белых и один черный шар. Во второй урне – три белых и один
черный, а в третьей урне – два белых и два черных. Какова вероятность
того, что некто подойдет и из произвольной урны извлечет белый шар?
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим 3 гипотезы:
выбор первой урны;
1
H выбор второй урны;
2
H выбор третьей урны.
3
28
Событие
B
B
H
B
H
H
B
H
A
вынут белый шар. Из условия задачи следует, что гипо-
тезы равновозможны:
дойти к первой урне, то вероятность извлечь из нее белый шар равна
Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности со-
A
бытия
/3/4, /1/2.PA H PAH По формуле полной вероятности
(2.13) окончательно получим:
ПРИМЕР 9. Представим себе странника, идущего из некоторого
пункта O и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта O попадет в пункт
при этих гипотезах соответственно:
A
?
23
123
PA
12 13 11 23
33 34 32 36
Если случайно по-
1/3.PH PH PH
23.
/2/3, PAH
.
1
О
В
1
В
2
В
3
В
4
А
РЕШЕНИЕ. Как видно из рисунка, странник обязательно должен
пройти через один из пунктов
состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта O
в пункт .
группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, так как по условию задачи странник наугад выбирает один из путей
или
OB . Тогда
одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь
получим:
Теперь по формуле полной вероятности:
Очевидно, что события
k
PH Из пункта
4
/ 1 / 3; / 1/ 2; / 1; ( / ) 2 / 5. PA H PA H PA H PA H
12 34
A
при условии
1/4.
k
1/4 1/3 1/ 2 1 2 /5 67/120.PA
, ,
BB и 4.
123
, ,
HH и
123
равна 1/3. Аналогично рассуждая,
1
Обозначим
A
в
1
можно прийти лишь по
4
29
гипотезы,
k
образуют полную
, , OB OB OB
123
2.6.Теоремагипотез(ФормулаБайеса)
H
A
H
H
H
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности
является теорема гипотез, или формула Байеса.
Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных собы-
тий (гипотез)
ны соответственно
зультате которого наблюдалось событие .
Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
Фактически нам необходимо найти условную вероятность () 0PA
для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей (2.12) имеем:
, , ,
HH . Вероятности этих гипотез известны и рав-
12
PH PH PH Произведен опыт, в ре-
n
(), ( ), , ( ).
12
n
PAH PA PH A PH PA H i n
iiii
/()(/); 1, 2, , .
Отсюда
PA PH A PH PA H i n
/ ( ) ( / ); 1, 2, , .
iii
Разделим на () 0PA левую и правую часть уравнения, тогда окон-
чательно получим:
()(/ )
PH PA H
PH A i n
/ ; 1, 2, , .
i
ii
()
PA
(2.14)
Выражая ()PA с помощью формулы полной вероятности (2.13),
получим
формулу Байеса:
()(/ )
PH PA H
PH A i n
/ ; 1, 2, , .
i
ii
n
PH PA H
i
1
ii
/
(2.15)
ПРИМЕР 10. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей, и их надежность за время
Приборы из обычных деталей за время
испытан и за время
t работал безотказно. Какова вероятность того, что
t имеют надежность 0,7. Прибор
равна 95 %.
t
он собран из высококачественных деталей?
РЕШЕНИЕ. Возможны 2 гипотезы:
прибор собран из высококачественных деталей;
1
H прибор собран из обычных деталей.
2
Вероятности этих гипотез до опыта соответственно равны:
0,4, 0, 6.PH PH В результате опыта наблюдалось событие А –
12
прибор безотказно работал время
тия при гипотезах
(/ )0,7.PA H
2
1
и
соответственно равны:
2
t. Условные вероятности этого собы-
(/ ) 0,95, PA H
30
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]