Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
почки случайных событий Та-
s
t
j
p
p
(0) (1)SS () ().
11
SSk
in
кая случайная последовательность называется дискретной марковской
цепью, если для каждого шага вероятность перехода из
(1,2,,)k
любого состояния в любое состояние (i, j = 1, 2, …, n) не зависит
S
i
от того, как система пришла в состояние
S
j
.
S
i
Марковский процесс служит моделью для многих процессов в биологии (распространение эпидемии, рост популяции), в физике
тивный распад), в теории массового обслуживания.
(радиоак-
Рассмотрим свойства марковских случайных процессов на примере
известной игры «Тише едешь – дальше будешь».
Вспомним правила игры:
1.
В этой игре фишка играющего должна пройти некоторое конеч-
ное число пунктов 1, 2, …, т.
2.
Переход из одного пункта в другой каждый раз определяется ис-
ходом бросания игральной кости.
Таким образом, если на данном шаге фишка находится в пункте i,
то правилами игры устанавливается пункт перехода ее на следующем
шаге, в зависимости от числа очков, выпавших на игральной кости. Отметим очевидное свойство марковских случайных процессов
Из любого пункта i фишка с некоторой вероятностью переходит
.
p
ij
в один из пунктов j, независимо от характера ее движения до попадания
в пункт
i. Это свойство цепей Маркова часто называют системами без
последствия, или системами с отсутствием памяти.
Пусть имеется система, которая может находиться в одном из фазовых состояний S
, S2, …, Sn. Состояние системы меняется в зависимости
1
от некоторого параметра t, причем переход из состояния в состояние зависит от случайного фактора. Будем условно называть параметр t временем и считать, что t пробегает либо целые, либо действительные числа.
Пусть
(t) – состояние системы в момент времени t, и пусть соблюдается закономерность: если в данный момент времени система находится в фазовом состоянии i, то в последующий момент времени будет находиться в состоянии с некоторой вероятностью неза-
(,)
st
ij
висимо от поведения системы до указанного момента s.
Вероятности
(,) () / () (, 1,2,
pst P t j s i ij
ij
называются переходными вероятностями
Марковская цепь
роятности зависят лишь от разности t – s:
),( tsp
ij
(t) называется однородной, если переходные ве-
(,) ( )
st p s t
ij ij
марковской цепи (t).
(i, j = 1, 2, …).
…) (11.19)
121
Полным описанием однородной марковской цепи может служить
1
j
квадратная матрица переходных вероятностей
p
ij
n
21
n
11211
ppp
n
22221
. (11.20)
ppp
nnnn
ppp
Очевидно, что для каждого состояния (номера шага) возможные
n
p
переходы образуют полную группу событий, то есть . Переход-
j
ij
1
ные вероятности, соответствующие невозможным переходам, равны нулю. Вероятности, расположенные по главной диагонали матрицы, соответствуют тому факту, что состояние системы не изменилось.
Дискретная марковская цепь называется неоднородной, если пере-
ходные вероятности меняются с изменением номера шага.
Отметим, что переход системы из одного состояния в другое в последовательных опытах может происходить непосредственно либо пошагово:
(1) ( 2 ) ( ) ( 1)
ppp pp p pp
ij ij ij
,, .
ij ik kj ik
kk
nn
kj
(11.21)
В этом выражении верхний индекс указывает число шагов, за которые система из состояния переходит в состояние .
i
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих свойства цепей
маркова и матрицы переходных вероятностей.
ПРИМЕР 4. Имеется конечная марковская цепь с соответствующей
матрицей вероятностей переходов
16 0 16 0 23
0140034
P
14 38 18 14 0
00010
0130023
.
Анализ данной матрицы переходных вероятностей свидетельствует
о том, что не для каждого состояния существует отличная от нуля вероятность перехода в другое состояние. Более того, для данной системы
существует тупиковое состояние, из которого ни в какое другое состояние перейти невозможно.
122
Класс эквивалентности (множество состояний) – это класс, в кото-
/
P
j
0
j
j
ji
ром для каждой пары состояний существует отличная от нуля вероятность перехода из одного состояния в другое.
У нас три класса эквивалентности:
1)
2)
3)
p
44
pp
3V,
pp
3113
5225
.1;V
;4/1,6/1,
;3/1,4
Рассмотрим переходы из первого класса эквивалентности во второй и третий. Обратный переход невозможен. Поэтому первый класс
называется устойчивым.
Второй и третий классы находятся в равновесии и являются замкнутыми, то есть если система перешла в один из этих классов, то пере-
ход в другой класс невозможен. Эти два класса
называются эргодическими классами эквивалентностей. Третий класс имеет единственное
эргодическое состояние, называемое поглощающим. Марковская цепь, в
которой каждое эргодическое состояние является поглощающим, называется поглощающей цепью.
ПРИМЕР 5. «Случайное блуждание».
Рассмотрим случайное блуждание частицы по целочисленным значениям действительной оси (прямой). Частица на каждом шаге с вероятностью p смещается на
+1 и с вероятностью q = 1 – p смещается на –1.
РЕШЕНИЕ. Пусть ξ(n) – положение частицы через n шагов, тогда
последовательность ξ(0), ξ(1), ξ(2), … образует марковскую цепь. Если
частица находится в какой-то точке i, то ее дальнейшее поведение не зависит от обстоятельств, предшествующих попаданию в точку i. За последующие n
шагов частица с вероятностью переходит в соответ-
)(n
i
ствующее состояние j. Отметим очевидные свойства:
При |i – j| > n переход из состояния i в состояние j невозможен,
тогда .
)( nP
ij
За n шагов частица может перейти лишь в те состояния j, для ко-
торых выражение |i – j| имеет ту же четность, что и n. Переход возможен
только в те состояния, для которых число m является целым:
Если , то попасть в состояние j можно тогда и только тогда,
i
/2.mn |ij|
когда из всех n шагов ровно m шагов совершается в положительном направлении. Вероятность этого события вычислим по формуле Бернулли:
mnmm
.)(
qpCnP
ni
Аналогично вычислим вероятность перехода из i в j, если :
mmnm
.)(
nij
123
qpCnP
11.5.Потокисобытий(Пуассоновскиепотоки)
m
P
t
t
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (например, поток запросов к серверу базы данных, поток покупателей в магазине, поток клиентов в парикмахерской и т. п.).
Поток называется ординарным, если события происходят пооди-
,,,
ночке. Интервалы
TT T
12
выми или различными, дискретными или непрерывными, случайными
или неслучайными (рис. 11.3).
Рис. 11.3. Ординарный поток событий
Поток характеризуется интенсивностью – частотой появления
событий или средним числом событий, поступающих в систему массового обслуживания (СМО) в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно
за другим через определенные равные промежутки времени. Примером
такого потока может служить поток входящих (выходящих) почтовых
сообщений на персональном компьютере (почтовая программа соединя
ется с сервером через каждые 10, 20, … минут).
Поток случайных событий называется пуассоновским, если число
событий потока, попадаемых на любой участок оси времени, рас-
пределено по закону Пуассона
ординарного потока могут быть одинако-
n
-
m
(11.22)
m
a
m
где – среднее число событий, приходящихся на участок времени .
a
a
,
e
!
Пуассоновский поток является стационарным, если плотность по-
const,
тока событий тогда среднее число событий , и
нестационарным, если тогда
. (11.23)
Рассмотрим случайную величину – интервал времени между со-
),(
t
0
atd
()
t
0
a
T
седними событиями в стационарном пуассоновском потоке – и определим ее функцию распределения: . Выражение Т < τ озна-
() ( )FPT
чает, что в интервале времени наблюдается хотя бы одно событие
124
по-
тока. Выразим через – вероятность того, что в интервале
)
f
n
()F
()F
0
времени не наблюдается ни одного события потока:
0
(11.24)
() 1 () 1 .
FF e
0
a
0!
a
Таким образом, для стационарного пуассоновского потока функция
распределения времени между соседними событиями и плотность распределения соответственно равны:
(11.25)
() 1 ; () .Fe fe
Из (11.25) следует, что интервал времени подчинен экспоненциальному (показательному) закону распределения, параметры которого
равны: .
Если величины являются
1/m
T
i
зависимыми случайными величинами,
то поток называется потоком с последействием, так как для любого
момента времени последующее течение потока находится в вероятностной зависимости от предыдущего. Если СВ независимы, то случай-
T
i
ный поток называется потоком с ограниченным последействием и
плотность вероятности системы можно представить в виде:
( , ,..., ) ( ) ( )... (
ffff
. (11.26)
Таким образом, в случае стационарного
, , ...,
интервалы имеют одинаковые законы распределения
() (), где 1, 2, ...,
ii i
TT T
12
fi
12 1 2
nn
пуассоновского потока все
n
, что является проявлением отсутствия
последействия.
Случайный поток событий, который обладает свойством стационарности, ординарности и не имеет последействия, называется
простейшим и является стационарным пуассоновским потоком.
ПРИМЕР 6. На кафедральный сервер поступает простейший поток
запросов с интенсивностью λ = 0,3 запроса в минуту. Какова вероятность того, что за 5 минут:
ровно 5 запросов;
c) придет хотя бы один запрос?
РЕШЕНИЕ. Случайная величина – число запросов к кафед-
a) не придет ни одного запроса; b) придет
X
ральному серверу за пять минут – распределена по закону Пуассона, параметр которого равен: a = λτ = 0,3 · 5 = 1,5.
a) Вероятность того, что за 5 минут не придет ни одного запроса
(0)m
вычислим по формуле (11.22): P
b) Вероятность пяти запросов :
(5)m
(5) = e
0
–1,5
= 0,2231.
5
Pe
(5) 0,01412.
5
1, 5
1,5
c) Вероятность хотя бы одного запроса:
( 1)1 ( 0)1PX PX
125
0,2231 = 0,7769.
Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попада-
j
i
ния на элементарный (малый) отрезок времени хотя бы одного со-
t
бытия потока равна согласно (11.25):
t
(11.27)
PPTt e t
()1 .
t
Данная формула получается при разложении экспоненты в ряд Тейлора
по степеням , причем ограничились только двумя первыми членами
t
ряда. Понятно, что формула будет тем точнее, чем меньше t.
11.6.Непрерывныймарковскийпроцесс.
УравненияКолмогорова
Рассмотрим систему , в которой происходит марковский СП с
дискретными состояниями .
S
,,,
SS S
12
n
Если переходы системы из состояния в состояние происходит не в
фиксированные моменты t
, t1, t2, …, а в случайные моменты времени
0
(что чаще встречается в реальных задачах), то такой процесс называется
марковским процессом с дискретными состояниями и непрерывным
временем.
Марковские СП данного типа применяются при исследовании (моделировании) реальных СМО. Состояние системы будем характеризовать
числом требований (заявок) на обслуживание, находящихся в системе.
Предположим, что переходы системы
из состояния в состояние
S
i
S
осуществляются под воздействием пуассоновского потока с интенсивностью const.
ij
Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями называется размеченным (рис. 11.4).
λ
10
S
0
λ
02
λ
01
S
1
λ
λ
13
31
S
3
λ
20
S
2
λ
32
λ
23
Рис. 11.4. Размеченный граф СМО с четырьмя состояниями
()
Вероятностью i-го состояния называется вероятность того,
что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что
t
126
S
pt
i
для любого момента сумма вероятностей всех состояний системы
p
p
p
p
t
равна единице:
n
() 1
. (11.28)
Для нахождения этих вероятностей (вероятностей состояния системы ) нужно решить систему обыкновенных дифферен-
, , ,...,
SSS S
012
n
i
0
pt
i
pt
i
()
циальных уравнений – уравнений Колмогорова:
(11.29)
(0), , (0); (0) 0
с начальными условиями и условием норми-
ppp
0
ni
ровки (11.28).
Правила составления уравнений Колмогорова:
В левой части каждого уравнения стоит производная вероятно-
сти i-
го состояния.
В правой части – сумма произведений вероятностей всех состоя-
ний (из которых направлены стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния (стрелки
потоков выходят из i-го состояния), умноженная на вероятность данного состояния.
Учитывая (11.29), или
правила, запишем систему уравнений для СМО (рис. 11.4):
, что эквивалентно, вышесформулированные
S
'
0101202 01020
'
1010313 10131
(11.30)
'
2020323 20232
'
3131232 31323
pp p
pp p
pp p
pp p
(),
(),
(),
().
В системе (11.30) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (11.28). Естественно предположить, что в начальный
момент времени СМО находится в состоянии S
ловия равны:
(0) 1, (0) (0) (0) 0.pppp
0123
, то есть начальные ус-
0
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности
как функции времени. Однако особый интерес представляют вероятно-
pt
сти системы в предельном стационарном режиме, то есть при
()
i
127
p
p
p
p
,
t ∞, которые называются предельными (финальными) вероятностями
состояний.
Показано, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные состояния существуют.
Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она
равна среднему относительному времени пребывания системы в
состоянии. Например, если предельная вероятность состояния равна
0,5 (р
дится в состоянии S
= 0,5), то это значит, что в среднем 50 % времени система нахо-
0
.
0
S
i
этом
S
0
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова (11.29) их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), описывающих стационарный режим. Для СМО, граф состояний которой представлен на рис. 11.4, СЛАУ примет вид:
() ,
() ,
01 02 0 10 1 20 2
10 13 1 01 0 31 3
() ,
20 23 2 02 0 32 3
() .
31 32 3 13 1 23 2
pp
pp
(11.31)
pp
pp
ПРИМЕР 7. Найти предельные вероятности для системы S, граф состояний которой
потоков:
представлен на рис. 11.4 при следующих интенсивностях
3
1, 2, 2, 2, 3, 1,
01 02 10 13 20 23
31
32
2.
РЕШЕНИЕ. СЛАУ, описывающих стационарный режим для данной системы (11.31) с учетом значений интенсивностей потоков, можно
представить:
ppp
323,
012
pp p
43,
(11.32)
10 3
ppp
422,
203
pppp
0123
1.
Здесь вместо одного «лишнего» уравнения системы (11.31) учли условие
нормировки (11.28).
Решив систему (11.32), получим:
6/15, 3/15,pp
01
4 / 15, 2 /15.pp
23
128
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подготовка современных, грамотных специалистов по компьютерным технологиям, в частности по направлению «Информационные
системы и технологии» (профиль подготовки «Геоинформационные
системы, информационные системы в технологии и бизнесе»), требует
глубоких базовых знаний сетевых технологий, методов разработки и
эксплуатации баз данных и знаний, технологии проектирования вычислительных информационных систем и программ и многого другого
Однако для успешного усвоения всех этих дисциплин необходимы знания основ теории вероятностей. При автоматизации измерений (разработке и программировании микроконтроллеров) не обойтись без навыков статистической обработки экспериментальных данных. Компьютерное моделирование, проектирование и разработка компьютерных
систем и сетей (СМО) немыслимо без знания теории случайных процессов (СП). Исходя
ник) может рассматриваться как первый шаг к дальнейшему усвоению и
углублению профессиональных знаний.
из всего вышесказанного, данная дисциплина (учеб-
.
129
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математи-
ческая статистика: учебник / под ред. В.А. Колемаева. – М.: ИНФРА-М,
1997. – 303 с. – (Серия «Высшее образование»).
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –
2.
М.: Высшая школа, 2003. – 480 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-
3.
стей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
4.
учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2002. – 543 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, ма-
5.
тематической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. –
М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с. – (Высшее образование).
Дополнительная
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженер-
ные приложения. – М.: Высшая школа, 2000. – 480 с.
Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей (Основные
2.
понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). – М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. – 496 с.
Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инже-
3.
неров и научных работников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
Розанов Ю.А. Случайные процессы (краткий курс). – М.: Главная
4.
редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. – 288 с.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]