Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
эта функция возрастает на заданном интервале, следовательно, макси-
x
x
M
M
X
x
p
j
j
p
мум достигается при
1.xMoX
Для нахождения медианы воспользуемся формулой (4.14):
Me Me Me
() ; 0 3 | ( ) .
xdx x dx dx xdx x Me
Отсюда
11
22
3
1/ 2 0,79.Me
По формуле (4.10) получим функцию рас-
0
23 3
0
Me
0
пределения
xx
Fx xdx dx xdx x
Учитывая (4.15), найдем квантиль
30%-ю точку случайной величины X или квантиль
0,67.x
0,3
найдем из уравнения
3
0,7
0,7, x откуда
0
03 .
0,7
23
0
0,3
0,89.x
3
0,3
откуда
0,3,x
4.4.Числовыехарактеристикиодномернойслучайнойвеличины
0,7
Математическим ожиданием, или средним значением случайной
величины
лом
называется постоянная (константа), обозначаемая симво-
( []
X ) и определяемая равенством:
для дискретной СВ,
() для непрерывной СВ.
xm M
xx
xp
xxdx
ii
ПРИМЕР 7. Известны законы распределения СВ X и Y числа
очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
0,15 0,11 0,04 0,05 0,04 0,10 0,10 0,04 0,05 0,12 0,20
i
y
Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,01 0,03 0,05 0,09 0,11 0,24 0,21 0,10 0,10 0,04 0,02
(4.16)
Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.
51
РЕШЕНИЕ. Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот,
x
x
x
x
M
M
M
кто в среднем выбивает большее число очков. Тогда по формуле (4.16)
вычислим
MX и MY
:
0 0,15 1 0,11 2 0,04 9 0,12 10 0,20 5,36;MX
0 0,01 1 0,03 2 0,05 9 0,04 10 0,02 5,36.MY
Так как среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое,
то предпочтение нельзя отдать ни одному стрелку: они равносильны.
ПРИМЕР 8. Непрерывная СВ X
резке
[, ]ab
. Определим
m
.
равномерно распределена на от-
РЕШЕНИЕ. Прежде всего определим плотность распределения. Из
условия задачи известно:
()
x
const, [ , ];
0, [ , ].
ab
ab
Используем свойство (4.12):
( ) 0 cons 0 const | const ( ) 1.
x dx dx t dx dx x b a
ab
ab
const ; .
1
ba ba
b
x
dx a b
a
b
a
2
4.4.1.Свойстваматематическогоожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой
постоянной:
[] .
Постоянный множитель можно выносить за знак математиче-
2.
CC
ского ожидания:
[] [].
3.
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного
kX k M X
числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
nn
[] [].
XMX
Математическое ожидание произведения конечного числа неза-
4.
ii
ii
11
висимых случайных величин равно произведению их математических
ожиданий (покажем это свойство для двух СВ).
(4.17)
(4.18)
(4.19)
52
nm n m
M
M
Z
s
x
s
x
x
5.
Математическое ожидание отклонения случайной величины от
ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое
ожидание СВ Х равно а,
ния СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и заменяющее
СВ при грубых
ПРИМЕР
857,
XY если известно, что
РЕШЕНИЕ. Используя свойства математического ожидания (4.17),
(4.18) и (4.19), найдем
[] [][].
XY x y p x p y p M X M Y
11 1 1
ij i j
ijij i i j j
тогда:
[[]][][] 0.
XMX MXa MX aaa
Математическое ожидание – одна из характеристик положе-
(ориентировочных) расчетах.
9. Найти математическое ожидание случайной величины
3, 2.MX MY
(4.20)
(4.21)
8578352721.MZ MX MY
4.5.Моментыслучайнойвеличины
Понятие момента широко применяется в механике для описания
распределения масс (статические моменты, момент инерции и т. п.).
Начальный момент s-го порядка случайной величины X обозначается символом
()
x
Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика матема-
тическое ожидание
чальный момент
жение (4.22) можно представить в следующем виде:
s
. Используя символ математического ожидания, выра-
и определяется выражением:
()
представляет собой не что иное, как первый на-
s
xp
ii
s
xxdx
() для непрерывной СВ.
для дискретной СВ,
(4.22)
Пусть имеется СВ X с математическим ожиданием
новое понятие.
Центрированной случайной величиной, соответствующей величи-
не
X, называется отклонение СВ
() [ ]
s
X
XXm
Mx
от ее математического ожидания:
53
. (4.23)
.
Введем
.xm
(4.24)
Моменты центрированной СВ называются центральными мо-
x
ментами
. Нетрудно показать, что математическое ожидание центриро-
ванной СВ равно нулю:
[] [ ] 0.
MX MX m m m
xxx
(4.25)
Центральным моментом s-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s-й степени, соответствующей
центрированной СВ
Очевидно, что для любой СВ
ка равен нулю
. Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важ-
ности среди других характеристик, называется
:
ss
() [ ] [( )]
xMX MXm
()для дискретной СВ,
xm p
()()для непрерывной СВ.
xm xdx
sx
ix i
s
x
s
центральный момент первого поряд-
дисперсией и обознача-
(4.26)
ется
[]DX :
Дисперсией
2
() [ ] [ ].
2
[]DX
случайной величины X называется математи-
DX M X
(4.27)
ческое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
[] [( )]
DX M X m
()для дискретной СВ,
xm p
ix i
()()для непрерывной СВ.
xm xdx
x
2
2
2
x
(4.28)
Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой
величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия
[]DX имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда
удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также ве-
[]DX
личину, равную
.
54
Средним квадратическим отклонением (стандартным откло-
x
D
D
D
нением, или стандартом
)
случайной величины X называется
арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:
x
(4.29)
[].
X
4.5.1.Свойствадисперсии
1. Дисперсия константы равна нулю:
222
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
2.
[] [ ] [( [])] [( )] 0.DC M C M C M C M C C
возведя его при этом в квадрат:
[] [( [])]
DCX M CX M CX
3.
Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых
222
CM X MX CDX
[( [])] [].
2
(4.31)
СВ равна сумме их дисперсий. Покажем это свойство для двух СВ:
[][( [])]
DX Y M X Y M X Y
2
(4.30)
22
2
(4.32)
Учтем, что
[(( ) ( )) ] [( ) ]
MXm Ym MXm
2[( )()][()]
MX m Y m MY m
X
и
xy x
xy y
[]2[ ] [].
DX M X Y DY
Y
независимые случайные величины, для кото-
рых выполняются свойства (4.20) и (4.25), то есть:
[] [][], [] []0.MXY MX MY MX MY
(4.33)
С учетом (4.33) выражение (4.32) примет окончательный вид:
[][][].
XY DX DY
(4.34)
Вычислим дисперсию разности СВ:
[][(1)][][(1)]
XY DX Y DX D Y
[](1) [] [] [].
D X DY D X DY
2
(4.35)
Таким образом, мы доказали следующее свойство: дисперсия разности равна сумме дисперсий.
4.
Второй центральный момент случайной величины равен разно-
сти между вторым начальным моментом и квадратом первого начального момента этой случайной величины. Другими словами:
55
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее
математического ожидания:
[] [( )] [ 2 ]
DX M X m M X mX m
MX mMX m Mx m m
22222
[]2 [] []2
xx xx
[ ] () ().
MX m x x
22 2
xxx
(4.36)
22 2
x
21
5. Дисперсия произведения независимых СВ X и Y равна произведе-
нию дисперсии X на дисперсию Y плюс произведение квадрата математического ожидания СВ X на дисперсию Y плюс произведение квадрата
математического ожидания СВ Y на дисперсию X. Покажем это:
[] [( [])]
DXY M XY M XY
2
MXY mmXY mm MX MY mm
22 22 2 2 22
[2 ][][]2
22 2 2 22
mm DX m DY m mm
xy x y xy
xy xy xy
([ ] )([] )
[][] [] [].
DX DY m DY m DX
22
xy
(4.37)
4.5.2.Асимметрияиэксцесс
Третий центральный момент
асимметрии (скошенности) распределения. Так как третий централь-
ный момент имеет размерность куба случайной величины, то, чтобы получить безразмерную характеристику, третий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения СВ Х:
Величина
Sk
называется коэффициентом асимметрии случай-
ной величины.
служит для характеристики
3
3
.Sk
(4.38)
3
Рис. 4.7. Характеристика асимметрии распределений
56
На рис. 4.7 показаны два распределения, имеющих положитель-
x
x
ную (распределение 1) и отрицательную (распределение 2) асимметрию.
Естественно, что для симметричного распределения 0.Sk
Четвертый центральный момент
служит для характеристи-
4
ки крутости (островершинности) распределения.
Эксцессом случайной величины называется число
4
3.Ex
4
(4.39)
Число 3 в выражении (4.39) вычитается из отношения μ
/ σ4, по-
4
тому что для наиболее часто встречающегося нормального распределения это отношение равно 3. Таким образом, распределения более островершинные, чем нормальное, имеют положительный эксцесс, распределения с меньшей крутостью, чем нормальное, – отрицательный эксцесс,
для нормального распределения эксцесс равен нулю (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Характеристика островершинности распределений
ПРИМЕР 10. Для равномерно распределенной СВ (см. ПРИМЕР 8)
необходимо вычислить
[], , .DX Sk Ex
РЕШЕНИЕ:
a) вспомним, что
()/2
mab
;
b) дисперсию вычислим по формуле (4.36):
b
2322
DX M X m
332222222
b a a abb a abb a abb ba
xa
ba ba
a
22()
[] [ ] ( ) |
dx a b x a ab b
b
23() 4
2
3( ) 4 3 4 12
ba
ba
;
23
57
.
b
()()
xm xm
c)
3
.Sk
3
3
ab ab
()()
ba
d)
()()()()()()
ba ab ba ba ab ab
()52
ba
()()2()
ba ba ba
44
22
4( )
ba
4
4
3.Ex
4
55 4 4
5
44
11
ba ba
532( ) 80
ba
ba ba
a
()()
ba ab
4( ) 2
b
() |
a
532( )
.
Ex
34
xx
dx
4
4
4( )
0. 0;
44
ba
ab
xdx
b
|
a
ab
5
Sk
x
()
2
25
ba
()144
ba
80 ( )
4
ba
4
31,2.
b
a
58
X
X
X
X
X
X
X
M
x
Глава5
МНОГОМЕРНЫЕСЛУЧАЙНЫЕВЕЛИЧИНЫ
5.1.Многомернаяслучайнаявеличинаизаконеераспределения
Очень часто результат испытания характеризуется не одной слу-
чайной величиной, а некоторой системой случайных величин
,,,,
XX
12
чайной величиной, или случайным вектором
Случайные величины
быть как дискретными, так и непрерывными.
Приведем примеры многомерных случайных величин:
физическое состояние человека можно охарактеризовать систе-
мой случайных величин:
успеваемость студента можно описать многомерной случайной
величиной
Геометрически двумерную и трехмерную случайные величины
можно интерпретировать случайной точкой (вектором) на плоскости
или в трехмерном пространстве Oxyz. Как отмечалось ранее, наи-
Oxy
которую называют также многомерной (n-мерной) слу-
n
n
,,,
XX
12
1
, где
n
,,,,
XX
12
рост,
i
n
вес,
X
2
оценка по i-му предмету.
(, , , ).
XX X
12
входящие в систему, могут
возраст и т. п.;
X
3
более полным описанием СВ является закон ее распределения. Дальнейшее рассмотрение многомерных СВ проведем на примере двумерных случайных величин.
Определим, как и для одномерной СВ, интегральную функцию рас-
пределения двумерной СВ:
(, ) ( , ).Fxy PX xY y
Геометрически функция распределения
ность попадания случайной точки
бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки
(,)
в заштрихованную область –
Y
(5.1)
(, )Fxy
означает вероят-
(, )
(рис. 5.1).
xy
Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это
значит, что функция распределения непрерывна слева по каждому из
аргументов.
В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция
распределения определяется по формуле:
(, ) .
Fxy p
ij
ij
(5.2)
Здесь (5.2) суммирование вероятностей производится по всем значениям i, для которых
и по всем j, для которых
,
X
i
yY
j
.
59
x
Рис. 5.1. Функция распределения двумерной СВ
5.1.1.Свойствадвумернойфункциираспределения
1. Функция распределения
(, )Fxy
есть неотрицательная функция,
заключенная между нулем и единицей, то есть
0(,)1.Fxy
(5.3)
Это утверждение базируется на том, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.
2.
Функция распределения
(, )Fxy
есть неубывающая функция, по
каждому из аргументов:
при (,) (,),
при (, ) (, ).
xFxyFxy
21 2 1
yy Fxy Fxy
21 2 1
(5.4)
Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная
область на рис. 5.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной
точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.
Если хотя бы один из аргументов обращается в –∞, функция
3.
распределения
(, )Fxy
Функция распределения
равна нулю:
(,) (,) (, )0.FyFx F
(, )Fxy
в данных случаях равна нулю, так
(5.5)
как события
,XY
и их произведение представляют невоз-
можные события.
Если один из аргументов равен
4.
деления
(, )Fxy
становится равной одномерной функции распределения
, двумерная функция распре-
от другого аргумента:
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]