Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
10.2.Ошибкипроверкигипотез
При проверке гипотезы возможны два типа ошибок.
Во-первых, гипотеза может быть отклонена, хотя фактически она
верна. Такая ошибка называется ошибкой первого рода.
Во-вторых, гипотеза может быть принята, хотя фактически она
неверна. Такая ошибка называется ошибкой второго рода.
Проиллюстрируем эти понятия графически (рис. 10.3).
φ0 – d
φα/2
φ
0
φ
1–α/2
φ0 + d
Ф
Рис. 10.3. Определение ошибки первого и второго
рода при проверке гипотез
Из рисунка видно, что ошибка первого рода происходит в том случае, когда при справедливости гипотезы
значение
H
0
попадает в об-
ласть ее отклонения (критическую область). Следовательно, вероят-
ность ошибки первого рода равна
– уровню значимости критерия.
Для определения вероятности ошибки второго рода предположим,
к примеру, что истинный параметр равен либо
(см. рис. 10.3). Если гипотеза состоит в том, что
на самом деле
0
принятия гипотезы, заключенную между
то вероятность того, что
,d
и
/2
вательно, вероятность ошибки второго рода равна
клонения величиной
Вероятность
d от гипотетического значения
1
называется мощностью критерия.
0
: ,H
00
попадает в область
1/2
при выявлении от-
либо
,d
равна . Следо-
,
.
0
0
тогда как
d
Следует отметить, что вероятности ошибок первого и второго рода
вычисляются при разных предположениях о распределении (если верна
гипотеза
и если верна гипотеза
H
0
фиксированных соотношений (например
), так что никаких раз и навсегда
H
1
1,
независимо от вида
гипотезы и вида критерия) между ними нет. Таким образом, при фиксированном объеме выборки
n мы можем сколь угодно уменьшать ошиб-
111
ку первого рода, уменьшая уровень значимости . При этом, естествен-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
но, возрастает вероятность
– ошибки второго рода (уменьшается
мощность критерия). Единственный способ одновременно уменьшить
ошибки первого и второго рода
и
(
– увеличить размер выборки n.
)
Именно такие соображения лежат в основе выбора нужного размера
выборки в статистических экспериментах.
ПРИМЕР 1. Построение критерия проверки гипотез.
Предположим, что среднее значение СВ
предположим, что дисперсия известна и равна
равно
X
также
10,
m
2
Необходимо
4.
найти объем выборки n, позволяющий построить критерий проверки
гипотезы
: 10
Hm
0
с 5%-м уровнем значимости и 5%-й ошибкой
второго рода для выявления 10%-х отклонений от гипотетического значения. Построим также область принятия гипотезы
РЕШЕНИЕ. Выборочное среднее
определяемое формулой (8.6),
,
.H
0
является несмещенной оценкой
x
пределение
определяется из соотношения (9.7):
Соответствующее выборочное рас-
.
m
x
zm
,
(10.1)
n
где z имеет распределение
(0,1).N
Верхняя и нижняя границы области
принятия гипотезы соответственно равны:
mz mz
xx
1/2 /2
,.
x
(10.2)
nn
Если теперь истинное среднее значение равно
ностью
произойдет ошибка второго рода, если выборочное среднее x
mmd
x
окажется меньше (левее) верхней границы и больше (правее) нижней.
В терминах выборочного распределения
'
mmd
xx
для верхней и нижней границ (рис. 10.3):
xx
md z md z
xx
,.
со средним
1
то с вероят-
,
mmd
x
или
(10.3)
nn
Итак, справедливы следующие равенства:
mz md z z z d
1/2 1/2
xx
xx
,;
nn
mz md z z z d
xx
xx
/2 1 /2 1
,.
nn
112
n
x
(10.4)
n
Вспомним, что благодаря симметричности распределения
x
ведливы равенства:
спра-
(0,1)N
/2 1 /2 1
;.zz zz
(10.5)
Теперь из (10.4) с учетом (10.5) найдем требуемый объем выборки:
()
zz
x
n
1/2 1
d
Для конкретных значений данного примера:
1/2
0,975 1 0,95
1,96; 1,645.zz zz
Подставим эти значения в
2
(10.6)
.
2, 0,1 10 1,
d
(10.6) и получим значение необходимого объема выборки 51,9841.n
Таким образом, объем выборки должен быть равен или больше пятиде-
сяти двух. Область принятия гипотезы
определяется соответствую-
H
0
щими границами (верхней и нижней (10.2)):
xx
mz mz
1/2 /2
xx
10,54; 9,46.
nn
113
Раздел3
СЛУЧАЙНЫЕПРОЦЕССЫ
Глава11
ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯИМОДЕЛИСЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Теория случайных процессов имеет многочисленные применения в
задачах прогнозирования, теории (процессах) массового обслуживания,
финансовой математике, прикладной статистике и социальных науках.
Случайным процессом
будем называть функцию от дей-
()t
ствительного параметра ,tT
значения
которой при каждом t яв-
()t
ляются случайными величинами. Другими словами, случайной функцией
называют случайную величину (СВ), зависящую от неслучайно-
()t
го аргумента t.
Закономерности случайного процесса
вместными распределениями вероятностей его значений
при различных
,t
1
…,
(они называются конечномерными распределе-
t
n
ниями данного случайного процесса). Каждое значение
tT определяются со-
(),t
,
()t
1
случайного
()t
,()
t
n
процесса, являясь случайной величиной, формально зависит от элементарного исхода
:() (,).tt
При фиксированном значении t, то есть при
процесс
(,)t
обращается в СВ
случайный
,tt T
0
(, ),t
называемую сечением случай-
0
ного процесса (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Сечение случайного процесса
114
Реализацией, или траекторией случайного процесса
(,)t
назы-
вается неслучайная функция времени
то есть конкретный вид, принимаемый случайным процессом
,
0
() ( ,)tt
(СП) в результате испытания. Реализации СП обозначают
при фиксированном
0
( ), ( ), ...,xt x t
12
где индекс соответствует номеру опыта.
11.1.Классификацияслучайныхпроцессов
Случайный процесс, протекающий в любой физической системе S,
представляет собой случайные переходы системы из одного состояния в
другое.
Случайный процесс
менем, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния
только в моменты времени
Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние может происхо-
дить в любой момент времени.
Случайный процесс называется процессом с непрерывными со-
называется процессом с дискретным вре-
()t
, ..., ,
tt
1
число которых конечно или счетно.
n
стояниями, если значением случайного процесса является непрерывная
случайная величина.
Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина.
В зависимости от множества этих состояний W, от множества T
значений аргумента
1.
Дискретный процесс (дискретное состояние) с дискретным вре-
t все случайные процессы делят на классы:
менем.
Дискретный процесс с непрерывным временем.
2.
3.
Непрерывный процесс (непрерывное состояние) с дискретным
временем.
Непрерывный процесс с непрерывным временем.
4.
Рассмотрим несколько примеров СП, относящихся к различным
классам:
Почтовая программа на персональном компьютере в дискретные
моменты времени
( , ..., )
tt
1
загружает с почтового сервера новые пись-
n
ма. Количество полученных писем – СП первого класса.
Счет забитых мячей в теннисном матче – СП второго класса.
115
Автоматическая метеостанция в фиксированные моменты вре-
X
M
M
M
x
мени передает данные о температуре – СП третьего класса.
Самописец, фиксирующий высоту, на борту самолета – пример
СП четвертого класса.
11.2.Основныехарактеристикислучайногопроцесса
Для случайного процесса вводятся простейшие характеристики,
аналогичные основным характеристикам случайных величин. Известно,
что полная характеристика случайного процесса дается его многомерным (конечномерным) законом распределения. Однако знание основных характеристик может оказаться достаточным для решения многих
задач. Следует при этом учесть, что в отличие от числовых характеристик СВ, представляющих собой определенные
СП являются, как правило, не числами, а функциями.
Математическим ожиданием случайного процесса
числа, характеристики
называ-
()Xt
ется неслучайная функция
mt
которая для любого t будет опреде-
(),
ляться как математическое ожидание соответствующего сечения:
n
() (),сечение дискр. СВ;
xtpt
() [ ()]
mt MXt
X
ii
i
1
(, ) ,сечение непрер. СВ.
xp t x dx
Свойства математического ожидания СП
1. Математическое ожидание неслучайной функции равно самой
функции:
[()] ().
Неслучайный множитель можно выносить за знак математиче-
2.
ft ft
(11.2)
ского ожидания СП:
[() ()] () ().
Математическое ожидание суммы (разности) двух СП равно
3.
ft Xt ft m t
X
(11.3)
сумме (разности) математических ожиданий этих процессов:
(11.1)
[() ()] () ().
Xt Yt m t m t
ПРИМЕР 1. Случайный процесс определяется формулой
XY
(11.4)
() ,
Yt X e
0, (3, 1),tXN где X – СВ, распределенная по нормальному закону
с
3, 1.
m
x
Необходимо найти математическое ожидание СП
116
().Yt
t
РЕШЕНИЕ. Так как плотность гауссова распределения нам из-
M
X
X
X
D
D
x
D
вестна, то задача сводится к взятию соответствующего интеграла. Однако значительно проще решить задачу, используя свойство математи-
tt t
ческого ожидания СП (11.3):
Центрированным случайным процессом
[()] [ ] 3 .
Yt MX e e m e
x
называется процесс,
()Xt
который равен разности СП
Дисперсией случайного процесса
функция
Dt
, которая при любом значении аргумента t определяется
()
как дисперсия соответствующего сечения случайного процесса
[ ( )] [ ( )] [( ( ) ( )) ].
Дисперсия
DXt M X t M X t m t
характеризует разброс (рассеяние) возможных значе-
()
Dt
и его математического ожидания
()Xt
называется неслучайная
()Xt
22
X
(11.5)
().
mt
():Xt
ний СП относительно его математического ожидания.
Наряду с дисперсией рассматривается также среднее квадратическое отклонение
определяемое равенством:
(),Xt
() ().
tDt
XX
(11.6)
Размерность среднего квадратического отклонения СП равна размерности СП
().Xt
Свойства дисперсии СП
1. Дисперсия неслучайной функции равна нулю:
[()] 0.
ft
(11.7)
Дисперсия СП неотрицательна:
2.
() ().
3.
Дисперсия произведения неслучайной функции на случайную
tt
XX
2
(11.8)
функцию равна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию случайной функции:
[ () ()] () ().
Дисперсия суммы (разности) СП и неслучайной функции равна
4.
Dft Xt f t D t
2
(11.9)
X
дисперсии СП:
ПРИМЕР 2. Используя
DXt ft D t
условие ПРИМЕРА 1, найдем дисперсию и
(11.10)
X
[( () ())] ().
среднее квадратическое отклонение СП.
РЕШЕНИЕ. Используя свойство (11.9) и учитывая, что
числим:
tt t t
[()] [ ] ( ) 1 ,
Yt DX e e D e e
222
x
117
() .
te e
Y
2
вы-
1,
tt
Для оценки связи между различными сечениями СП используется
X
K
X
X
K
M
K
f
K
K
корреляционная функция – аналог ковариации.
Корреляционной (ковариационной, автоковариационной, автокорреляционной) функцией СП
называется неслучайная функция
()Xt
двух аргументов
(, ),
tt
12
которая при каждой паре значений
и
t
1
t
2
равна корреляционному моменту (ковариации) соответствующих сече-
()
t
ний
и :
()
t
1
2
(, ) [ () ( )]
K t t MXt Xt
12 1 2
X
[( ( ) ( )) ( ( ) ( ))].MXt mt Xt mt
11 2 2
(11.11)
Свойства корреляционной (автоковариационной) функции СП
1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов
равна дисперсии СП:
( , ) cov( ( ), ( )) [( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
tt Xt Xt M Xt mt Xt mt
X
[( () ()) ] ().
Xt mt D t
2.
Корреляционная функция не меняется при перестановке аргу-
2
(11.12)
X
ментов местами:
(11.13)
(, ) ( ,).
Ktt Ktt
12 21
XX
Если к СП прибавить неслучайную функцию, то корреляционная
3.
функция не изменится, то есть если , то:
(11.14)
При умножении СП на неслучайный множитель его
4.
(, ) (, ).
tt K tt
12 12
YX
()Xt ()ft
корреляционная функция умножается на произведение , то
есть если , то:
(11.15)
() () ()Yt Xt ft
(, ) () ( ) (, ).
tt ft ft K tt
12 1 2 12
YX
() () ()Yt Xt f t
() ( )
tft
12
Наряду с корреляционной функцией СП вводится также нормированная корреляционная (автоковариационная) функция , опре-
(, )
rtt
12
X
деляемая равенством
(, ) (, )
Ktt Ktt
12 12
(, ) .
rtt
(11.16)
По смыслу аналогична коэффициенту корреляции СВ, но не
X
rtt
X
12
(, )
12
является константой и зависит от аргументов t
XX
() ( )
tt
XX
12
(,) ( , )
tt K t t
XX
11 2 2
и t2.
1
118
Свойства нормированной корреляционной функции СП
K
Свойства нормированной корреляционной функции аналогичны
свойствам коэффициента корреляции:
1.
2.
r
3.
(, ) 1;
rtt
12
X
(,) 1;
rtt
X
(t1, t2) = rX(t2, t1).
X
ПРИМЕР 3. Используя
онную и нормированную корреляционную функции СП .
условие ПРИМЕРА 1, найдем корреляци-
()Yt
РЕШЕНИЕ. Согласно (11.11) вычислим:
tt t t
(, ) [( 3 )( 3 )
Ktt MXe e Xe e
Y
[( 6 9 )]
MX e e Xe e e e
12
tt tt tt
2
12 12 12
11 2 2
tt tt tt
12 12 12
[(3)] [] 1
Me e X e e DX e
2
e
tt
()
12
.
()
Теперь, согласно (11.16), получим:
tt
12
ee
rtt
(, ) 1.
Y
12
tt
12
ee
11.3.Стационарныеслучайныепроцессы
Важным классом СП являются стационарные случайные процессы, которые не изменяют свои характеристики с течением времени. Та-
кие процессы имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг неслучайного значения, например: флуктуация напряжения в электрической сети, давление газа в трубопроводе, температура в тепловом (ядерном) реакторе.
Случайный процесс называется стационарным в широком
смысле, если его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов,
( ) const, ( , ) ( ).
mt m Ktt Kt t
XXX
(, )
X
tt
12
()Xt
()
mt
X
12 2 1
(11.17)
Из этого определения следует, что корреляционная функция стационарного процесса есть функция одного аргумента:
(, ) (),
Ktt K
XX
12
где
.tt
21
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле,
если все его характеристики зависят не от значений аргументов, а лишь
119
от их взаимного расположения. Так для функций распределения сече-
T
ний процесса должно выполняться равенство:
FxxFxx
,..., 1 ,..., 1
th t h n t t n
11
0, 1, , ,...,
hnttt
при любых .
( ,..., ) ( ,..., ),
nn
12
n
(11.18)
Большинство стационарных СП обладают важным для практики
эргодическим свойством.
Эргодическое свойство стационарной случайной функции заключается в том, что любая ее реализация обладает одними и теми же свой-
T
ствами и на достаточно большом интервале
аргумента ведет себя в
t
среднем так же, как и все другие реализации. Рис. 11.2 иллюстрирует
связь между классами СП.
эргодические
стационарные
вузкомсмысле
стационарные
вширокомсмысле
Рис. 11.2. Соотношение классов случайных процессов
11.4.Марковскиеслучайныепроцессы
Случайный процесс, протекающий в системе, называется марков-
ским
(или процессом без последействия), если для любого момента вре-
мени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от то-
t
0
tt
0
го, как и каким образом система пришла в это состояние.
Пусть имеется некоторая физическая система S, в которой проте-
кают
СП. Под влиянием случайных факторов с течением времени сис-
тема может переходить из одного состояния в другое.
Случайный процесс называется процессом с дискретными состоя-
ниями, если множество его возможных состояний S
, S2, …, Si, … конеч-
1
но или счетно, а переход из одного состояния в другое осуществляется
скачком, причем переходы возможны только в определенные моменты
времени t
, t2, …, tj, … .
1
Рассмотрим марковский случайный процесс, описывающий систему
с дискретными состояниями и дискретным временем функционирования.
Процесс, происходящий в такой системе, можно представить в виде це-
tt
0
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]