Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. Учебник
.pdf
(, ) (),
Fx F x
(,) (),
FyFy
1
(5.6)
2
где
() ( ), () ( ).Fx PX x F y PY y
12
(5.6) вытекает из того, что произведение события
го события
казать и для
()
Y
().
Yy
есть само событие
5. Если оба аргумента равны
(, )
Fxy
равна единице:
(,)1F
Очевидность данного свойства
()
Xx
(),
Xx
, то функция распределения
аналогично можно по-
и достоверно-
. (5.7)
Это свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух
достоверных событий
()
X
и
()
Y
есть событие достоверное, а
вероятность достоверного события равна единице.
Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый
прямоугольник
S
(рис. 5.2). Вероятность попадания случайной точки в
указанный прямоугольник можно записать:
() ( , )PS Px X x y Y y
1212
. (5.8)
Рис. 5.2. Вероятность попадания в прямоугольник
Зная функцию распределения
(, ),
Fxy
выразим искомую вероят-
ность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный
квадрант с вершиной
ты с вершинами
квадрант
(, )Dx y
11
(, )Ax y
(так как эта вероятность вычиталась дважды). Окон-
(, )Bx y
22
12
минус вероятность попадания в квадран-
и
(, )Cx y
21
плюс вероятность попадания в
чательно получим:
() (, ) (, ) (,) (,).PS Fx y Fx y Fx y Fx y
22 12 21 11
61
(5.9)
5.2.Плотностьвероятностидвумернойслучайнойвеличины
X
x
x
x
x
P
F
X
x
Двумерная случайная величина
если ее функция распределения
(,)
(, )Fxy
называется непрерывной,
Y
непрерывная функция, диффе-
ренцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая сме-
шанная производная
''
(, ).
Fxy
xy
Как и для одномерной случайной величины, введем понятие плотности вероятности двумерной СВ.
Оценим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
со сторонами
и
Средняя плотность вероятности в данном пря-
.y
моугольнике равна отношению вероятности к площади прямоугольника
Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника,
.
y
устремив
и
lim lim
00
xx
00
yy
к нулю. С учетом (5.9) получим:
y
(,)(,)
xXxxyY y Fxxyy
xy xy
(, ) ( , ) (, )
Fxy y Fx xy Fxy
lim
0
x
0
y
xy
(5.10)
1(,)(,)
lim lim
yx
[
yx
00
Учитывая то, что функция
Fx xy y Fxy y
(,)(,)
Fx xy Fxy
lim
0
(, )Fxy
x
непрерывная и дифференцируе-
].
мая по каждому аргументу, выражение (5.10) примет вид:
''
(, ) (, )
Fxy y Fxy
xx
[ ] [ (,)] (,).
lim
0
y
y
''''
xy F xy
xyxy
(5.11)
Плотностью вероятности (плотностью распределения, или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины
(,)
называется вторая смешанная частная производная ее функции
Y
распределения:
2
(, )
Fxy
(, ) (, ).
xy
yFxy
xy
''
(5.12)
Плотность распределения двумерной СВ обладает свойствами,
аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной СВ:
62
1. Плотность распределения двумерной случайной величины есть
x
X
D
X
x
F
x
X
неотрицательная функция, то есть
(, ) 0.
Это свойство вытекает из того, что
y
(5.13)
(, )Fxy
– функция неубывающая по
каждому аргументу.
Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной вели-
2.
чины
(,)
По аналогии с одномерной СВ, для двумерной СВ
тие «элемент вероятности», равный
в область D равна
Y
[( , ) ] ( , ) .
PXY D xydxdy
(, ) .
ydxdy
(5.14)
(,)
введем поня-
Y
Он представляет (с
точностью до бесконечно малых более высоких порядков) вероятность
попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами dx и
D на плоскости
Тогда вероятность попадания двумерной СВ в область
.dy
геометрически изображается объемом цилинд-
Oxy
рического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения
(, )xy
и опирающегося на область D, а аналитически – двойным инте-
гралом (5.14).
Функция распределения непрерывной двумерной случайной вели-
3.
чины выражается через ее плотность вероятности по формуле:
y
x
(, ) (, ) .
Функция распределения
xy xydxdy
(, )Fxy
(5.15)
есть вероятность попадания в бес-
конечный квадрант D, который можно рассматривать как прямоуголь-
ник, ограниченный абсциссами
Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от
4.
и
и ординатами
и .y
плотности вероятности двумерной СВ равен единице:
(, ) 1.x y dxdy
(5.16)
Несобственный интеграл (5.16) есть вероятность попадания во всю
плоскость Oxy, а вероятность достоверного события равна 1.
Зная плотность вероятности двумерной СВ
(,),
можно найти
Y
функции распределения и плотности вероятностей ее одномерных со-
X
ставляющих
и Y. Учитывая (5.6) и (5.15), получим:
63
(,) () (,) .
F
F
x
x
x
yFy xydxdy
2
xFx xydxdy
(, ) () (, ) .
1
x
y
(5.17)
Дифференцируя функции распределения
ментам
и y соответственно, получим плотности вероятности одно-
()Fx
1
и
()Fy
2
по аргу-
мерных СВ:
() (, ) , () (, ) ,
12
xydy y xydx
(5.18)
т. е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной
плотности
(, )xy
ет плотность вероятности ρ
ятности
().
1
двумерной случайной величины по аргументу x да-
(y), а по аргументу y – плотность веро-
2
ПРИМЕР 1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y
4 0,17 0,13 0,25
5 0,10 0,30 0,05
3 10 12
X
Требуется: a) найти законы распределения составляющих X и Y;
b) составить функцию распределения.
РЕШЕНИЕ:
а) сложив вероятности «по столбцам», найдем закон распределения
составляющей X:
X
P
F
3 10 12 > 12
0,27 0,43 0,3
0 0,27 0,7 1
Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем закон распределения составляющей Y :
Y
P
F
4 5 > 5
0,55 0,45
0 0,55 1
b) составим функцию распределения:
Y
4 0 0 0 0
5 0 0,17 0,30 0,55
> 5 0 0,27 0,7 1
3 10 12 > 12
X
64
ПРИМЕР 2. (Задача Бюффона)
f
x
x
x
x
Иглу длиной l бросают на плоскость, на которой на расстоянии L
друг от друга проведены параллельные линии. Определите вероятность
пересечения иглой одной из линий, если .lL
РЕШЕНИЕ. Введем систему случайных
величин Х, Ф, где Х – расстояние от середины
иглы до ближайшей линии, а
– острый угол
между иглой и линией (см. рис.). Очевидно,
что расстояние X распределено равномерно в
интервале
номерно в интервале
СВ X и
02,0 2xL
– независимые, получим
. Пересечение иглой одной из линий происхо-
дит при заданном угле φ, если
0
x
[0, / 2]L
l
, а угол распределен рав-
[0, / 2]
(, ) 2 2 4
xL L
. Учитывая, что
sin
. Отсюда получим искомую
2
вероятность:
sin
l
/2
4
PddxlL
L
00
2
2/ .
5.2.1.Условнаяплотностьраспределения
Рассмотрим другой подход при определении вероятности попадания двумерной СВ в элементарный прямоугольник со сторонами
и устремим
y
и
к нулю (рис. 5.3).
y
при
и
Рис. 5.3. Вероятность попадания в прямоугольник
Рассмотрим вероятность попадания в элементарный прямоугольник как произведение вероятности попадания в бесконечную по аргументу y полосу
[, ],
xx
равную
65
() ,
на вероятность попасть в
dx
полосу
x
x
x
x
x
X
x
x
x
x
[, ]yy y
при условии, что аргумент x попал в полосу
[, ]
xx
–
(/) .yxdy
В связи с тем, что аргументы x и y равносиль-
ны, запишем:
(, ) () ( / ) () ( / ) .
ydxdy xdx y xdy ydy x ydx
(5.19)
Таким образом, двумерная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей распределения, одна из которых условная. Отсюда следует, что условная плотность распределения равна:
xy xy
xy
(/) ,
y
()
(, ) (, )
(, ) (, )
(/) .
yx
xy xy
()
x
(, )
(, )
ydx
(5.20)
ydy
Случайная величина не зависит от другой случайной величины, если
безусловная плотность распределения этой величины равна условной
плотности распределения:
() ( / ) () ( / ).
xy y yx
(5.21)
В этом случае говорят, что случайные величины
стически независимы
.
и
Y
стати-
При независимости случайных величин X и Y плотность распределения двумерной СВ (5.19) равна произведению плотностей соответствующих одномерных СВ, а интегральная функция распределения
двумерной СВ равна произведению одномерных функций:
(, ) () (),
yxy
y
x
(, ) (, )
Fxy xydxdy
x
y
() () () ().
dx y dy F x F y
12
(5.22)
5.3.Числовыехарактеристикисистемыслучайныхвеличин
По аналогии с одномерными СВ, для двумерной случайной величины введем выражения для начального и центрального моментов:
(, ) [ , ],
kl
yMxy
,
kl
yMxy
(, ) [ , ].
,
kl
kl
(5.23)
66
Если говорим о моменте n-го порядка двумерной СВ, то это зна-
x
x
x
x
x
x
x
x
X
x
x
x
чит, что суммируются индексы: nkl
.
Для однозначного задания момента двумерной СВ необходимо
указать любые два числа из трех: k, l и n. Рассмотрим подробнее:
(, ) [ , ] [] (),
1,0 1
0,1 1
2,0
0,2
yMxy Mx x
(,) [ , ] [] (),
(, ) [ , ] [ ] [],
(, ) [ , ] [ ] [],
yMxy My y
yMxy Mx Dx
yMxy My Dy
(, ) [ , ] [, ].
xy Mx y Mxy
1,1
10
01
20 2
02 2
11
(5.24)
Как видим, для двумерной СВ можно указать три центральных момента второго порядка, особый интерес вызывает смешанный момент.
Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных вели-
X
чин
и Y называется математическое ожидание произведения от-
клонений этих величин от своих математических ожиданий (смешанный центральный момент второго порядка):
cov( , ) [( )( )].
xy K M X m Y m
yxy
(5.25)
Для дискретной СВ:
nn
cov( , ) ( )( ) .
yK xmymp
yixjyij
11
ij
(5.26)
Для непрерывной СВ:
cov( , ) ( )( ) ( , ) .
yK xmym xydxdy
xy x y
(5.27)
Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных
величин
и Y равен нулю.
Доказательство. Докажем эту теорему для непрерывных СВ.
Пусть X и Y независимые случайные величины, тогда согласно (5.22)
(, ) () ()
yxy
cov( , ) ( )( ) ( , )
. Подставим это в выражение (5.27)
y K x m y m x y dxdy
()()( )()0.
xm xdx ym ydy
xy x y
xy
(5.28)
Ковариация двух случайных величин характеризует как степень
зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки
(, ).
mm
Если рассеяние (степень разброса) мало, то и ковариация мала.
y
67
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожи-
x
D
x
x
M
x
M
данию их произведения минус произведение математических ожиданий:
KMXmYm MXYmMx
xy x y y
[( )( )] [ ] [ ]
[] [ ] .
mM y mm M XY mm
xxy xy
(5.29)
Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется
отношение ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
K
xy
(, ) .
rxy
xy
cov( , )
y
[] []
xDy
(5.30)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не
зависит от степени разброса, так как функция нормирована на меру разброса
[, ]
ПРИМЕР 3. Имеются линейно зависимые случайные величины
и Y:
РЕШЕНИЕ. Пусть для заданной СВ X известно, что
[]
Dx
2
. Тогда, учитывая свойства математического ожидания и дис-
.
y
Необходимо вычислить коэффициент корреляции.
.yaxb
X
[] ,
xm
персии, вычислим математическое ожидание и дисперсию СВ Y:
[] ,
ym amb
yx
[] [],
Dy aDx
[( )( )]
Mxm y m
(, )
rxy
[( )( )] [( ) ]
aMxm xm aMxm
xy
aa
xx xx
xx x
aaDx
xx
2
.
a
y
x
[( )( )]
Mxm axb am b
xx
2
11sign.
[]
a
5.3.1.Свойствакоэффициентакорреляции
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке
11.r
2.
Если случайные величины независимы, то их коэффициент корре-
(5.31)
[1,1]
ляции равен нулю. Справедливость этого свойства очевидна, если учесть
выражение (5.28), так как в этом случае
Равенство нулю коэффициента корреляции – необходимое, но не-
3.
K
xy
0.
достаточное условие независимости случайных величин.
:
68
Из независимости случайных величин вытекает их некоррелиро-
x
K
X
ванность. Обратное не всегда верно. Убедимся в этом на примере.
ПРИМЕР 4. Имеются две СВ:
Xm x Yx
0, ( ) 0; .
3
кажите, что эти величины некоррелированные.
РЕШЕНИЕ. Вычислим ковариацию:
cov( , ) [( )( )] [ ( )] [ ]
xy M x m y m Mxx x Mx
xy
22 3
[] [ ] () 0.
Mx Mx x m x
22
3
x
2
До-
На практике для n-мерного случайного вектора
(, , , )
X
12
n
достаточно сложно найти закон распределения (интегральную функцию, плотность распределения и т. п.). Поэтому обычно указывают n
математических ожиданий
[], [ ], , [ ]
DD D
12
и 1n корреляционных моментов
n
[], [ ], , [ ],
MM M
12
n дисперсий
n
,
ij
()
Kij
характеризующих парные корреляции всех величин, составляющих вектор X. Все корреляционные моменты, дополненные дисперсиями
(1,2,,),
in
,
ii
располагают в виде матрицы:
KK K
,, ,
11 1 2 1
n
которую называют
личин.
KK K
,, ,
K
ij
,
21 2 2 2
KK K
,, ,
12
nn nn
корреляционной матрицей системы случайных ве-
n
,
(5.32)
,
Замечание. Корреляционная матрица симметрична относительно
главной диагонали (см. формулы (5.26) и (5.27)).
ПРИМЕР 5. Двумерная СВ
(, )
задана дифференциальной
Y
функцией:
22
xy
(, )
fxy
1
, внутри эллипса 1;
694
0, вне эллипса.
Докажите, что X и Y зависимые и некоррелированные СВ.
РЕШЕНИЕ. Зная двумерную плотность распределения, вычислим
одномерные плотности:
69
2
f
K
f
x
21
() (, ) 9 .
fx fxydy dy x
1
() (,) 4 .
fy fxydx dx y
2
21
() ()
fx f y
92
12
0, 3; 0, 2.
Так как
22
9, 3; 4, 2;
xx yy
xy
(, ) 16 () ( )
xy f x f y
чины. Найдем ковариацию: ( )( ) ( , ) .
как
гично
1
функция симметричная относительно OY, то
()
x
m
0.
y
Учитывая эти результаты, получим:
12
69
11
62
12
xy x y
1
Kxdxydy
xy
6
9
2
x
21
9
2
y
31
4
2
y
31
4
, то X и Y зависимые вели-
xm ym fxydxdy
2
2
Так
m
0.
0,
x
анало-
Действительно, каждый интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом, СВ X и Y зависимые и
некоррелируемые.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]