Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика задания для практических занятий. Учебное пособие
.pdf
Очевидно, что декартовы координаты не только функции обобщен-
x
s
A
ной координаты , но и времени t. В этом случае имеем:
( , , ..., , ),
xq q q t
ii k
yyqq qt
ii k
zzqq qt
ii k
12
( , , ..., , ),
12
( , , ..., , ).
12
Связи, не зависящие от времени, называются склерономными
(или стационарными), а изменяемые с течением времени – реономными
(или нестационарными).
Обобщенные силы
Обобщенная сила – это величина, равная коэффициенту при приращении обобщенной координаты в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.
Пусть система имеет k степеней свободы. Мысленно зафиксируем
все обобщенные координаты (все степени свободы) Затем одной обоб-
щенной координате дадим возможное перемещение :
i
111
ii
cos( )
Fs Fs Q q
∑
Эта работа равна произведению некоторого множителя
щения координаты
Поступая аналогично, найдем
, ,
динатам
qq .
2
q .
1
2
k
AQq.
kkk
.
Q и прира-
1
,, ,kQQ соответствующие коор-
Не следует считать, что обобщенная сила всегда имеет размерность
Н. Работа имеет размерность [Дж = Н м].
Размерность
обобщенной координаты
м
рад
3
м
81
Размерность
обобщенной силы
Н
Н м
Па
В механической системе с идеальными связями обобщенные реакции связей всегда равны нулю, т. е. при переходе к обобщенным силам
реакции связей автоматически выпадают из расчетов. В этом большое
преимущество методов Лагранжа.
Пример вычислений обобщенной силы
К барабану 1 радиусом R приложен момент М, под действием которого осуществляется подъем груза 2. Массы барабана и груза соответ-
ственно равны
т и 2т .
1
Представленная на рисунке механическая
система имеет одну степень свободы. Для
определения обобщенной силы выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота барабана (направим против часовой
стрелки). Дадим обобщенной координате
приращение и вычислим полную элементарную работу всех активных сил на этом перемещении.
∑
22
()AM mgR M mgR
.
Работа силы тяжести барабана равна нулю, так как ось его вращения
не перемещается. Тогда обобщенная сила
()QMmgR .
2
Условие равновесия системы в обобщенных координатах
Для равновесия механической системы необходимо и достаточно,
чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю:
0; 0; 0.
QQ Q
12
k
Уравнения Лагранжа:
⎛⎞
dT T
⎜⎟
dt q q
⎝⎠
11
82
,
Q
1
⎛⎞
dT T
⎜⎟
dt q q
⎝⎠
22
Q
,
2
..............................
⎛⎞
dT T
⎜⎟
dt q q
⎝⎠
kk
где Т – кинетическая энергия; q – обобщенная координата;
,
Q
k
q
– обоб-
щенная скорость.
Это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа II рода. Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.
Основные преимущества: число уравнений не зависит от количества
тел, входящих в систему; позволяют исключить из рассмотрения все неизвестные реакции.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
1. Прямоугольная призма А может скользить по гладкой горизонталь-
ной плоскости. На наклонной гладкой грани призмы помещен однородный цилиндр В, на который намотана нерастяжимая нить, перекинутая
через идеальный блок С. К концу нити прикреплен груз D массой т.
Принимая массу цилиндра равной 2т, а массу призмы 3т, опреде-
лить уравнения движения
системы, если в начальный момент она нахо-
дилась в покое, а угол = 30°. Размерами и массой блока пренебречь.
Ответ:
3/16 ;xgt 21/8 ;ygt
2
348 .zgt
2
83
2. Призма DEFH массой 6m нахо-
s
s
дится на гладкой горизонтальной плоскости. По стороне DE призмы, составляющей с горизонтом угол = 60°, катится
без скольжения каток С массой 2m под
воздействием нерастяжимой нити, обмотанной вокруг него. Барабан А массой m
и радиусом r наматывает нить, вращаясь
по закону
() 0.5tt рад.
2
Учитывая, что блок В имеет массу m,
определить закон движения призмы,
если при t = 0 она находится в покое.
3. Два груза А и В, имеющие массы m и 2m соответственно, связаны
между собой пружиной жесткости с и находятся на горизонтальной
гладкой плоскости. В начальный момент грузы развели в стороны так
что пружина растянулась из свободного состояния на величину , и отпустили без начальной скорости.
Определить скорость груза А в тот момент, когда деформация пру-
жины станет равна нулю.
,
4. Кулачок 1 массой М скользит по горизон-
тальной плоскости под действием силы F и переме-
щает толкатель 2 массой т. Толкатель движется в
вертикальных направляющих. Пружина 3, коэффициент жесткости которой с, прижимает толкатель
к кулачку. В начальный момент система находилась в покое и пружина была не деформирована.
()
Определить закон движения толкателя
Ответ:
Fmg
A
(0) 0s
.
(1 c os )
Akt
tg
ctg
,
k
;
Mm
2
tgtgc
.
2
84
полагая
st
,
5. В кулачковом механизме, расположенном в вертикальной плоско-
J
M
сти, кулачок 1, представляющий собой однородный диск радиусом r
и массой m, вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через
точку
O
. К кулачку приложена пара сил
1
с моментом M. Толкатель 2, являющийся
зубчатой рейкой, движется в вертикальных
направляющих и вращает ступенчатый
блок 3, с которым он находится в зацеплении. С блоком 3 шарнирно связан спарник 4. Массы толкателя и спарника равны
m
m
и
2
соответственно. Момент инерции
4
блока относительно его оси вращения J.
Составить дифференциальное уравне-
ние движения системы, полагая
2/3rr
3
,
/3mm
2
,
/6mm
4
,
2Rr ,
33
2
2.
mr
Массой кривошипа 5 пренебречь.
Ответ:
(3 / 2 6 sin ) 3 sin 2 ( / 6) sinmr mr m gr
sin (1 cos ) sin .
22 22
35
⎡⎤
⎢⎥
23
⎣⎦
mgr M
6. Кулачок 1, представляющий собой однородный круглый диск радиусом r и массой m, может вращаться вокруг горизонтальной оси,
проходящей через точку O перпендикулярно его плоскости и отстоящей
от его центра на расстояние r / 2. К кулачку приложена пара сил с моментом M. Движение кулачка
передается через тарелку 2 штанге 3,
которая перемещается в направляющей 4. Непрерывный контакт кулачка и тарелки обеспечивает пружина 5, коэффициент жесткости которой c. Общая масса тарелки и штанги равна m. В начальный момент тарелка находилась на расстоянии r / 2 от точки O, а пружина при этом
была
не деформирована.
Составить дифференциальное уравнение движения механизма.
Определить ускорение тарелки в момент, когда кулачок повернется на
9
2
90° из начального положения, если
cr
.
4
85
Ответ:
g
M
M
M
B
4cos8,m
2(3sin) sin22(1cos)sinmr mr cr
rM
22 22 2
2
/.acrm
7. В механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, ко-
лесо 3 неподвижно. На ось свободно насажено колесо 1 и кривошип 4,
несущий ось вращения колеса 2. Массы движущихся колес и кривошипа
соответственно равны
, , ,mm m
124
шипа
радиусы колес –
. К кривошипу приложен вращающий
, ,rr
длина криво-
12
момент M.
Считая массы колес распределенными по
их ободам, определить угловые ускорения колес и кривошипа.
Ответ:
4
1
rB
1
(2 )( )
Bmmrr m
;
2
1212 4
;
12
2
2
rr
12
2
rB
2
2
.
6
rr
ТЕСТ
m
Известны массы тел
m
и
1
и длина маятника .
2
Тогда обобщенная сила, соответствующая
обобщенной координате , равна:
1)
3)
cos ;mg 2)
2
12
cos ;mgx m g 4)
sin ;mg
2
12
sin .mgx m g
;
86
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Будник Ф. Г. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие
для студентов втузов / Ф. Г. Будник, Ю. М. Зингерман, Е. И. Снленский ; под
ред. А. С. Кельзова. – Москва: Высшая школа, 1987. – 176 с.: ил.
2. Файн А. М. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие
для техникумов / А. М. Файн. – 2-е
1987. – 256 с.: ил.
3. Сборник задач по теоретической механике на примерах горной техники :
учеб. пособие / В. С. Перевалов, Г. А. Доброборский, Л. М. Лиесберг и др. ; под
общ. ред. В. С. Перевалова. – 2-е изд. стер. – Москва : Изд-во Мос. гос. горного
ун-та, 2001. – 217 с.
4. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие для втузов /
Н. А. Бражниченко, В. Л. Кан, Б. Л. Минсберг и др. – 3-е изд., перераб. и доп. –
Москва : Высшая школа, 1974. – 520 с.
изд., испр. и доп. – Москва : Высшая школа,
Красюк Александр Михайлович
Рыков Анатолий Аркадьевич
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Учебное пособие
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 10.07.2023. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 70 экз.
Уч.-изд. л. 5,11. Печ. л. 5,5. Изд. № 88. Заказ № 223. Цена договорная
Новосибирского государственного технического университета
Отпечатано в типографии
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]