Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика задания для практических занятий. Учебное пособие
.pdf
2. Вращательное движение
J
J
2
JT
Z
.
2
3. Плоскопараллельное движение
При этом движении тело совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, следовательно
,
2
JT
р
,
2
где
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через
р
МЦС, или:
22
MV JT
сс
,
22
– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
с
При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела
равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс,
сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг
центра масс.
Эта теорема является частным случаем более общей теоремы, доказанной Кенигом
(1751 г.).
Теорема об изменении кинетической энергии системы:
TT A A
10
ei
∑∑
kk
.
Изменение КЭ системы при некотором ее перемещении равно
сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Если механическая система неизменяемая с идеальными связями, то
изменение КЭ неизменяемой системы с идеальными связями при неко-
61
тором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех
приложенных к системе активных сил
:
TT A
10ak
∑
.
Преимуществом теоремы является возможность исключения из
рассмотрения заранее неизвестных реакций связей.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
1. В планетарном механизме, расположенном в вертикальной плоскости, шестерня
шестерней
1 находится во внутреннем зацеплении с неподвижной
2. С шестерней 1 связан барабан того же радиуса, на который
намотана нерастяжимая нить с грузом
сой
m на свободном конце.
А мас-
Чему должна быть равна суммарная масса
шестерни
1 и связанного с ней барабана, чтобы
механизм остановился после того как кривошип
ОС повернется на угол
момент шестерня
1 находилась в покое в край-
?
В начальный
нем нижнем положении. При решении задачи
считать нить достаточно длинной, пренебречь
маятниковым движением груза. Массу кривошипа и нити не учитывать.
Ответ:
mm
1
1cos
.
1cos
2. Для определения натяжений набегающей
()S ветви конвейерной ленты привод А конвейера установили на
сб
катки и включили динамометр
кой
С.
D между приводом и неподвижной стой-
()S
и сбегающей
нб
Определить указанные натяжения, если показание динамометра
(кH), диаметр приводного барабана
телем мощность
Ответ:
P (кВт), а частота вращения барабана n (мин
0.5 9.55 / ( )SFPnd ;
нб
d (м), потребляемая электродвига-
–1
).
0.5 9.55 / ( )SFPnd .
сб
F
62
M
M
M
J
3. Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву
шкиву постоянный вращающий момент
Определить скорость ленты транспортера
ремещения
и
C радиусом r и массой
S, если масса поднимаемого груза A равна
каждый пред-
2
B. Привод сообщает этому
M.
v в зависимости от ее пе-
, а шкивы B
1
ставляют собой однородные круглые цилиндры. Лента транспортера, массой которой
следует пренебречь, образует с горизонтом
. Скольжение ленты по шкивам отсут-
угол
ствует.
2( sin )
MMgr
Ответ:
Vs
1
()
rM M
12
.
4. К кривошипу
OO
эпициклического меха-
1
низма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент
где
и – положительные постоянные, а – уг-
0
MM,
вр 0
ловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна
m, M – масса сателлита (подвижного колеса).
Считая кривошип тонким однородным стержнем, а сателлит – однородным круглым диском радиусом
угловую скорость
кривошипа как функцию времени. В начальный мо-
r, определить
мент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен
R; силами сопротивления пренебречь.
t
J
пр
,
e
1
пр
3
m
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
MRr
32
().
2
Ответ:
⎛⎞
M
⎜⎟
0
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
63
5. На кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма действует
M
постоянный вращающий момент
находится в покое, причем
M. В начальный момент механизм
AOB.
0
Какую угловую скорость приобретет кривошип после одного оборота, если его длина
а масса кулисы
ная и равна
F, массой камня A пренебречь.
r, момент инерции относительно оси вращения J,
m? Принять, что сила трения в направляющих постоян-
2
Ответ:
2
Jmr
Fr
22
sin
.
0
6. Для регулирования ядерного реактора нужно сообщить управля-
ющему стержню массой 50 кг колебательное движение вдоль горизонтальной прямой с амплитудой
a = 30 см и периодом 0.5 с.
Какова потребная максимальная мощность двигателя, приводящего
в движение стержень?
Ответ:
max
4.46N кВт.
7. Цилиндрический вал массой
щается с частотой
n = 600 об/мин относительно продольной горизон-
М = 10 кг и радиусом R = 0.1 м вра-
тальной оси.
С какой силой
Q надо прижать тормозную
колодку к валу, чтобы остановить его за 10 с,
если коэффициент трения колодки о вал
а радиус инерции вала
= 0.3 м? Трением в опо-
рах вала пренебречь. Найти также число
f = 0.4,
N пол-
ных оборотов вала с момента начала торможения до остановки.
Ответ: (Q = 45π Н, N = 50).
ТЕСТЫ
1. Скорость груза 1 равна 5 м/с. Радиусы подвижного и неподвиж-
ного блока равны между собой. Скорость груза
2 подвижного блока
_____м/с.
64
Варианты ответов:
g
R
g
R
1) 10; 2) 0;
3) 5; 4) 2.5.
2. Система состоит из тел
1, 2 и 3, связанных между собой посред-
ством нерастяжимых нитей. Проскальзывание нерастяжимой нити отсутствует. Блок
2 состоит из двух ступеней разных радиусов, каток 3
(однородный цилиндр) катится без скольжения. Массы всех тел одинаковы и равны
Работа сил тяжести данной системы при перемещении груза
личину
т.
1 на ве-
h равна…
Варианты ответов:
1)
2;m
h
2)
mgh
r
;
2
3)
h
4)
mgh
.
;m
r
3. Материальная точка массой
ектории
принимая
жении
АВ. Если известно, что R = 2 м, l = 0.5 м, углы = 30°, = 45°,
g = 10 м/c
2
, то работа силы тяжести на перемещение из поло-
А в положение С равна ….
1)
3)
Дж; 2)
3
3
Дж; 4)
2
10 3
10 3
2
т = 0.1 кг движется по сложной тра-
Дж;
Дж.
65
3.5. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
F
F
R
M
Пусть на материальную точку массой m действует система активных
сил с равнодействующей
сил точка будет двигаться по отношению к системе отсчета с ускоре-
а. Введем величину
нием
а
и реакции связей N. Под действием этих
и
и назовем ее силой инерции.
ma
Если в любой момент к действующим на точку активным силам
и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система будет уравновешенной:
a и
0.FNF
Это принцип Даламбера для материальной точки (начало Даламбера).
Рассмотрим механическую систему, состоящую из
точек. Возьмем точку системы массой
m . Под действием приложен-
k
n материальных
ных к ней внешних и внутренних сил точка будет двигаться с ускорением
а. Введем силу инерции и сформулируем принцип Даламбера для
механической системы:
ei
FFF
kkk
Если в любой момент к каждой из точек системы, кроме действующих на нее внешних и внутренних сил, присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система будет уравновешенной
и к ней можно применять все уравнения статики.
и
0.
Значение принципа Даламбера состоит в том, что при решении задач
динамики уравнения движения системы составляются в виде уравнений
равновесия (статики):
ei
FFF
∑
⎡⎤
mF mF mF
∑
000
⎢⎥
⎣⎦
kkk
ei
kkk
и
0;
и
0.
Введем обозначения:
uu
F ∑
– главный вектор сил инерции системы;
k
ии
∑
00
mF
– главный момент относительно центра инерции О.
k
66
Учитывая, что сумма внутренних сил и их моментов равна нулю, по-
F
R
R
лучим:
и
e
FR
∑
k
e
mF M
∑
00
k
0,
и
0.
В проекции на координатные оси эти уравнения аналогичны уравнениям статики.
Приведение сил инерции твердого тела
1. Поступательное движение. Равнодействующая сил инерции про-
ходит через центр масс,
и
ma
.
с
2. Вращательное движение вокруг
оси, проходящей через произвольную
точку О. Пусть твердое тело вращается
вокруг оси Оz, перпендикулярной
плоскости хОу (плоскости материаль-
ной симметрии). Если привести силы
и
инерции к центру О, то образуется
,
приложенная в точке О, и момент
и
MJ J
Оz Оz Оz
, лежащий в
плоскости хОу.
3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела. В этом
и
случае
0,R так как
приводится только к паре с моментом
а
с
0.
Таким образом, система сил инерции тела
и
MJ .
Оz Оz
4. Плоскопараллельное движение. Если тело движется параллельно
плоскости симметрии, то система сил инерции приведется к результи-
и
рующей силе
и
MJ , лежащей в плоскости симметрии тела.
cz cz
ma , приложенной в центре масс и паре с моментом
c
67
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
M
M
1. Определить главный вектор и главный момент
сил инерции подвижного колеса II планетарного механизма относительно оси, проходящей через центр
масс С перпендикулярно плоскости движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью . Масса колеса II равна M. Радиусы колес
равны r.
Ответ: главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС и
равен
2
2.
Главный момент сил инерции равен нулю.
r
2. Для исследования влияния быстро чередующихся растягивающих и сжимающих сил на металлический брусок (испытание на усталость) испытываемый брусок А прикрепляют за верхний конец к ползуну
B кривошипного механизма ВСО, а к нижнему концу
подвешивают груз массой М.
Найти силу, растягивающую брусок, в том случае,
когда кривошип ОС вращается
вокруг оси О с постоян-
ной угловой скоростью . OC = r, BC = l.
Указание. Выражение
1(/)sinrl
22
следует
разложить в ряд и отбросить все члены ряда, содержащие отношения r / l в степени выше второй.
Ответ:
gMr t rl t .
2
(cos ( / )cos 2 )
3. Однородный тонкий стержень массой М, имеющий
форму дуги одной четверти окружности радиусом R, одним концом неизменно связан с валом, находящимся
с ним в одной плоскости. Вал вращается с постоянной угловой скоростью .
Определить координаты
с присоединением которой устраняются добавочные динамические давления на подшипники.
2MR
Ответ:
xm
1
,
1
, xy добавочной массы 1m ,
11
/2.yR
1
68
4. В вертикальном двигателе кривошип OA вра-
A
A
щается равномерно с угловой скоростью .
Определить усилие в штоке BC поршня, когда:
1) поршень находится в верхнем «мертвом» положении и 2) когда кривошип OA занимает горизонтальное положение, если масса поршня равна m, давление
газов на поршень
а шатун AB имеет длину
Ответ: 1)
TmgFmr
TmgF
2)
,F длина кривошипа OA равна r,
.
r
⎛⎞
2
⎜⎟
⎝⎠
22
mr
22
r
;
1
.
5. Определить опорные реакции подпят-
ника А и подшипника В поворотного крана
при поднимании груза Е массой 3 т с ускорением 1/3g. Масса крана равна 2 т, а его центр
масс находится в точке С. Масса тележки D
равна 0.5 т. Кран и тележка неподвижны. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: 52.1
XX кН;
Y кН.
B
63.9
6. Конструкция, состоящая из невесо-
мого вала АВ, к которому жестко крепятся
невесомый стержень 1 длиной
с телом 2
1
(считать материальной точкой), весомый
стержень 3 длиной
. Конструкция враща-
3
ется вокруг оси АВ с постоянной угловой
скоростью ,
m – масса тела 2, 3m – масса
2
стержня 3. Размеры, указанные на чертеже,
заданы: a, b, с.
Найти реакции подпятника А и подшип-
ника B.
69
ТЕСТЫ
1. Материальная точка массой т = 2 кг сколь-
зит вниз по гладкой плоскости под действием силы
F = 4 H.
Сила инерции точки равна ____________ кгм/c
Варианты ответов:
1) 9; 2) 18;
3) 7; 4) 14.
2. Дано: ,
,РР
1
2,РР коэффициент трения груза 1 равен f.
2
Блок 2 – однородный цилиндр ради-
усом r.
В начальный момент система
находилась в покое. Трением на оси
блока пренебречь.
Главный вектор сил инерции, приложенный к грузу, равен….
Ответы:
P
Ф (sin cos )
1)
1
2
P
Ф (cos sin )
2)
1
2
3)
Ф (sin cos )Pf;
1
P
Ф (sin cos )
4)
gf
1
2
f
f
;
;
.
2
3.6. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Классификация связей
Стационарные связи не изменяются
со временем. Нестационарные – изменяются со временем (пример нестационарной связи показан на рисунке). Геометрические – накладывают ограничения на
положение (координаты).
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]