Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика задания для практических занятий. Учебное пособие
.pdf
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
R
B
R
R
R
1. Какой момент М необходимо приложить к коромыслу 1, чтобы колодки 2 при-
жимались к тормозному шкиву с нормальным усилием N = 1,2 кН? Потери на трение
в шарнирах не учитывать.
Ответ:
2/()20,3MNacab
Н ∙ м.
2. Автомобильный тягач с седельным полуприцепом имеет пять
осей: F, В, C, D, E.
Определить вертикальные нагрузки на каждую ось.
Ответ: ();
RGlsGfbGadb
RGbfbGbadb
DE
Gsls
A Т
0,5[ / / ( ) / ];
C Т
ПГ
ПГ
.[( )/ ( )0, ]5– /
3. Определить максимальную толщину
h слоя, который может
max
снять бульдозер, если сила тяжести бульдозера G = 110 кН, тяговое уси-
лие на гусеницах не более Т = 25 кН, сила сопротивления движению
самого бульдозера R = 10 кН, а сила сопротивления (кН) срезаемого слоя
= 2,3h, где h – толщина слоя, см.
h
11
*
Два однородных стержня ОА
4.
длиной а, весом Р и АС длиной b,
весом
Q соединены шарниром A и находятся
в вертикальной плоскости. Стержень
ОА укреплен шарнирно, а стержень АС
проходит через гладкую муфту B.
Определить уравновешивающий
момент М, удерживающий стержень
OA в горизонтальном положении под
углом
к стержню AC.
Ответ:
MP Q
aab
22
⎛⎞
2
cos cos
⎜⎟
2
⎜⎟
cos
⎝⎠
ТЕСТЫ
1. Материальная точка М массой
т = 2 кг удерживается в равновесии
двумя наклонными нитями. Натяжение
одной нити непосредственно после обрыва второй составит___________ H.
Укажите один вариант ответа:
6.54, 3.27, 4.95, 9.81.
12
.
2. К вершине А квадратной пластины, длины сторон которой равны
0.2 м, приложена сила F = 150 H.
Определить момент этой силы относительно точки B.
𝐹
3. Консольная балка нагружена парами сил с моментами
1790 H м
Определить момент в заделке.
и
2135 H м.M
2
M
1
13
x
yy
2. КИНЕМАТИКА
2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Кинематикой называется раздел механики, изучающий механиче-
ское движение материальных тел независимо от причин, обусловливавших это движение, т. е. независимо от действующих на него сил. Движение тел в кинематике изучается по отношению к некоторой системе
отсчета (системе координат).
В качестве времени принимается одно «абсолютное время», одина-
ковое во всех системах
ства, ни от характера движения систем отсчета. Начало отсчета времени
в задачах ведется от какого-либо условно выбранного события.
Аналитические способы задания движения точки
Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называ-
ется траекторией. Она может быть прямолинейной или криволинейной.
Движение точки считается заданным, если для любого момента можно
указать все кинематические параметры движения: положение по отношению к системе отсчета, траекторию, скорость, ускорение.
отсчета, не зависящее ни от свойств простран-
в пространстве
Векторно-координатный способ
задания движения точки
Если эти координаты известны для любого момента, то движение точки считается заданным, т. е. координаты заданы
в виде известных функций времени:
(), (), ().
xt
14
tzzt
(*)
Это уравнения движения точки в декартовой системе координат.
x
yy
Положение точки т в пространстве может быть определено радиу-
сом-вектором
222
rxyz
r
, относительно некоторой точки пространства
, а направление его определяют направляющие коси-
нусы:
().rrt
cos( ) ; cos( ) ;
,
rx
,
ry
y
cos( , )zrzr
.
rr
Уравнения (*) могут рассматриваться как параметрические с параметром t. При переходе от параметрических уравнений к уравнениям,
связывающим координаты (путем исключения параметра t), получают
уравнение траектории точки.
Например, из первого уравнения выразим
()tx
и подставим
в остальные:
[()]
x
,
[()]zz x
.
Эти уравнения дают траекторию точки в виде линии пересечения двух
поверхностей.
Естественный способ задания движения точки
При естественном способе задания
движения задана траектория движения
точки т в системе отсчета XYZ. Движение
точки будет считаться заданным, если мы
сможем в каждый момент указать ее положение на траектории.
На траектории AB точка O называется
началом отсчета. Длина дуги S называется
дуговой координатой точки т. Заданием
дуговой координаты
()SSt
для любого
момента однозначно определяется поло-
()SSt
жение точки на ее траектории.
– уравнение движения точки при
естественном способе задания движения, или закон движения точки.
15
Скорость точки
x
yy
x
X
х
Под скоростью точки подразумевается быстрота изменения радиуса-вектора или дуговой координаты точки, определяющей ее положение.
Определение скорости точки при векторно-координатном
способе задания движения
Пусть закон движения задан радиусом-вектором r,
()rrt
или
равносильной ему системой трех скалярных координат:
(),
xt
(),
t
()zzt
.
Скорость точки равна производной от радиуса-вектора точки по
времени и направлена по касательной к ее траектории в сторону движения.
dx dy dz
Vi jk
dt dt dt
,
или
VViVjVk
yz
где , ,
,
VVV –
yz
проекции скорости на координатные оси:
dx
Vx
x
Vy
y
dz
Vz
z
dt
dt
dy
dt
⎫
⎪
⎪
⎪
, или
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
V VVV
222
yz
.
Определение скорости точки при естественном способе
задания движения
Пусть движение точки т задано уравнением
()SSt
. Тогда ско-
рость точки определится по формуле
dS
Vdt
.
При движении точки в сторону возрастания дуговой координаты
dS
dt
0
, а в обратную сторону
dS
dt
16
0.
Скорость точки равна первой производной от дуговой координаты
x
по времени и направлена по касательной к траектории точки в сторону
ее движения.
Ускорение точки
Мера быстроты изменения скорости называется ускорением.
Определение ускорения точки при векторно-координатном
способе задания движения
Пусть движение точки m задано уравнением
(),
xt
⎫
()rrt
, или
⎪
yyt
(),
⎬
().
⎪
⎭
zzt
Ускорение точки равно производной от вектора ее скорости по вре-
2
Учитывая, что
мени.
Vdt
dr
, получим
adt
dr
. Чтобы найти величину
2
и направление вектора ускорения аналитически, представим радиусвектор через его проекции:
,rxiyjzk
22 2 2
тогда
dr dx dy dz
aijk
22 2 2
dt dt dt dt
2
dx
ax
x
dt
2
dy
ay
y
dt
2
dz
az
z
dt
⎫
,
⎪
2
⎪
⎪
⎪
aa a a xyz
,
⎬
2
⎪
xyz
⎪
⎪
,
⎪
2
⎭
,
222 222
.
17
Определение ускорения точки при естественном способе
задания ее движения
Пусть точка M движется по некоторой траектории
()SSt
, лежа-
щей в соприкасающейся плоскости.
dV d s
a
dt
– радиус кривизны траектории.
где
dt
2
2
.
a
2
V
n
,
Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус
кривизны траектории в данной точке кривой.
Нормальное ускорение
кривой; a
ную сторону оси
может быть направлено в положительную или отрицатель-
.
a всегда направлено в сторону вогнутости
n
2
n
⎛⎞
⎜⎟
dt
⎝⎠
22
18
22
aa a
n
a
tg ; .
a
dV V
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
2
2
,
Частные случаи движения точки
1. Прямолинейное движение точки. Траектория – прямая, следова-
2
тельно,
сательному
, тогда
aa
V
a
n
dV
.
0.
dt
Поэтому полное ускорение равно ка-
2. Равномерное движение точки. Тогда V = const, следовательно,
dV
a
a
n
0
, поэтому полное ускорение равно лишь нормальному
dt
2
V
.
3. Равномерное прямолинейное движение точки
0; 0
aa
.
n
4. Равнопеременное движение, когда за равные промежутки времени
скорость изменяется на равные величины:
dV
dt
const,
SV
0
или
at
2
.
2
,VV at
0
a
где
V – скорость точки при 0t (начальная скорость),
0
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
1. Конкобежец, двигаясь равномерно по беговой дорожке стадиона,
проходит путь L = 1000 м за 1 мин 15 с.
Полагая, что траектория, по которой движется конкобежец, –
плоская кривая, состоящая из двух прямолинейных участков и двух
криволинейных, имеющих вид полуокружностей радиусом R = 30 м,
определить наибольшую и наименьшую величину ускорения конкобежца.
Ответ:
max
5.93 м/c ,a
2
min
0.a
19
2. Стержень AB длиной l падает,
x
H
g
g
находясь во все время движения в вертикальной плоскости. Концы A и B стержня
при этом скользят по вертикальной стене
и горизонтальному полу соответственно.
Найти траектории точек C и D
стержня (AC = l/2 AD = 3l/4
), а также ра-
диус кривизны траектории точки D в момент соприкосновения стержня с полом.
Ответ: траектория точки C – окружность
рия точки D – эллипс
22 2
9
DD
9
yl
16
,
222
xyl , траекто-
cc
1
/2
.12l
/4
3. От самолета, который летит с посто-
янной скоростью
v на высоте H над Зем-
0
лей, в некоторый момент отделяется точка M. Движение точки происходит в вертикальной плоскости с постоянным ускорением g.
Найти: 1) траекторию точки в неподвижной системе координат Oxy, начало которой совпадает с положением точки в момент ее отделения от самолета; 2) расстояние l
, на котором точка должна отделиться от самолета, чтобы попасть
в точку A на поверхности Земли; 3) величину скорости точки M и угол
между вектором скорости этой точки и вертикалью в положении A.
Ответ: 1)
3)
g
2
yx
2
;
2)
2
v
0
2
2;vv
H
0
lv
2
;
0
g
⎛⎞
arctg
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
v
0
.
H
2
ТЕСТЫ
1. По окружности радиусом R = 1 м движется точка по закону
3
, где t – в секундах; s – в метрах.
3st
Касательное ускорение точки в момент t = 2 c равно……м/c
20
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]