Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика задания для практических занятий. Учебное пособие
.pdf
Ответ:
F
g
M
sin
ga
cos( )
;
cos
mgT
cos( )
.
a
O
P
5. Истребитель массой m = 2.5 т дви-
жется со скоростью 540 км/ч, садится на
палубу авианосца. Для сокращения пробега в момент касания колесами палубы
истребитель цепляется за натянутый резиновый трос, который, растягиваясь, создает тормозную силу, меняющуюся по
закону T = ks, где k
= 1.6 кН/м; s – прой-
денный тормозной путь, м.
Определить общий пробег L истреби-
теля по палубе.
*
6
. Точка массой m брошена с поверхности земли вертикально вверх
с начальной скоростью
. На точку действует постоянная сила тяжести
V
0
и сила сопротивления, модуль которой пропорционален квадрату ско-
2
рости:
сопр
Найти модуль
Ответ:
kmV (k > 0 – заданный коэффициент).
V скорости в момент падения точки на землю.
1
2
10 0
1VV kV
.
ТЕСТЫ
1. Лифт опускается с ускорением a = g. Сила давления
груза массой
m = 50 кг на дно лифта равна … Н.
1) 25g, 2) 35g, 3) 10g, 4) 0, 5) 30g.
41
2. Точка массой т = 4 кг движется по
М
x
M
p
прямой так, что скорость точки изменяется согласно представленному графику
().VVt
По второму закону Ньютона равнодей-
ствующая всех действующих на точку сил
R = … Н.
1) 8, 2) 6, 3) 32, 4) 14.
3.2. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Механической системой материальных точек или тел называется
такая их совокупность, в которой положение или движение каждой
точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.
Представим себе механическую систему, состоящую из
ных точек
, , ,
MM
12
и обозначим координаты точки через
массами соответственно
n
; ;
iii
. Геометрическая точка
yz
n материаль-
, , ,
mm m
12
С, определяемая координатами
mx my mz
∑∑∑
ii ii ii
xyz
ccc
; ; ,
(1)
MMM
i
где
– масса всей системы, называется центром инерции или
m
∑
i
центром масс системы. Умножив числитель и знаменатель в этих формулах на ускорение свободного падения
xpypz
∑∑∑
xyz
ссс
ii ii ii
; ; ;
PPP
координаты центра тяжести (ЦТ), где
g, будем иметь:
Р – вес системы. Очевидно, что
центр инерции (ЦИ) совпадает с центром тяжести системы. Понятие ЦИ
гораздо шире, чем понятие ЦТ, поскольку ЦТ существует, только когда
система находится в поле сил гравитации, а ЦИ не зависит от действия
на систему каких-либо сил.
42
Положение центра инерции может быть также определено значе-
M
M
M
M
M
нием радиуса-вектора, проведенного в центр инерции из начала координатных осей. Обозначим радиусы-векторы точек системы
через
n
, , , ,
rr r тогда
12
n
rM
с
∑
mr
ii
. (2)
, , , М M
12
Это векторное равенство равносильно предыдущим трем, так как проецируя обе части равенства (2) на координатные оси, получаем равенство (1).
Теорема о движении центра масс механической системы:
e
F∑
ci
.
Центр инерции системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все
внешние силы.
Это уравнение имеет вид основного уравнения динамики для материальной точки, находящейся под действием внешних сил.
Проецируя уравнение на координатные оси, получаем:
∑
e
,
xX
ci
yY
ci
∑
e
,
zZ
ci
∑
e
.
Это дифференциальные уравнения движения центра масс.
Значение теоремы состоит в следующем:
1) дает обоснование использования методов динамики точки при
рассмотрении системы, т. е. решение, которое получаем, рассматривая
тело как материальную точку, определяет закон движения центра масс
этого тела. Поступательно движущееся тело всегда можно рассматривать как материальную точку;
2) теорема позволяет
при определении закона движения центра масс
любой системы исключать из рассмотрения все неизвестные внутренние силы. В этом состоит практическая ценность.
43
Закон сохранения движения центра масс
M
J
Это следствие теоремы о движении центра масс.
1. Пусть сумма действующих на систему внешних сил равна нулю:
е
0,
∑
F
i
тогда 0;
a
с
V
с
const.
Следовательно, в этом случае центр масс системы движется с по-
стоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно. В частности,
если было
V
то ЦИ так в покое и останется.
0,
с
2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-
либо ось равна нулю, то проекция вектора ускорения центра масс на эту
0,
ось тоже будет равна нулю
x
c
центра масс на эту ось будет величиной постоянной:
Если в начальный момент центр масс покоился, то получаем
а значит, проекция вектора скорости
xV
ccx
const.
const.
x
c
То есть центр масс остается неподвижным во все время движения механической системы.
Осевые моменты инерции
Момент инерции тела относительно оси, радиус инерции
Осевой момент является мерой инертности тела при вращательном
движении и играет такую же роль, как масса при поступательном движении. Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси
называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех
точек тела (системы) и квадратов их расстояний до этой оси.
1. Тонкий однородный стержень длиной
ции относительно оси
Az:
l и массой М. Момент инер-
2
l
J
z
.
3
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом
2
MR
z
.
44
R и массой М:
3. Круглая однородная пластина (диск):
M
J
J
J
J
M
M
M
2
R
J
zc
.
2
Если тело является неоднородным диском или стержнем, то в задаче
дан радиус инерции
М – масса тела. Радиус инерции – это расстояние от оси той точки,
где
i, тогда
2
,
Mi
z
в которой нужно сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции этой
точки был равен моменту инерции всего тела.
Момент инерции тела относительно параллельных осей
(теорема Гюйгенса–Штейнера)
Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут
в общем случае разными. Однако, зная
можно найти
относительно другой, ей параллельной.
О
относительно одной оси,
с
Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен мо-
менту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через
центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела и квадрата расстояния между осями:
2
JMd
ОZCZ
.
Очевидно, что
JJ
OZ CZ
,
следовательно, момент инерции тела от-
носительно оси, проходящей через центр масс, будет наименьшим для
всех осей данного направления.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
1. Электрический мотор массой
установлен без креплений на
1
гладком горизонтальном фундаменте; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной
, на другой конец стержня насажен точечный груз массой
2
ловая скорость вала равна
.
45
2
и массой
3
; уг-
Определить: 1) горизонтальное движение мотора;
M
M
2) наибольшее горизонтальное усилие
R, действующее
на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте; 3) угловую скорость
вала элек-
тромотора, при которой электромотор будет подпрыгивать над фундаментом, не будучи прикреплен болтами.
(2)MM
Ответ: 1) гармонические колебания с амплитудой
и периодом
2/
; 2)
(2)RM M
22
2
; 3)
123
()
MMg
123
(2)
MM
23
2. Механизм состоит из двух однородных стержней:
и весом
прикрепленного к концу стержня
P , 1OB длиной 2 и весом 2P и ползуна A весом Q, шарнирно
1
OA,
OO . Механизм, размещен-
11
OA длиной
ный в вертикальной плоскости, прикреплен к
подставке
кой горизонтальной плоскости. Стержень
CD весом P, расположенной на глад-
OB
1
переводят из одного горизонтального положения
в другое против движения часовой стрелки, приложив к нему пару сил.
Определить перемещение подставки
(2)PQ P
Ответ:
1122
s
PP P Q
12
, вправо.
CD.
3. Длина кривошипа OA равна a, а вес
P
, вес ползуна A –
1
кулисы, совершающей возвратно-поступательное движение, –
Определить траекторию центра масс кулис-
ного механизма.
(2 2)
aP P P
Ответ: эллипс с полуосями
123
2( )
PP P
123
(2)
aP P
12
,
2( )
PP P
123
23
MM
.
1
P
, вес
2
P .
3
.
46
4. Определить перемещение незаторможенного самосвала, находя-
щегося в начальный момент в покое, если его кузов весом 4 т из горизонтального положения повернулся вокруг оси О, перпендикулярной
к плоскости чертежа, на угол 30°. Вес грузовика без кузова равен 1.5 т.
Положение центра тяжести С кузова указано на чертеже, причем ОА =
= 2 м, АС = 50 см. Сопротивлением
движения самосвала пренебречь.
Ответ: влево на 39 см.
ТЕСТЫ
Платформа массой
80m кг и длиной 6AB м стоит на глад-
1
кой горизонтальной плоскости. На платформе в положении A находится
тележка массой
40m кг . Если тележка под воздействием внутрен-
2
них сил переместится в положение B, то платформа…..
Варианты ответов:
1) переместится вправо на 2 м; 2) переместится влево на 6 м;
3) переместится влево на 2 м; 4) переместится вправо на 6 м;
5) останется на месте.
47
Теорема об изменении количества движения
s
s
х
s
s
s
F
механической системы
Количеством движения материальной точки называется векторная величина
Единица измерения
Элементарным импульсом силы называется векторная величина
равная произведению вектора силы
равная произведению массы точки и вектора ее скорости.
,mV
[кг м/с]
, или
[Нс].
F
и элементарный промежуток
времени dt:
t
ds Fdt
⇒
Импульс силы за некоторый промежуток времени
1
.
Fdt
∫
0
t равен опреде-
1
ленному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от 0
до
t . Если сила F постоянна по модулю и направлению, то
1
В общем случае модуль
может быть вычислен по его проекциям на
координатные оси:
t
1
;
Fdt
х
∫
0
Единица измерения s –
[Нс кгм с/с ]кг м / с .
По второму закону Ньютона
t
1
;
Fdt
yy
∫
0
2
,ma F
∑
t
1
zz
∫
0
а так как
Fdt
.
dV
, то
dt
,ds
.sFt
()dmV
dt
(*)
∑
к
– производная по времени от количества движения материальной точки
равна сумме действующих на нее сил (это теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме).
Умножим обе части равенства (*) на dt и проинтегрируем:
t
1
или
mV mV F dt∑
10 к
,
∫
0
48
mV mV S∑
10 к
.
Изменение количества движения материальной точки за некоторый
F
промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на
точку сил за тот же промежуток времени (теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме).
Количеством движения механической системы будем называть
векторную величину
тору) количеств движения всех точек системы
равную геометрической сумме (главному век-
,Q
QmV ∑
kk
.
Радиус-вектор центра масс
ференцируем левую и правую части этого уравнения по времени:
∑∑
dr dr
k с
mM mVMV
kkkс
dt dt
⇒
rM
с
mr
∑
kk
, или
следовательно,
mr Mr∑
kk с
QMV
. Продиф-
.
с
Количество движения системы равно произведению массы всей системы и скорости ее центра масс.
Очевидно, что при
V = 0 Q = 0, например, при вращении тела от-
c
носительно оси, проходящей через центр масс тела.
Если движение тела сложное или плоскопараллельное, то Q не зависит от вращательного движения вокруг центра масс (например, колесо катится по рельсу). Количество движения – характеристика поступательного движения тела, а при сложном движении – характеристика поступательной части
движения вместе с центром масс.
Рассмотрим систему из n материальных точек. Составим уравнение
движения точек и сложим их.
ma F F∑ ∑ ∑
kk k k
∑ ∑ ⇒
ma mV
то
kk kk
ei
ddQ
dt dt
, так как 0
dQ
dt
F∑
i
(свойство внутренних сил),
k
e
∑
.
k
49
Производная по времени от количества движения системы равна
F
F
F
x
M
F
геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
В проекциях на оси:
dQ
dt
x
e
∑
kx
;
dQ
dt
y
∑
e
ky
;
dQ
dt
z
e
∑
.
kz
Разделив переменные и взяв интеграл, получим запись теоремы об
изменении количества движения в конечной форме:
QQ Fdt∑
10
1
e
или
,
k
∫
0
QQ S∑
10
e
k
t
в проекциях на координатные оси:
e
QQ S
∑
10
QQ S
10
QQ S
10
xkx
∑
yy ky
∑
zz kz
,
e
,
e
.
При решении задач о движении твердого тела удобнее пользоваться
e
.
теоремой о движении центра масс,
зами, жидкостью, реактивным движением и ударом удобнее пользо-
ваться теоремой об изменении количества движения
F∑ Однако в задачах с га-
ck
dQ
∑
dt
e
.
k
Следствие (законы сохранения количества движения):
1) если сумма всех внешних сил, действующих на механическую си-
стему, равна нулю
e
F∑
k
0,
то
– вектор количества движе-
constQ
ния постоянен по модулю и направлению;
2) если сумма проекций всех действующих сил на какую-либо ось
равна нулю
e
F∑
kx
есть величина постоянная
то проекция количества движения на эту ось
0,
( const).
Q
х
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]