Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретическая механика задания для практических занятий. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ

1. Кулисный механизм, показанный на рисунке, приводится в дви-

жение кривошипом ОС, вращающимся с постоянной угловой скоростью

 вокруг оси О.

Определить количество движения механизма

в момент

t

с, если в начальный момент кри-



вошип занимал крайнее правое положение. Массы кривошипа, ползуна и кулисы соответственно

равны

,m 2m и 3m . Расстояния: ОВ = а;

2OC a ; АВ = 2а. Кривошип и кулису считать однородными стерж-

нями.

Ответ:

⎛⎞⎛⎞

Qam m m m

    

03 2 3 2

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

ТЕСТЫ

1.  На рисунке показаны скорости двух тел до

(, )uu соударения.

(, )vv

и после

2 м/сv 

Массы тел:

5m 

кг,

4 м/сv  ,

1 м/сu 

1m 

кг. Модуль импульса ударной силы,

1 м/сu 

действующей на тело 1 за время удара равен….

Варианты ответов:

1) 0 Н ∙ с; 2) 10 Н ∙ с;

3) 5 Н ∙ с; 4) 6 Н ∙ с.

2.  Однородная квадратная пластина со стороной а = 0.8 м и массой

т = 2 кг вращается вокруг оси, проходящей через ее центр и лежащей



в плоскости пластины с угловой скоростью



.5 с

Количество движения этой механической системы равно ….. кг ∙ м/c.

Варианты ответов:

1) 4; 2) 16;

3) 8; 4) 0.

3.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ

ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина

, определяемая равен-

()mmV

ством

() ,mmV r mV

где

– радиус-вектор движущейся точки. Век-

тор

направлен перпендикулярно плос-

()mmV

кости, проходящей через дуль равен

(*)

и центр О, а мо-

() ,mmV mVh

где h – кратчайшее

расстояние от центра О до линии действия век-

.mV

тора

Момент количества движения (МКД) точки

относительно какой-либо оси Oz, проходящей через центр О, будет равен проекции вектора

() () ()cos.

mmV mmV mmV

 

на эту ось:

()mmV



⎡⎤

 

⎣⎦

Продифференцировав обе части уравнения (*), получим теорему об изменении момента количества движения точки:





⎡⎤

() ()

mmV mF

⎣⎦



Производная по времени от момента количества движения точки, взятая относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Из равенства следует, что если

() 0,mF



то



()соnst.mmV



Если момент действующих сил относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная.

Такое возможно в двух случаях: либо

FF

∑

, либо плечо

равно нулю, тогда эта сила будет называться центральной, т. е. линия ее

действия проходит все время через центр О (например, сила притяжения

планет к Солнцу, сила натяжения нити при кордовой модели).

Главным моментом количества движения (или кинетическим моментом) системы относительно центра О называется величина ная геометрической сумме моментов количества движения всех точек

системы относительно этого центра:



KmmV

00kk

Аналогично определяются МКД относительно координатных осей:

KmmV

yykk

KmmV

zzkk

Главный момент количества движений (МКД) системы может рассматриваться как характеристика вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела вокруг неподвижной оси Z:





∑



xkk

∑



∑





, рав-

KJ

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси и угловой скорости тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси, то

Рассмотрим теорему об изменении главного момента количества движения механической системы (теорема моментов).

Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра:

KJ J J  .

11 2 2zz z nzn





∑



0ek



Проецируя уравнение на координатные оси, получаем:



∑







∑



∑

Для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс, теорема сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра:

Из теоремы можно получить два следствия.

1.  Если сумма моментов всех действующих внешних сил относи-

тельно данного центра равна нулю, то главный МКД относительно этого центра будет постоянен:

2.  Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный МКД системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

∑

Это законы сохранения главного МКД, т. е. внутренние силы изме-

нить главный МКД не могут.

Частный случай вращающейся системы





∑



() 0 const.mF K ⇒ 

∑

( ) 0 const.

mF K ⇒ 

хх















Если система вращается относительно оси, проходящей через центр

() 0

масс, то сюда два вывода:

няемая система);

шаться и наоборот (например, вращение фигуристов, гимнастов – при исполнении сальто, раскачивание качели и т. п.).

KJ. Если в этом случае

а) если тело абсолютно твердое const ,()

б) если система изменяемая, то при увеличении

mF

∑

J  то и  = const (неизме-

, то const,

J  от-

 будет умень-

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ

1. Два тонких однородных диска 1 и 2, массы и радиусы которых равны соответственно

тогональных осей

m , 1r и 2m , 2r , могут вращаться вокруг их ор-

Oz и

. Диск 1 раскрутили до угловой скорости 

и привели затем в контакт с невращающимся диском 2, причем расстояние между точкой соприкосновения и осью диска 1 равно а. Через некоторое время (за счет трения) диски начнут вращаться без проскальзывания. Найти установившиеся угловые скорости дисков.

Ответ:

 

mr m a



11 2

mar

rmr ma



211 2



2. Шкив M, вращающийся с угловой ско-

ростью

 , тормозится при помощи руч-

ного тормоза.

С какой силой чтобы шкив остановился через эффициент трения

P надо прижать рукоятку,

t с, если ко-

f, длина рукоятки a,

OK = b, момент инерции шкива J, а его ра-

диус

r. Определить число оборотов, совер-

шенных шкивом до его остановки.

bJ t

Ответ:





arft





arfP



3. С какой угловой скоростью будет вращаться приводной барабан

ленточного конвейера через 3 с после начала движения, если масса барабана рабана относительно его оси вращения

жения ленты

m = 0.7 т, диаметр барабана D = 0.5 м, радиус инерции ба-

i = 0.23 м, крутящий момент

0.75 кH м,M 

Ответ:

момент сил сопротивлений

[ 0.5( ) ] / ( ) 12.15 c .MM S SD mi

    

5 кHS  и

c12

2.7 кH.S 

25 H м,M  силы натя-



4. После выключения двигателя маховик, вращающийся с угловой

скоростью

 , тормозится силами аэродинамического сопротивле-

ния, момент которых пропорционален квад-

рату угловой скорости



где  =

,M 

= const > 0.

Определить время, за которое угловая скорость маховика уменьшится вдвое, если его момент инерции относительно оси вращения ра-

вен

Ответ:

t 







ln 2.

ТЕСТЫ

1. Регулятор Уатта в установившемся движении при

угловой скорости вращения инерции

I = 40 кг ∙ м

. Сопротивлением вращению прене-





имеет момент

12 с

брегаем.

В случае сохранения кинетического момента при уг-



ловой скорости

 момент инерции

с3

I равен…..

Варианты ответов:

1) 160, 2) 240,

3) 120, 4) 10.

2. Дано: f – коэффициент трения

скольжения груза Блок

2 – однородный цилиндр ради-

, 2 .PPP P

уса. В начальный момент система

находилась в покое. Трением на оси блока пренебречь.

Кинетический момент системы относительно оси вращения блока

равен…..

Ответы: 1)

Pr (cos sin ) ,Kft

Pr (sin cos ) ,Kft

Pr (sin cos ),Kf

2Pr(sin cos ) .Kft

3.4. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Элементарной работой силы F, прило-

женной в точке личина ,

dA F ds

М, называется скалярная ве-

 где



– проекция силы



на касательную к траектории (направление

cos ;

скорости).





При остром угле

(сила помогает движению), если

cos . dA F ads

 работа положительна

 – тупой,

работа отрицательна (мешает движению);

 = 90° работа равна нулю (не влияет

при на движение).

Учитывая, что

ds dr

, где dr – вектор элементарного перемеще-

ния точки, получаем скалярное произведение двух векторов:



.dA Fdr

Элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора

силы и вектора элементарного перемещения точки ее приложения.

; ; ,

Так как

rxryrz то аналитическое выражение работы

xyz

dA F dx F dyFdz

xyz

Работа на любом перемещении – это предел интегрируемой суммы:

AFds

()



∫



или

().

()

 Единица измерения ра-



Если величина const,F

AFdxFdyFdz∫

MM xyz

()

 то



боты – джоуль = 1 Н  м.

Графический способ вычисления работы

Геометрический смысл работы – площадь, огра-

ниченная осью S, кривой ()

лы



S и ординатой си-

Мощность

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершен-

ную в единицу времени:

Fds

 



dt dt



Мощность равна произведению касательной составляющей силы на

скорость. Если работа совершается равномерно,

Nt

. Единица изме-

рения ватт = 1 Дж/с. В технике используется также 1 лс = 736 Вт и 1 кВт = 3,6 10

Дж.

Примеры вычисления работ

1. Работа силы тяжести. Пусть точка М под действием силы тяжести

перемещается из положения

в положение 1:М

()

Ph

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения точки, т. е. является потенциальной.

2. Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на плоско-

сти и прикрепленный к свободному концу пружины. 0l – длина свободной пружины; l – длина растянутой пружины;

жины; так как



Acxdxxx  

() 01

cx

то

() .

∫

ll  – удлинение пру-



Этот же результат показан графически.

Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости и разности квадратов начального и конечного удлинения.

Формула справедлива и тогда, когда перемещение груза не является прямолинейным, т. е. не зависит от траектории, а следовательно, сила упругости тоже является потенциальной.

3. Работа силы трения.

Пусть точка

движется по шероховатой поверхности по кривой

М . Известны

, N –

тр

нормальная реакция поверхности. Тогда

 

тр тр



AFdsfNds 

() тр тр

∫∫

Если численно сила трения постоянна, то

()тр

Fs

где s – длина дуги кривой. Таким образом, работа силы трения скольжения всегда отрицательна.

4. Работа сил, приложенных к вращающе-

муся телу:





∫

– вращающий момент. В случае постоян-

ного момента

AM.

Мощность:

dA d

 



dt dt

Скалярная величина

, равная поло-

вине произведения массы точки и квадрата скорости, называется кинетической энергией (КЭ) материальной точки.

Единица измерения КЭ – джоуль (Дж) та же, что и работы.

Теорема об изменении КЭ точки в конечном виде:

A

∑

()

Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Скалярная величина, равная сумме КЭ всех точек системы, равна кинетической энергии механической системы:

T 

∑

Кинетическая энергия при различных видах движения твердого тела

1. Поступательное движение

T 

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]