Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика задания для практических занятий. Учебное пособие
.pdf
Варианты ответов:
y
B
1) 24, 2) 36,
3) 12, 4) 6,
5) 18.
6sin3
2. Точка движется согласно уравнениям
4cos3 ;xt
t
(x, y – в метрах).
Угол (в градусах) между осью Oy и вектором скорости точки
в положении
0, 6xy
равен……..
Варианты ответов:
1) 90, 2) 60,
3) 30.
2.2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющий две любые точки тела,
во все время движения остается себе параллельным (например, АВ).
Теорема. При поступатель-
ном движении твердого тела
траектории, скорости и ускорения всех его точек одинаковы:
dV dV
dt dt
A
, или
aa .
BA
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Если во все время движения твердого тела две какие-либо его точки
остаются неподвижными, то такое движение тела называется вращательным вокруг неподвижной оси, а прямая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения тела.
()t
– уравнение вращения твердого тела.
За положительное направление примем направление против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного конца оси OZ.
21
Быстрота изменения называется угловой скоростью. Величина уг-
р
ловой скорости твердого тела при вращении его вокруг неподвижной
оси равна первой производной от угла поворота по времени:
.
Знак определяет направление вращения тела. Когда вращение про-
исходит против хода часовой стрелки > 0, то происходит положительное приращение угла. Размерность угловой скорости 1/c, или рад/с.
Угловую скорость можно изображать в виде вектора
торого равен
и который направлен вдоль оси вращения в ту сторону,
модуль ко-
,
откуда видно, что вращение происходит против хода часовой стрелки.
Такой вектор определяет сразу и модуль, и ось вращения, и направление
вращения вокруг этой оси.
Угловое ускорение
Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с изменением времени:
2
d
2
dt
.
Числовое значение углового ускорения тела в данный момент равно
первой производной от угловой скорости или второй производной от
угла поворота по времени.
2
Размерность углового ускорения
1/c ,
или
Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения
2
ад/c .
ddt
;
если
совпадает с направлением
то вращение ускоренное, если
,
нет – замедленное.
Равномерное и равнопеременное вращение
Если угловая скорость во все время движения тела остается посто-
янной, то вращение тела называется равномерным ( = const),
.
t
В технике угловая скорость часто выражается в оборотах в минуту
22
2
(об/мин). 1 оборот = 2 радиан, 1 мин = 60 с,
nn
(перевод
60 30
об/мин в рад/с).
Если угловое ускорение все время остается постоянным, то такое
вращение называется равнопеременным:
2
( const),
0
,t
tt
0
.
2
Если и имеют одинаковые знаки, движение – равноускоренное,
в противном случае – равнозамедленное.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Скорость точек тела называется линейной или окружной
Vh
, где h – расстояние от точки до оси вращения, это радиус
hd
dt
окружности (траектории точки).
Числовое значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела и расстояния от этой точки до оси вращения. Скорость направлена по касательной к описываемой окружности. Так как для всех точек тела одинаковы, то скорости точек
вращающегося тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения.
Ускорение точек вращающегося тела:
2
dV
a
;
dt
V
a
n
, или ah
23
;
2
ah ;
n
aaa h h
R
R
R
22 2 22
ah.
() ( )
n
22
,
Отклонение вектора полного ускоре-
ния от радиуса определяется углом
a
tg
a
n
.
2
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
1. Для спуска груза M, при-
вязанного к концу троса, намотанного на барабан III, вытягивают со скоростью v канат A,
намотанный на барабан 1. На
одной оси с барабаном 1 ради-
r насажено зубчатое ко-
усом
лесо I радиусом
1
, жестко
1
скрепленное с ним. Зубчатое
колесо I сцеплено с зубчатым
колесом 2 радиусом
r
, кото-
2
рое вращается как одно целое вместе с зубчатым колесом II радиусом
ющимся как одно целое с барабаном III радиусом
. Последнее сцеплено с зубчатым колесом 3 радиусом
2
.
3
r , враща-
3
Определить скорость, с которой спускается груз M, если оси всех
зубчатых колес неподвижны.
vR R
Ответ:
vR
22
M
12
rr
12
.
2. Точка A на кромке трехлопастного винта
самолета имеет в момент разгона ускорение
𝑎.
Найти скорость точки A и звисимость угла
поворота вала винта от времени, если OA = R,
а вектор ускорения в некоторый момент
,
24
наклонен к прямой OA под углом . Считать, что винт разгоняется из
A
состояния покоя = 0 равноускоренно.
2
2
R
va t
; (sin ) .
Ответ:
(sin )
at
3. Редуктор лебедки, поднимающий вагонетку с грузом из шурфа, состоит из двух зубчатых колес 1 и 2,
числа зубцов которых равны соответ-
ственно
связан барабан радиусом
z и 2z . С колесом 2 жестко
1
r , на кото-
2
рый намотан трос, привязанный к вагонетке.
Найти закон вращения колеса 1 такой, чтобы вагонетка двигалась
равноускоренно с ускорением 0.5 м/c
40 см.r В начальный момент система находилась в покое.
а
2
Ответ:
0.0185 рад.t
1
2
2
. Известно, что
30,z
1
90,z
2
4. Редуктор состоит из четырех цилиндрических шестерен с числом
зубцов
1
, , , zz zz соответственно. Вал 1 вращается по закону
1234
23
3рад tt из состояния покоя. Все шестерни жестко закреплены
на валах.
Найти угловую скорость и угловое ускорение шестерни 4 для
момента t = 1 с, если
Ответ:
1.75 рад/c,
6,z
1
18,z
2
4 рад/c .
2
12,z
3
16.z
4
25
ТЕСТЫ
A
B
B
X
Два шкива соединены ременной передачей. Точка А одного из шки-
вов имеет скорость 20
V см/c. Скорость точки В другого шкива
в этом случае равна ……..
Варианты ответов:
1) 10
V cм/c; 2) 40
3)
5
V см/c; 4) 20
B
V см/c;
V см/с.
B
2.3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Плоскопараллельным (или плос-
y
B
Y
A
φ
ким) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки
S
перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной
плоскости.
Положение фигуры S в плоскости
0
О
X
A
XOY определяется положением какого-
x
нибудь отрезка AB (см. рисунок).
В свою очередь, положение отрезка АВ
, , .
можно определить, зная координаты
XY
AA
Точку А, выбранную
для определения положения фигуры S, будем называть полюсом.
Чтобы знать закон движения фигуры, необходимо задать зависимости:
(), (), ()
ft Y f t f t
123
AA
.
26
Это уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости. Первые
A
A
M
А
M
M
два уравнения определяют поступательное движение фигуры (при
const),
гуры вокруг полюса ( const,
а третье уравнение определяет вращательное движение фи-
X const).
Y
Следовательно, движение плоской фигуры в ее плоскости может
рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при
котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.
Определение скоростей точек плоской фигуры
Скорость любой точки М плоской
фигуры геометрически складывается
из скорости какой-нибудь другой
точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при
вращении фигуры вокруг этого полюса:
VVV
VMA
MA
, при этом
MA
, где – угловая скорость
VMA
A
фигуры. Модуль и направление скорости
находятся построением парал-
V
лелограмма.
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую
через эти точки, равны друг другу, т. е.
VV
AB
cos cos .
27
Мгновенный центр скоростей
A
B
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры,
скорость которой в настоящий момент равна нулю: 0.
V
P
Если тело движется непоступательно, то такая точка существует
и при этом единственная.
Если за полюс принять точку Р, то
VVV V
PPAPA
, так как 0.
V
Скорости точек плоской фигуры в
данный момент определяются так,
как если бы она вращалась вокруг
мгновенного центра скоростей:
P
VPB ,
VPA
A
VV
VPB
B
AB
,
PA PB PN
,
V РА
A
V
N
...
.
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям
от мгновенного центра скоростей.
Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
а) Если движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела
по поверхности неподвижного тела, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижного тела,
имеет скорость 0
V и, следовательно, является
P
мгновенным центром скоростей.
б) Если скорости точек А и В параллельны друг
другу, причем линия АВ не перпендикулярна векторам скоростей, то мгновенный центр скоростей
находится в бесконечности, а движение в данный
момент будет мгновенно поступательное.
,
28
в) Если скорости точек А и В параллельны друг другу и при этом
M
М
M
M
M
M
M
линия АВ перпендикулярна вектору скорости точки А, то мгновенный
центр скоростей Р определяется построением, показанным на рисунке.
Плоскопараллельное движение
(определение ускорений точек тела)
Пусть тело совершает плоское движение в координатах XOY. Требуется
определить ускорение точки М. Обозначим полюс точкой А и проведем через
него оси
,yx
которые движутся вместе
с полюсом А, оставаясь параллельными
осями x и y. Обозначим положение точек
А и М радиусами-векторами:
rr r
где
a – ускорение во вращательном движении точки М вокруг точки А,
А
aaa
то
AMAMA
n
aa
.
AMA
,rAM
тогда
n
, или
,
A
22
dr dr
dt dt dt
2
dr
A
222
n
aMA ,
AMA
, или
2
aaa . Так как
,
aMA
AMA
AMA
aa
A
Ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс,
и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг
этого полюса.
29
При этом вектор
M
M
M
А
a
направ-
A
лен перпендикулярно МА в сторону
вращения, если движение ускоренное, и против вращения, если дви-
жение замедленное. Вектор
n
a
A
всегда направлен от точки М к
точке А. Если движение непрямолинейно, то
nn
a aaa a
.
А MA MA
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИКИ
1. В кривошипно-ползунном механизме ведущее звено ОА вращается с постоянной угловой скоростью = 2 рад/с. Размеры звеньев:
ОА = 0.2 м, АВ = 1.2 м.
В положении, показанном на рисунке, определить скорость и уско-
рение точки В.
2. В механизме ведущее звено ОА вращается с постоянной угловой
скоростью = 2 рад/с, а ползун В движется по круговой направляющей
радиусом R = 0.4 м. Размеры звеньев:
ОА = 0.2 м, АВ = 1.2 м.
В положении, показанном на рисунке, определить скорость и уско-
рение точки В.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]