Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистические методы контроля качества. Практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Нулевая гипотеза всегда содержит утверждение о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению (например, Н0: μ = 368).

Альтернативная гипотеза никогда не содержит утверждения о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению (например, Н1: μ ≠ 368).

Распределение статистики, положенной в основу критерия, разделяется на две части: область отклонения

гипотезы (иногда называемую критической областью) и область принятия гипотезы (рис. 34). Если тестовая статистика попадает в область принятия гипотезы, нулевую гипотезу отклонить нельзя.

Если тестовая статистика попадает в критическую область, нулевая гипотеза отклоняется. В критическую область попадают лишь те значения тестовой статистики, при которых нулевая гипотеза неверна.

Рис. 33. Области отклонения и принятия гипотез

Поскольку значение параметров генеральной совокупности оценивается по выборочным данным, существует вероятность совершить ошибку, принять неправильное решение.

Вероятность сделать ошибку 1-го рода обозначается буквой α и называется уровнем значимости статистического критерия. Эта вероятность определяет уровень риска, возникающего при отклонении истинной гипотезы. Уровень значимости задается заранее, он находится под контролем

лица, выполняющего проверку. Как правило, уровни значи-

мости равны 0,01, 0,05 и 0,1.

Вероятность события, противоположного ошибке 1-го рода, называется доверительной вероятностью и равна 1 – α. Доверительная вероятность равна вероятности принять истинную нулевую гипотезу Н0.

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается буквой β. В отличие от ошибки 1-го рода, которая зависит от уровня значимости α, вероятность ошибки 2-го рода зависит от разности между гипотетическим параметром и фактической выборочной статистикой. Поскольку большую разность легче заметить, чем маленькую, при большой разности вероятность ошибки 2-го рода мала

Мощность критерия (вероятность 1 – β) равна вероятности отклонить ложную нулевую гипотезу Н0.

Этапы проверки гипотезы о математическом ожидании:

 формулируется нулевая гипотеза Н0 о параметрах генеральной совокупности;

 формулируется альтернативная гипотеза H1 о параметрах гене- ральной совокупности;

 выбирается уровень значимости α. Его конкретная величина определяется относительной важностью риска, вызванного ошибками 1-го и 2-го рода;

 определяется объем выборки n, зависящий от величины риска, вызванного ошибками 1-го и 2-го рода (т. е. величин α и β), а также от затрат, необходимых для ее формирования;

 выбирается требуемый статистический метод и соответствующая статистика, положенная в основу критерия; если стандартное отклонение известно,

для проверки критерия применяется Z-статистика, если

неизвестно – t-статистика;

 устанавливаются критические значения, разделяющие плоскость на области отклонения и принятия гипотезы;

 по выборке вычисляется значение статистики, положенной в ос- нову критерия;

 определяется область, в которую попадает вычисленное значение статистики, положенной в основу критерия. Для этого статистика сравнивается

с критическими значениями;

 принимается статистическое решение. Если статистика, поло- женная в основу критерия, попадает в область принятия гипотезы, нулевую гипотезу Н0 отклонять нельзя. В противном случае нулевая гипотеза отклоняется;

 формулируется статистическое решение, учитывающее специ- фику задачи [1].

5.1. Критерии согласия



Z-критерий

Если стандартное отклонение σ известно, выборочное распределение средних подчиняется нормальному закону. Это позволяет сформулировать Z-критерий:







. (31)

Числитель формулы (31) представляет собой отклонение выборочного среднего от математического ожидания генеральной совокупности μ. Таким образом, статистика Z выражает разность между X и μ, выраженную в единицах стандартного отклонения.

t-критерий

В большинстве ситуаций, касающихся числовых данных, стандартное отклонение неизвестно. Его величину можно оценить, вычислив выборочное стандартное отклонение

S. Если генеральная совокупность является нормально распределенной, выборочное среднее обладает t-распределением с n – 1 степенями свободы. Это дает возможность сформулировать t-критерий для оценки разности между выборочным средним и математическим ожиданием генеральной совокупности µ [8].





Критерий согласия хи-квадрат (

-критерий используется для проверки согласованности набора

), критерий согласия Пирсона

. (32)

данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия частоты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение.

Проверка с помощью критерия согласия χ

выполняется в несколь-

ко этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории.

Для проверки согласованности данных и распределения применя-

ется тестовая χ

-статистика:







, (33)

где f

20e



– наблюдаемая частота, fe – теоретическая, или ожидаемая часто-





та; k – количество категорий, оставшихся после объединения; р – количество оцениваемых параметров.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении нулевая и

альтернативная гипотезы формулируются так:

 Н0 распределение подчиняется нормальному закону распределения;  Н1 распределение не подчиняется нормальному закону распре-

деления.

Имеем набор выборочных данных, по которым

определяется выбо-

рочное среднее и стандартное отклонение. Данные разбиваются на классы.

Считается теоретическая (если распределение подчиняется нормальному закону) и фактическая частота попадания в каждый класс. Вычисляется критическое значение статистики χ

ки χ

на основе выборочных данных. Если последнее меньше критическо-

. Вычисляется значение статисти-

го значения статистики, то гипотезу Н0 отклонить нельзя.

Ниже приводится пример применения критерия χ

для проверки

гипотезы о нормальном распределении.

5.2. Проверка гипотез о математическом ожидании с использованием Excel

При известном стандартном отклонении

Создадим рабочий лист, использующий функции НОРМСТОБР и НОРМРАСП для проверки гипотезы о математическом ожидании при известном стандартном отклонении на основе Z-критерия. Вызовы функций НОРМСТОБР и НОРМСТРАСП выглядят следующим образом:

НОРМСТОБР (вероятность), НОРМСТРАСП (Z-значение),

где параметр вероятность представляет собой площадь области, ограниченной кривой распределения и величиной X, а параметр Z-значение является значением Z-статистики, имеющей стандартизованное нормальное распределение.

Шаблон рабочего листа Z-критерий приведен на рис. 34. Здесь для вычисления нижнего и верхнего критических значений применяется функция НОРМСТОБР, а для вычисления р-статистики по критическому значению Z-статистики (ячейка В12) – функция НОРМСТРАСП. Чтобы применить двусторонний критерий, значение, возвращенное функцией НОРМСТРАСП, вычитается из единицы, а результат умножа-

ется на 2. Таким образом, в ячейке В17 находится р-значение критерия. Для сравнения р-значения, записанного в ячейке В17, с уровнем значимости, находящимся в ячейке В5, в шаблоне применяется также функция ЕСЛИ в ячейке А18. В зависимости от результата рабочий лист выводит сообщение об отклонении или принятии гипотезы.

Рис. 34. Проверка статистической гипотезы о среднем значении

генеральной совокупности на основе Z-критерия

Реализация одностороннего критерия приведена ниже (рис. 35, 36).

Эти таблицы отличаются от таблицы (рис. 34) строками 14–17.

Рис. 35. Расчет Z-критерия для одностороннего критерия

(критическая область находится слева)

Рис. 36. Расчет Z-критерия для одностороннего критерия

(критическая область находится справа)

При неизвестном стандартном отклонении

Создадим рабочий лист, использующий функции СТЬЮДРАСПОБР и СТЬЮДРАСП для проверки гипотезы о математическом ожидании при неизвестном стандартном отклонении на основе t-критерия. Вызовы этих функций выглядят следующим образом:

СТЬЮДРАСПОБР (1-доверительный уровень; степени свободы),

СТЬЮДРАСП (ABS(t); степени свободы; хвосты),

где ABS(t) – абсолютная величина t-статистики, параметр хвосты принимает значение 1 для одностороннего критерия и 2 – для двустороннего.

Шаблон рабочего листа t-критерий приведен на рис. 37. Он предназначен для проверки гипотезы о средней сумме накладных компании Saxon Home Improvement Company с помощью t-критерия. Здесь для вычисления нижнего и верхнего критических значений t-статистики применяется функция СТЬЮДРАСПОБР, а для вычисления р-значения – функция СТЬЮДРАСП. Суммы накладных введены в столбце А рабочего листа Данные. Для вывода на экран сообщения об отклонении или принятии гипотезы в ячейке А18 используется функция ЕСЛИ.

Рис. 37. Проверка статистической гипотезы о среднем значении

генеральной совокупности на основе t-критерия

Реализация одностороннего критерия приведена ниже (рис. 38, 39). В ячейке Е17 параметр хвосты функции СТЬЮДРАСП равен единице. Для вывода на экран сообщения об отклонении или принятии гипотезы в ячейке А18 используется функция ЕСЛИ.

Рис. 38. Проверка статистической гипотезы о среднем значении генеральной

совокупности на основе t-критерия, для одностороннего критерия

(критическая область находится справа)

Рис. 39. Проверка статистической гипотезы о среднем значении генеральной

совокупности на основе t-критерия, для одностороннего критерия

(критическая область находится слева)

ЗАДАНИЯ

1. Студенты и преподаватели не довольны расписанием занятий,

поэтому решили учесть время, необходимое для перехода из одного корпуса университета в другой. Бюро расписания полагает, что 20 минут для перерыва между занятиями вполне достаточно. Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезу. Продолжите условие задачи (додумайте), чтобы оно было достаточным для использования Z

-критерия

(t-критерия) для проверки истинности утверждения.

2. Специалист отдела контроля качества завода, производящего

электрические лампочки, желает проверить, равна ли средняя продолжительность работы лампочек из крупной партии 375 ч. Номинальное стандартное отклонение равно 100 ч. Для контроля выбрана партия, состоящая из 64 лампочек, средняя продолжительность работы которых равна 350 ч. Сформулируйте нулевую

и альтернативную гипотезы. Есть ли основания утверждать, что средняя продолжительность работы лампочек не равна 375 ч? (Уровень значимости равен 0,05.) Вычислите рзначение и дайте его интерпретацию. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95 %.

3. На автомобильном заводе стальные заготовки разрезаются на

куски, из которых впоследствии изготавливаются передние сиденья автомобилей. Заготовки разрезаются с помощью алмазной пилы. Отклонение от эталона не должно превышать 0,15 мм. В табл. 17 приведены отклонения от эталона заготовок, измеренных с помощью лазерных приборов. Например, величина –0,06 означает, что заготовка короче эталона на

0,06 мм. Можно ли утверждать, что среднее отклонение от

эталона не равно 0,0 мм (уровень значимости равен 0,05)?

Таблица 17

Отклонения от эталона заготовок, мм

–0,06 –0,075 –0,075 –0,075 –0,075 0,105 –0,015 0,015 0,015 –0,09 0,06 –0,09 0,015 0 –0,045 0 0,075 0,03 0,03 –0,03 0,03 –0,09 –0,015 –0,06

0,03 –0,015 0,03 0,06 0,015 –0,06 –0,045 –0,015 0,06 0 0,03 –0,03 0,03 –0,03 –0,015 0,015 0,03 –0,09 –0,06 0 0,075 –0,045 –0,015 0,015 0,15 –0,03 –0,09 0,09 0,03 –0,045 –0,03 0

–0,06 0,015 –0,045 0,045 0 –0,06 –0,045 –0,015

0 0,075 –0,015 0 –0,075 0,03 0,075 0,06

0,03 –0,075 0 0 –0,03 –0,075 0,03 0,03

4. Одним из показателей качества процесса упаковки чая является

вес отдельного пакетика. В табл. 15 приведен вес 50 пакетиков чая. Можно ли утверждать, что средний вес пакетика не равен 5,5 г (уровень значимости равен 0,01)? Постройте 99%-й доверительный интервал для среднего веса пакетика в генеральной совокупности.

5. Повторите решение, приведенное ниже в примере, о проверке

нормальности распределения с использованием критерия согласия хиквадрат.

Пример

С помощью инструмента программы Excel «Генерация случайных чисел» надстройки «Анализа данных» создайте генеральную совокупность из 1000 элементов с средним значением 12 и стандартным отклонением 0,25. Используя инструмент «Выборка» надстройки «Анализа данных» выборку 200 элементов из этой генеральной совокупности [5].

Требуется проверить, сделана ли выборка генеральной

совокупности с нормальным распределением. Для этого можно использовать критерий хи-квадрат. По выборке необходимо найти математическое ожидание и стандартное отклонение. Для этого можно использовать встроенные функции Excel или инструмент «Описательная статистика» надстройки «Анализа данных».

Используя алгоритм построения гистограммы, определите «интервал карманов», параметр, необходимый для автоматического расчета эмпирических частот с использованием инструмента «Гистограмма» надстройки «Анализа данных». Это не что иное, как верхние границы интервалов, определяемые для построения гистограммы (см. стр. 23). Найдите опытные частоты f

(33) с помощью инструмента «Гистограм-

ма». Количество значений в каждом интервале должно быть не менее пяти. Если в каком-либо интервале их меньше, то интервалы объединяют. Например, если в интервал от 3 до 6 попадает два значения, а в промежутке от 6 до 9 – четыре, то интервалы объединяются в один от 3 до 9 с

шестью значениями. С учетом этого необходимо перестроить таблицу

частот вручную.

В колонках «Карман» – «Частота» показаны данные, полученные автоматически (рис. 40), в колонках «Границы» – «Опытные частоты» данные пересчитаны частично вручную.

Рис. 40. Расчет распределения хи-квадрат

Расчетные частоты fe (33) вычисляются как произведение вероятности попадания случайной величины в определенный интервал и числа данных. Для определения вероятности попадания случайной величины в некоторый интервал можно выполнить следующее действие: найти плотность нормального распределения для значений, соответствующих границам интервалов с использованием встроенной функции Excel (рис. 41)

НОРМРАСП (х, среднее значение, стандартное отклонение,

интегральный).

Рис. 41. Функция НОРМРАСП

Аргументы этой функции: х – граница интервала вводится адрес соответствующей ячейки; среднее и стандартное отклонение – вводятся абсолютные адреса характеристик, полученных с помощью инструмента «Описательная статистика»; значение интегральный = 1 (истина), в противном случае (ложь). Вычисленные значения этой функции содержатся в колонке «НОРМРАСП», рис. 40. Вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в соответствующий

интервал вычисляются как разности между значениями НОРМРАСП в последующей и предыдущей строках. Вычисленные значения вероятностей содержит колонка «Вероятности» (рис. 40).

В последней колонке «Расчетные частоты» (рис. 40) подсчитаны расчетные частоты как произведение вероятности на число данных, n = 200.

Вычислите тестовую статистику хи-квадрат, используя встроенную функцию

ХИ2ТЕСТ (фактический

интервал, ожидаемый интервал).

В качестве фактического интервала введите опытные частоты, в качестве ожидаемого – расчетные (рис. 42). Значение статистики хиквадрат необходимо сравнить с критическим значением.

Найдите критическое значение распределения хи-квадрат с помощью встроенной функции ХИ2ОБР (вероятность, степени свободы). Аргумент вероятность – это уровень значимости (α = 0,05), а степени свободы

k – l – 1 определяются как количество интервалов k = 11 (рис. 2) за вычетом количества оцениваемых параметров (здесь – два: µ и σ) минус единица.

Гипотеза о нормальности распределения не отклоняется, если выборочное значение статистики ХИ2ТЕСТ окажется меньше критического ХИ2ОБР.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]