Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы контроля качества. Практикум. Учебное пособие
.pdf
Рис. 24. Результаты расчетов и график дифференциальной функции
гипергеометрического распределения
3.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
Непрерывные случайные величины возникают в результате измерений, результатом которых может являться любая величина, принадлежащая числовой оси или интервалу. Вероятность попадания случайной величины в определенный интервал определяется как разность значений функции распределения в концах этого интервала:
Р(x
< X < x2) = F(x2) – F(x1). (21)
1
Часто непрерывная случайная величина задается с помощью производной от функции распределения (дифференциальной или весовой),
которая называется плотностью распределения вероятности:
() ()xxfF
, (22)
т. е. плотность распределения вероятности f(x) случайной величины –
это производная от интегральной функции.
Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал
равна площади под кривой дифференциальной функции распределения
в этом интервале. Площадь под всей кривой дифференциальной функции равна единице.
Основные свойства плотности распределения:
плотность распределения неотрицательна (кривая распределения
всегда лежит в верхней полуплоскости);
площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс,
равна единице (условие нормировки);
вероятность попадания случайной величины в промежуток [х1, х2):
51
x
Z
2
Px X x f xdx
12
x
1
.
(23)
Наиболее часто количественный показатель качества подчиняется
закону нормального распределения.
3.2.1. Нормальное распределение
Нормальным распределением, или законом Гаусса, называется распределение непрерывной случайной величины, плотность которой
определяется по формуле [6]:
2
xm
fx e
1
2
2
2
.
(24)
Нормальное распределение имеет два параметра, однозначно его
характеризующих: математическое ожидание показателя и стандарт-
2
ное среднеквадратичное отклонение (или дисперсию
) как меру рас-
сеяния показателя.
К сожалению, вычислить математическое выражение, заданное
формулой довольно сложно. Для упрощения задачи значения плотности
нормального распределения, как правило, табулируют. Поскольку коли-
чество возможных комбинаций параметров и σ бесконечно, для вычислений понадобилось бы бесконечное количество таблиц. Однако, если
нормировать данные, все распределения можно свести
к одной таблице.
Используя формулу преобразования, любую нормально распределенную случайную величину X можно преобразовать в нормированную
нормально распределенную случайную величину Z:
μ
X
Z
.
(25)
σ
В частном случае параметр = 0, σ = 1.
Распределение по нормальному закону N(0,1) называется стандартным. В этом случае плотность распределения
fx e
2
1
2
.
(26)
1
2
Функцию распределения стандартного нормального распределения
N(0,1) называют функцией Лапласа (функция распределения нормально
распределенной случайной величины).
52
Она имеет специальное обозначение:
x
2
x
t
2
edt
(27)
1
Ф .
2
Эта функция табулирована, например, Ф(2,48) = 0,9934.
Из симметрии графика функции вытекает соотношение:
Ф(–х) = –Ф(х).
Вычисление вероятностей нормального распределения
с использованием Excel
Реализуем рабочий лист, использующий для вычисления вероятностей нормального распределения функции НОРМАЛИЗАЦИЯ,
НОРМРАСП, НОРМСТОБР и НОРМОБР. Вызовы этих функций имеют
следующий вид:
НОРМАЛИЗАЦИЯ (X; математическое ожидание;
стандартное отклонение);
НОРМРАСП (
X; математическое ожидание;
стандартное отклонение; ИСТИНА),
где параметр X задает интересующую нас величину X, а параметры «математическое ожидание» и «стандартное отклонение» – математическое
ожидание и стандартное отклонение нормального распределения.
НОРМСТОБР (вероятность),
где параметр вероятность представляет собой площадь, ограниченную
кривой и расположенную слева от величины X,
НОРМОБР (вероятность; математическое ожидание;
стандартное отклонение
),
где параметр «вероятность» представляет собой площадь, ограниченную кривой и расположенную слева от величины X, а параметры «математическое ожидание» и «стандартное отклонение» задаются функцией
НОРМРАСП.
Ниже приведены параметры функций.
X – обязательный. Значение, для которого строится распределение.
Математическое ожидание – обязательный. Среднее арифметическое распределения.
Стандартное отклонение – обязательный. Стандартное отклонение
распределения.
53
Интегральная – обязательный. Логическое значение, которое определяет форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение
ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию
распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается
весовая функция распределения.
Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ возвращает величину Z, соответствующую заданному значению X, математическому ожиданию и стандартному
отклонению. Функция НОРМРАСП вычисляет площадь, ограниченную
гауссовой кривой и величиной X. Функция НОРМСТОБР возвращает обратное значение стандартизованного нормального распределения. Функция НОРМОБР вычисляет величину X, соответствующую заданной вероятности, математическому ожиданию и стандартному отклонению.
Ниже продемонстрированы (рис. 25, 26) шаблоны рабочего листа
«Нормальное распределение», вычисляющего вероятности нормального
распределения.
Формулы в ячейках А18 и D13 должны набираться в одной
строке,
а столбец С должен оставаться пустым. Кроме того, А10, А15, А17, А18,
D11 и D12 содержат по две пары двойных кавычек, а формула в ячейке
D13 – три пары двойных кавычек. Для того чтобы вычислить вероят-
ность, которая должна быть неотрицательной, в ячейке Е13 использована функция ABS, возвращающая абсолютную величину.
Рис. 25. Шаблон рабочего листа «Нормальное распределение»
54
х
Рис. 26. Диапазон D6:E18 из рабочего листа «Нормальное распределение»
Пример
Выполните действия в программе Excel в соответствии с примером,
приведенным ниже.
Из партии продукции отобраны 30 пластин пьезоэлементов. Электрическая емкость пластин в пФ·103 представлена в следующем ряду:
9,2 12,2 10,5 9,4 8,9 7,4 10,1 11,7 11,4 11,0 10,2 8,0 7,3 7,0 9,6 8,4
10,8 8,4 11,2 8,8 10,7 8,6 9,7 9,8 9,5 12,5 9,8 9,5 9,2 7,7.
Доказано, что распределение показателя емкости соответствует закону нормального распределения. Необходимо найти параметры распределения и построить графики интегральной и дифференциальной
функций распределения емкости пластин.
Из пакета MS Office используем программу Excel.
В ячейку А5 вводим заголовок столбца «Емкость». Далее, начиная
с ячейки А6, в столбец А вводим значения емкости пластин (рис. 27)
Затем находим параметры распределения. Оценкой математического ожидания является среднее значение выборки , а оценкой стандартного отклонения – выборочное стандартное отклонение.
Расчет
параметров распределения может быть выполнен следую-
щим образом: в ячейку А3 вводим текст = и выравниваем его по правому краю ячейки кнопкой на панели инструментов. В соседней ячейке
В3 рассчитываем значение среднего выборки как оценку математического ожидания, используя статистическую функцию СРЗНАЧ. В ячей-
ку D3 вводим текст = и
выравниваем его по правому краю. В соседней ячейке F3 рассчитываем выборочное стандартное отклонение по
статистической функции СТАНДОТКЛОН.
55
Рис. 27. Результаты расчета параметров распределения
Для построения диаграмм используем столбцы данных x, F(x) и
f(x), вводя в ячейки С5, D5, E5 соответствующие заголовки.
В столбце с заголовком x должны находиться значения квантиля
распределения (в данном случае – емкости). Целесообразно варьировать
x в интервале 3, т. к. в соответствии с правилом трех сигм в этом
интервале
находится практически 99,73% значений случайной величины.
Следовательно, в ячейку С6 вводим значение 5,4, которое примерно равно – 3. После командой «ПравкаЗаполнитьПрогрессия» вводим
остальные значения х. В открывшемся диалоговом окне выбираем рас-
положение по столбцам, шаг 0,1 (чтобы получить достаточно много точек для построения графиков) и предельное значение 13,8, соответствующее примерно
+ 3. В результате выполнения команды столбец
будет заполнен значениями, возрастающими с шагом 0,1 до значения
13,8 в ячейке С90.
Далее по статистической функции НОРМРАСП в ячейке D6 рассчитываем значение интегральной функции распределения F(x) для квантиля
5,4. В открывшемся диалоговом окне делаем ссылки на соответствующие
ячейки, в строке «Интегральный» вводим (в
соответствии со справкой в
нижней части окна) значение «Истина». Аналогичным образом в ячейке
E6 рассчитываем значение дифференциальной функции распределения
f(x) для квантиля 5,4, но в строке «Интегральный» вводим (в соответствии со справкой в нижней части окна) значение «Ложь».
56
Для построения графика интегральной функции распределения открываем «Мастер диаграмм», выбираем тип диаграммы «Точечная».
Полученную диаграмму редактируем, используя контекстное меню и
двойной щелчок мышью на редактируемых элементах диаграммы (рис. 28).
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
F(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
5 7 9 11 13
Емкость, пФ*10
3
Рис. 28. Интегральная функция распределения
емкости пластин пьезоэлементов
Для построения графика дифференциальной функции распределения выполняем аналогичные действия (рис. 29).
0,3
0,25
0,2
0,15
f(x)
0,1
0,05
0
5 6 7 8 9 1011121314
Емкость, пФ*103
Рис. 29. Дифференциальная функция распределения
емкости пластин пьезоэлементов
57
ЗАДАНИЕ
1.1. Рассчитайте вероятности по биномиальному закону распреде-
ления.
А. P(X = 0), если n = 4, p = 0,12.
Б. P(X = 9), Р(Х ≤ 8), Р(Х < 6) если n = 10, p = 0,4.
В. P(X = 8), Р(Х ≤ 7), Р(Х > 5) если n = 10, p = 0,5.
Г. P(X = 5), Р(Х ≤ 3), Р(Х > 2) если n = 6, p
= 0,83.
Д. P(X = 9), если n = 10, p = 0,9.
1.2. Рассчитайте вероятности по гипергеометрическому закону рас-
пределения.
А. P(X = 3), если n = 4, N = 10 и A = 5.
Б. P(X = 1), если n = 4, N = 6 и A = 3.
В. P(X = 0), если n = 5, N = 12 и A = 3.
Г. P(X = 3), если n = 3, N = 10 и A = 3.
1.2.1. В партии 15 жестких дисков обнаружено 5 дефектных. Пред-
положим, что проверке подвергается 4 диска.
А. Какова вероятность того, что среди них окажется только 1 дефектный?
Б. Какова вероятность того, что среди них окажется по крайней
мере 1 дефектный?
В. Какова вероятность того, что среди них окажется не более двух
дефектных?
Каково ожидаемое среднее количество дефектных изделий в
Г.
выборке из 4 дисков?
1.3. Рассчитайте вероятности по закону распределения Пуассона.
А. P(X = 2), если = 2,5.
Б. P(X = 8), если = 8,0.
В. P(X = 1), если = 0,5.
Г. P(X = 0), если = 3,7.
Д. P(X 2), если = 2,5.
Е. P(X 8), если = 8,0.
Ж. P(X 1), если = 0,5.
З. P(X
1), если = 4,0.
1.4 Определите вероятности используя таблицу стандартного нор-
мального распределения.
А. Чему равна вероятность P(Z < 1,57)?
Б. Чему равна вероятность P(Z > 1,84)?
В. Чему равна вероятность Р(1,57 < Z < 1,84)?
Г. Чему равна вероятность P(Z < 1,57 или Z > 1,84)?
Д. Чему равна вероятность Р(–1,57 < Z < 1,84)?
Е. Чему равна вероятность P(Z < –1,57 или Z > 1,84)?
58
Ж. Чему равна величина Z, если 50 % всех значений превышают Z?
З. Чему равна величина Z, если только 2,5 % всех значений превышают Z?
И. Между какими значениями переменной Z (симметрично распределенной относительно математического ожидания) лежат 68,26 %
всех ее возможных значений?
1.5. Вычислите следующие вероятности, используя программу Excel.
Случайная величина распределена нормально с математическим
ожиданием 50 и стандартным отклонением 4.
А. P(X > 43).
Б. P(X < 42).
В. P(X > 57,5).
Г. P(42 < X < 48).
Д. P(X < 40 и X > 55).
1.6. Выполнить расчеты и построения.
В ОТК завода была измерена глубина паза двухсот плашек, и результаты приведены в таблице (в мм). Допустимое значение параметра – не более 2,8 мм. Если глубина паза менее 2,2 мм, требуется дополнительная обработка детали. Выполните расчеты и построения в соответствии с примером (стр. 53) по данным
табл. 13. Определите вероят-
ную долю брака.
Таблица 13
2,4
2,6
2,7
2,5
2,5
2,8
2,8
2,5
2,6
2,6
2,7
2,4
2,4
2,5
2,1
2,6
2,5
2,5
2,3
2,2
2,4
2,7
2,5
2,4
2,6
2,4
2,4
2,4
2,6
2,6
2,5
2,5
2,3
2,5
2,6
2,7
2,3
2,5
2,8
2,6
2,5
2,6
2,4
2,7
2,6
2,5
2,9
2,4
2,7
2,5
2,7
2,6
2,6
2,8
2,6
2,7
2,4
2,6
2,6
2,6
Данные для расчета
2,4
2,8
2,5
2,4
2,4
2,4
2,6
2,5
2,2
2,6
2,1
2,6
2,4
2,3
2,5
2,6
2,7
2,5
2,6
2,4
2,7
2,3
2,5
2,4
2,4
2,4
2,2
2,4
2,6
2,5
2,5
2,7
2,3
2,7
2,5
2,4
2,5
2,4
2,4
2,3
2,7
2,6
2,4
2,5
2,5
2,4
2,4
2,5
2,5
2,5
2,6
2,5
2,5
2,5
2,7
2,4
2,3
2,5
2,4
2,3
2,2
2,5
2,6
2,5
2,4
2,4
2,4
2,2
2,5
2,5
2,5
2,7
2,2
2,4
2,6
2,2
2,5
2,4
2,4
2,5
2,2
2,3
2,4
2,4
2,4
2,5
2,4
2,5
2,6
2,5
2,4
2,6
2,6
2,6
2,4
2,5
2,5
2,4
2,5
2,5
2,6
2,5
2,6
2,6
2,5
2,5
2,3
2,5
2,5
2,6
2,5
2,5
2,1
2,4
2,4
2,5
2,4
2,6
2,5
2,4
2,4
2,4
2,5
2,3
2,2
2,2
2,2
2,4
2,4
2,6
2,7
2,3
2,5
2,5
2,6
2,3
2,5
2,6
2,4
2,6
59
1.7. Построить графики функции и плотности распределения нор-
мально распределенной случайной величины.
На одной диаграмме построить графики:
интегральных функций трех нормальных распределений, имею-
щих параметры, приведенные в табл. 14;
дифференциальных функций трех нормальных распределений,
имеющих заданные параметры (табл. 14).
Сделать выводы о влиянии параметров распределения на вид и положение графиков
функций распределения.
Таблица 14
Данные для построения диаграмм
№
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
1
2
3
1 2 2 2 6 1 0,5 0,5 1 4
2 2 2 4 9 1 1 0,5 0,5 4
2 4 1 4 9 3 1 2 0,5 2
Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант10
№
1
2
3
2 3 0,5 0,5 3 3 5 2 40 30
0 3 0,5 1 1 3 3 2 50 30
0 1 1 1 1 1 3 1 50 20
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое «дискретная случайная величина»?
2. Что такое «непрерывная случайная величина»?
3. Способы задания случайной величины.
4. Что такое «закон распределения»?
5. Опишите ситуации, в которых можно применить биномиальный
закон распределения.
6. Опишите ситуации, в которых можно применить гипергеометри-
ческий закон распределения.
7. Опишите ситуации, в которых можно применить закон распре-
деления Пуассона.
8. Перечислите основные свойства нормального закона распреде-
ления.
9. Объясните суть центральной предельной теоремы.
10. Объясните разницу между интегральной и дифференциальной
функцией распределения вероятности.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]