Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы контроля качества. Практикум. Учебное пособие
.pdf
11. Для решения каких задач в управлении качеством применяют
нормальный закон распределения?
12. Какие другие виды распределений непрерывной случайной ве-
личины вам известны?
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ ПО ТЕМЕ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика / Э.Ф. Сигел ; пер. с
англ. – 4-е изд. – Москва : Вильямс, 2004. – 1052 с.
2. Статистика для менеджеров с
использованием Microsoft Excel /
Д.М. Левин, Д. Стефан, Т.С. Кребиль и др. ; пер. с англ. – 4-е изд. –
Москва : Вильямс, 2004. – 1312 с.
61
ТЕМА 4. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ
После выполнения работы студент будет:
знать: понятие, область применения интервальных оценок, спо-
собы построения доверительных интервалов для оценки среднего значения генеральной совокупности;
уметь: выбирать критерий для построения доверительного интер-
вала на основании анализа условий задачи; использовать стандартные
формулы и функции программы Excel для построения доверительных
интервалов с различным уровнем
владеть навыками создания шаблонов в программе Excel для реа-
лизации анализа статистических данных с использованием интервальных оценок.
Основные понятия
Доверительный интервал, уровень значимость, доверительная ве-
роятность, Z-критерий, t-критерий.
значимости α;
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные.
Точечная оценка представляет собой
отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее
Х – это точечная оценка ма-
тематического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S
2
– точечная оценка дисперсии генеральной совокупности.
Доверительным интервалом называется интервал, построенный с
помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью P.
Интервальная оценка математического ожидания генеральной совокупности, доверительный уровень которой равен 95 %, интерпретируется
следующим образом: если из генеральной совокупности извлечь
все выборки, имеющие объем n, и вычислить их выборочные средние, то 95 %
доверительных интервалов, построенных на их основе, будут содержать
математическое ожидание генеральной совокупности, а 5 % – нет.
В некоторых ситуациях желательно иметь более высокий доверительный уровень, а следовательно, точность оценки величины (например, 99 %). Но иногда можно ограничиться и менее точной оценкой
(например, 90 %).
62
Как правило, доверительный уровень обозначают следующим об-
разом: (1 – α)·100 %, где величина α представляет собой площадь, ограниченную хвостом распределения, выходящим за пределы доверительного интервала.
Величину α называют уровнем значимости доверительного интервала. Кроме того, в качестве синонима для доверительного уровня иногда употребляется выражение «доверительная вероятность».
Площади, ограниченные как левым
, так и правым хвостами распре-
деления, выходящими за пределы доверительного интервала, равны α/2.
Построение доверительного интервала для математического ожидания
генеральной совокупности при известном стандартном отклонении [1]:
µXZ XZ
, (28)
nn
где Z – значение стандартизованной нормально распределенной случайной величины, соответствующее интегральной вероятности, равной
1–α/2; σ – стандартное отклонение генеральной совокупности.
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестной дисперсии:
Xt Xt
11
nn
µ
, (29)
nn
где t
– критическое значение t-распределения с n – l степенями свободы,
n–1
соответствующее площади, ограниченной правым хвостом и равной α/2.
Определение объема выборки:
22
Z
n
(30)
2
e
где е – ошибка выборочного исследования.
Пример
Вычисление доверительного интервала с использованием функции
«Анализ данных», режима работы «Описательная статистика».
Затраты, связанные с изготовлением бракованной продукции по
каждому из цехов завода «ХХХ» за 2014 год, приведены на рис. 11.
Необходимо рассчитать основные показатели описательной статистики
и сделать соответствующие выводы. Для решения задачи используем
режим работы «Описательная статистика». Показатели, рассчитанные в
данном режиме, приведены на рис. 12.
На основании проведенного выборочного обследования и рассчитанных по данной выборке показателей описательной статистики с уровнем
63
надежности 95 % можно предположить, что средние затраты, связанные с
~
x
изготовлением бракованной продукции по каждому из цехов завода «ХХХ»
за 2014 год, находились в пределах от 382,11 до 449,95 тыс. руб.
Поясним, на основании каких показателей описательной статистики был сформирован соответствующий вывод. Такими показателями
являются средняя арифметическая выборки
табл. 2) и предельная ошибка выборки
x
(показатель Среднее в
~
(показатель Уровень надеж-
x
ности (95,0 %) в табл. 2). Из выражения для доверительного интервала
xxx
x
находим:
416,03 – 33,92 = 382,11 – левая граница;
416,03 + 33,92 = 49,95 – правая граница.
4.1. Вычисление доверительного интервала
для математического ожидания
При известном стандартном отклонении
Чтобы вычислить доверительный интервал для математического
ожидания при известном стандартном отклонении, создадим рабочий
лист, использующий функцию ДОВЕРИТ. Вызов этой функции выглядит следующим образом:
ДОВЕРИТ (1-доверительный уровень, стандартное отклонение;
объем выборки).
Шаблон этого рабочего листа приведен на
рис. 30.
Рис. 30. Определение доверительного интервала
при известном стандартном отклонении
64
Для вычисления нижней и верхней доверительной границы ширина
доверительного интервала, возвращаемая функцией ДОВЕРИТ, делится
пополам и прибавляется к выборочному среднему. На листе также продемонстрированы вычисления стандартной ошибки и величины Z.
При реализации этого шаблона ячейку В7 следует отформатировать так, чтобы величина 0,95 была представлена как 95 %. В этом случае величина 0,95
будет представлена как 95 %. Если при решении аналогичной задачи выборочное среднее не известно и подлежит вычислению, необходимо заменить формулу в ячейке В5 формулой = СРЗНАЧ
(диапазон).
При неизвестном стандартном отклонении
Чтобы вычислить доверительный интервал для математического
ожидания при неизвестном стандартном отклонении, создадим рабочий
лист, использующий функцию СТЬЮДРАСПОБР. Вызов этой функции
выглядит следующим образом:
СТЬЮДРАСПОБР (1-доверительный уровень; степени_свободы).
Шаблон этого рабочего листа приведен на рис. 31.
Рис. 31. Определение доверительного интервала
при неизвестном стандартном отклонении
Для вычисления половины доверительного интервала, содержащего математическое ожидание, t-значение распределения Стьюдента,
возвращаемое функцией СТЬЮДРАСПОБР, умножается на стандартную ошибку среднего и делится пополам.
При реализации этого шаблона ячейку В7 следует отформатировать так, чтобы величина 0,95 была представлена как 95 %.
65
4.2. Определение объема выборки для математического
ожидания генеральной совокупности
Для вычисления объема выборки будем использовать функцию
НОРМСТОБР. Вызов этой функции имеет вид НОРМСТОБР (вероятность), где аргумент «Вероятность» представляет собой площадь фигуры, ограниченной кривой стандартизованного нормального распределения и лежащей левее числа X.
Шаблон рабочего листа приведен на рис. 32. Для
вычисления объема выборки, необходимой для вычисления доверительного интервала,
содержащего среднюю сумму накладных, используется значение Z, возвращаемое функцией НОРМСТОБР. Объем выборки округляется с помощью функции ОКРУГЛВВЕРХ.
Рис. 32. Определение объема выборки
При реализации этого шаблона ячейку В6 следует отформатиро-
вать так, чтобы величина 0,95 была представлена как 95 %.
ЗАДАНИЯ
1. Менеджер из отдела контроля за качеством продукции на заводе,
производящем электрические лампочки, желает оценить среднюю продолжительность работы лампочек из крупной партии. Номинальное
стандартное отклонение равно 100 ч. Для контроля выбрана партия, состоящая из 64
лампочек, средняя продолжительность работы которых
равна 350 ч.
1.1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95 %.
1.2. Можно ли утверждать, что средняя продолжительность работы
лампочек из анализируемой партии не меньше 400 ч? Обоснуйте свой ответ.
66
2. Одним из основных показателей качества шины является изно-
соустойчивость протектора. Этот показатель является относительным.
В качестве эталона выбирается шина, у которой показатель износоустойчивости равен числу 100. Таким образом, шина с показателем износоустойчивости, равным 200, в среднем прослужит вдвое больше, чем
эталон. Необходимо оценить реальный показатель износоустойчивости
шин, произведенных некой широко
известной компанией. Производитель утверждает, что показатель износоустойчивости его шин равен 200.
Выборочное среднее, вычисленное по случайной выборке, состоящей из
18 шин, равно 195,3, а выборочное стандартное отклонение – 21,4.
2.1. Предположим, что генеральная совокупность показателей из-
носоустойчивости шин имеет нормальное распределение. Постройте
интервал, содержащий математическое ожидание этой генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95 % .
3. Одним из показателей качества процесса упаковки чая является
вес отдельного пакетика. На упаковке указывается номинальный средний вес чая в пакетике – 5,5 г. Точно засыпать в пакетик 5,5 г невозможно, поскольку температура и влажность воздуха на чайной фабрике
постоянно изменяются, а это влияет на плотность чая. Кроме того, скорость работы
упаковочной машины чрезвычайно высока (170 пакетиков
в минуту). В табл. 15 приведен вес в граммах 50 пакетиков чая, заполненных в течение часа конкретной упаковочной машиной.
Таблица 15
Данные о весе пакетиков чая
5,25 5,36 5,42 5,45 5,49 5,52 5,54 5,56 5,58 5,63
5,29 5,4 5,42 5,45 5,5 5,53 5,54 5,57 5,58 5,65
5,32 5,4 5,44 5,46 5,5 5,53 5,55 5,57 5,61 5,67
5,32 5,4 5,44 5,47 5,5 5,53 5,55 5,57 5,61 5,67
5,34 5,41 5,44 5,47 5,51 5,53 5,56 5,58 5,62 5,77
3.1. Постройте 99%-й доверительный интервал, содержащий сред-
ний вес пакетиков с чаем.
3.2. Соответствует ли средний вес пакета требованиям стандарта?
4. Промышленная компания производит стальные корпусы для
электротехнического оборудования. Основным компонентом корпуса
является прямоугольный профиль, который создается из рулона стальной полосы с помощью 250-тонного пресса. Основным параметром
корпуса является расстояние между боковыми сторонами профиля, допускающее установку электротехнического оборудования. В табл. 16
приведены данные о ширине 49 профилей (в см).
67
Таблица 16
Данные о ширине 49 профилей
8,312 8,373 8,414 8,413 8,458 8,42 8,405
8,343 8,481 8,419 8,489 8,462 8,41 8,439
8,317 8,422 8,385 8,414 8,46 8,405 8,411
8,383 8,476 8,465 8,481 8,444 8,323 8,427
8,348 8,382 8,498 8,415 8,429 8,42 8,42
8,41 8,484 8,447 8,479 8,46 8,396 8,498
8,351 8,403 8,436 8,429 8,412 8,447 8,409
4.1. Постройте 95%-й доверительный интервал, содержащий сред-
нее расстояние между боковыми сторонами профиля.
4.2. Дайте интерпретацию этого интервала.
5. Инспектор по контролю за качеством продукции желает оценить
среднюю продолжительность работы электрических лампочек с точностью ±20. Для этого он собирается построить 95%-й доверительный интервал, предполагая, что стандартное отклонение равно 100 ч. Определите необходимый объем выборки.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем заключается отличие точечных статистических оценок па-
раметров распределения от интервальных
?
2. Поясните понятие «доверительный интервал».
3. Поясните понятие «доверительная вероятность».
4. Поясните понятие «уровень значимости».
5. В каких случаях для построения доверительного интервала для
среднего значения генеральной совокупности используется Z-критерий?
6. В каких случаях для построения доверительного интервала для
среднего значения генеральной совокупности используется t-критерий?
7. Как изменяется ширина доверительного интервала
с изменением
уровня доверительной вероятности?
8. Опишите задачи управления качеством, в которых используется
интервальная оценка параметров.
9. Какие данные должны быть известны, чтобы найти значение
Z-критерия для построения доверительного интервала?
10. Какие данные должны быть известны, чтобы найти значение
t-критерия для построения доверительного интервала?
68
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ ПО ТЕМЕ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Высшая математика для экономических специальностей : учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд., перераб. и доп. –
Москва : Юрайт : Высшее образование, 2010. – 909 с.
2. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel /
Д.М. Левин, Д. Стефан, Т.С. Кребиль и др. ; пер. с англ. – 4-е
изд. –
Москва : Вильямс, 2004. – 1312 с.
3. Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика / Э.Ф. Сигел ; пер. с
англ. – 4-е изд. – Москва : Вильямс, 2004. – 1052 с.
69
ТЕМА 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
После выполнения работы студент будет:
знать: терминологию метода, область применения проверки ста-
тистических гипотез в управлении качеством, алгоритм проверки статистических гипотез;
уметь: применять алгоритм проверки статистических гипотез
(одновыборочные критерии), начиная с этапа формулировки нулевой и
альтернативной гипотез, заканчивая формулировками выводов по условиям поставленной задачи; использовать стандартные
ции программы Excel для проверки статистических гипотез с различным заданным уровнем риска α;
владеть навыками создания шаблонов в программе Excel для ре-
ализации метода проверки статистических гипотез; применения метода
для решения задач управления качеством.
Основные понятия
Нулевая и альтернативная гипотезы; область принятия и область от-
клонения гипотезы; критическое
значение тестовой статистики; ошибка
1-го и 2-го рода; α- и β-риски; доверительная вероятность, уровень зна-
чимости; уровень риска; мощность критерия; Z-критерий; t-критерий;
односторонний и двусторонний критерии; этапы проверки гипотезы.
формулы и функ-
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Проверка гипотез начинается с утверждения, касающегося кон-
кретного параметра генеральной совокупности.
Гипотеза о том, что
параметр генеральной совокупности равен
ожидаемому, называется нулевой (Н0).
Нулевая гипотеза Н0 отражает статус-кво или текущее положение дел.
Альтернативная гипотеза Н1 является отрицанием нулевой гипотезы и представляет собой исследовательское предположение или особое
умозаключение, которое требуется доказать.
Если нулевая гипотеза отвергается, альтернативная гипотеза считается истинной. Если нулевая гипотеза не
отвергается, альтернативная
гипотеза считается недоказанной. Однако недоказанность альтернативной гипотезы не означает, что нулевая гипотеза является истинной.
Нулевая гипотеза Н0 всегда формулируется относительно конкретного значения параметра генеральной совокупности (например, математического ожидания μ), а не выборочной статистики (например, выборочного среднего
Х ) [7].
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]