Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистические методы контроля качества. Практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2. Ниже приведена выборка чисел, имеющая объем n = 10:

12 7 4 9 0 7 3 4 2 7.

Используйте стандартные функции Excel.

2.1. Вычислите выборочное среднее, медиану и моду.

2.2. Вычислите размах, выборочную дисперсию, стандартное от-

клонение и коэффициент вариации.

2.3. Опишите форму распределения этих данных.

3. Управляющий шинным заводом желает сравнить реальный внут-

ренний диаметр двух сортов шин, каждый из которых должен

быть равным 575 мм. Для оценки были выбраны по пять шин каждого сорта. Результаты измерения их внутренних диаметров, упорядоченные по возрастанию, приведены ниже.

Сорт Х: 568 570 575 578 584. Сорт Y: 573 574 575 577 578.

3.1. Для каждого сорта шин вычислите выборочное среднее, меди-

ану и моду.

3.2. Какой сорт шин имеет более высокое качество? Почему?

4. Задание

можно выполнить одним из способов: используя ин-

струмент «Анализ данных» или стандартные статистические функции.

Компания, производящая батарейки для ручных фонариков, создала выборку из 13 батареек, произведенных за смену, и подвергла их испытанию на длительность работы. Ниже приведено количество часов, которые проработала каждая батарейка до момента отказа:

342 426 317 545 264 451 1049 631 512 266 492 562 298.

4.1. Вычислите среднее

арифметическое, медиану и моду.

4.2. Вычислите размах, дисперсию и стандартное отклонение.

4.3. Проанализируйте распределение времени работы батареек до

момента отказа.

5. Качество дневной продукции автомобильного предприятия из-

меряется количеством автомобилей, требующих доработок после сборки. Рассмотрим данные о качестве автомобилей за 15 дней:

30 34 9 14 28 9 23 0 5 23 25 7 0 3 24.

5.1. Определите среднее, медиану, моду дневного выпуска брако-

ванных автомобилей

5.2. Определите размах, стандартное отклонение дневного выпуска

бракованных автомобилей.

5.3. Определите квартили.

5.4. Определите форму распределения.

5.5. Сделайте выводы.

6. Рассмотрим прочность хлопковых нитей на ткацкой фабрике

(в ньютонах) для выборки нитей, взятых со склада:

514 594 414 348 396 374 761 449 343 374 440 902 409 779 651 471.

6.1. Определите среднее, медиану, моду прочности нити на разрыв.

6.2. Определите размах, стандартное отклонение прочности нити на

разрыв.

6.3. Определите квартили.

6.4. Определите форму распределения.

6.5. Сделайте выводы

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определения следующим понятиям:

 генеральная совокупность;

 выборка;

 выборочное среднее;

 медиана;

 мода;

 квартили;

 размах;

 стандартное отклонение;

 выборочная дисперсия;

 коэффициенты вариации, асимметрии, эксцесса;

2. Как найти медиану для набора данных с количеством значений:

 четным?

 нечетным?

3. Опишите

работу в модуле «Анализ данных» Excel. Какие стати-

стические характеристики он позволяет определять?

4. Расскажите о встроенных статистических функциях программы

Excel.

5. Как можно охарактеризовать форму распределения с использо-

ванием среднего значения и медианы, квартилей, коэффициентов асимметрии и эксцесса?

6. Как влияют на форму распределения параметры: размах, диспер-

сия, стандартное отклонение.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ ПО ТЕМЕ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Соколов Г.А. Основы математической статистики : учебник /

Г.А. Соколов. – 2-е изд. – Москва : Инфра-М, 2014. – 368 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей : учебник / Е.С. Вентцель. –

11-е изд. – Москва : КноРус, 2010. – 658 с.

3. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей :

учебное пособие / Е

.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 8-е изд. – Москва :

КноРус, 2010. – 493 с.

4. Уилан Ч. Голая статистика. Самая интересная книга о самой

скучной науке / Ч. Уилан ; пер. с англ. И. Веригина. – Москва : Манн, Иванов и Фербер, 2016. – 352 с.

5. Тахакаси С. Занимательная статистика. Манга / С. Тахакаси ;

пер. с яп. Е.А. Захаровой, Коги Муцуми. –

Москва : Додэка-XXI, 2010. –

224 с.

ТЕМА 2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ.

7 ПРОСТЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ (ЯПОНСКИХ) МЕТОДОВ

После выполнения работы студент будет:

 знать: алгоритм применения методов по отдельности и в раз- личных сочетаниях;

 уметь: строить и анализировать различные диаграммы (гистограмму, диаграмму Парето, диаграмму Исикавы, диаграмму разброса) по предложенному набору данных;

 владеть навыками создания шаблонов в программе Excel для ре- ализации анализа статистических данных с использованием статистических методов.

Основные понятия

График, гистограмма, стратификация, диаграмма Парето, диаграмма Исикавы, полигон, кумулятивная кривая, диаграмма разброса.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

простых

2.1. Гистограмма

Гистограмма – это графическое отображение вариабельности (изменчивости) данных, позволяющая наглядно представить закономерности, трудно различимые в наборе цифр.

Разработка метода построения гистограмм, по мнению многих, принадлежит французскому (в 1833 году) ввел тип графика в виде столбцов в аспекте анализа данных о преступности. С тех пор его гистограммы – стандартный инструмент.

Гистограмма – столбиковый график, полученный по собранным за определенный период данным, разбитых на определенное количество интервалов. Число данных в каждом интервале (абсолютная частота) определяет высоту столбца о частоте повторения того или иного значения (группы значений) [3].

Обобщенные шаги для построения гистограммы:

 определение выборочного размаха;

 определение числа интервалов;

 определение размера классов (ширина столбца);

 подготовка и заполнения таблицы частот;

статистику A.M. Гэри, который первым

. Гистограмма дает наглядное представление

 построение гистограммы;

 нанесение обозначений.

Построение гистограмм



Систематизируют собранные данные, например, за месяц, число которых должно быть не менее 30–50, при оптимальности значения количества порядка 100.

Определяют выборочный размах (5).

Определяют размеры классов (расчет ширины столбиков, ширины

интервалов).

Для построения гистограммы область данных разбивают на интервалы равной ширины d

(11)

Число участков k (столбиков, интервалов) определяется исследователем самостоятельно. Есть общие рекомендации, составленные на основе опыта применения гистограмм. Число интервалов должно быть:

 при числе данных 30–50 равно 5–7;  при числе данных 50–100 равно 6–10;  при числе данных 100–200 равно 8–15.

В некоторых источниках приводятся формулы для вычисления k:

kn

(12)

или

13,3lg().kn



(13)

Границы интервала (класса) обычно задают с точностью до половины следующего разряда после последней значащей цифры. Это делается с той целью, чтобы числа из набора данных не попадали одновременно в два интервала.

Например, при Х

X 

= 7,8 мм точность измерения составит 0,1 мм,

min

ед. изм

min

(14)

а наименьшее граничное значение для первого участка будет равным

7,8 7,75

0,1



Далее определяют значения границ интервалов. Вначале находят наименьшее граничное значение для первого интервала, как показано выше.

Прибавляя к полученному значению ширину интервала h, находят верхнюю границу первого интервала, она же является нижней границей для второго. Действия повторяют для всех интервалов.

Определяют центральные значения интервалов по формуле:

нижнее + верхнее

Центральное



. (15)

Центр последующих интервалов найдем прибавлением ширины интервала 0,5 мм к значению для предыдущего.

Данные заносят в таблицу частот (табл. 1).

Таблица 1

Сводные данные параметров интервалов

Значение интервала

№

Подсчет частот Частота

нижнее верхнее центральное 1 2

… … … … … …

Далее строят гистограмму. По горизонтали откладывают значения параметра, по вертикали – частоту попадания в интервал. Строят столбики гистограммы.

Анализ гистограммы начинают с изучения ее формы. Наиболее часто встречающиеся типы гистограмм приведены ниже (рис. 13).

г д е

Рис. 13. Характерные типы гистограмм:

а – с двусторонней симметрией; б – с двумя вершинами; в – с обрывом;

г – с островком; д – с чередующими высокими и низкими значениями частот;

е – в форме плато

б в

Гистограмма с двусторонней симметрией (рис. 13, а) свидетельствует о стабильности процесса.

Гистограмма с двумя вершинами (двугорбая) (рис. 13, б) демонстрирует объединенность двух распределений (два вида сырья, два разных станка и т. д.). В этом случае для получения дополнительной информации нужно провести стратификацию данных.

Гистограмма с обрывом (рис. 13, в) встречается

в случаях, когда:

 получение значений ниже (или выше) некоторой величины не- возможно;

 в партию не включены изделия с показателем ниже (и/или выше) некоторого значения;

 неисправны измерительные приборы.

Гистограмма с островком (рис. 13, г) получается в случаях:

 ошибок в измерениях;

 данные, относящиеся к разным категориям (годен/

негоден, си-

ний/зеленый и т. д.), перемешаны.

Гистограмма с чередующими высокими и низкими значениями частот («гребенка») (рис. 13, д) получается в случае некратности ширины интервала единице измерения; при неточности измерений или округления данных.

Гистограмма в форме плато (рис. 13, е) получается объединением нескольких распределений при небольшой разнице средних значений. Для получения

дополнительной информации требуется стратификация.

Кроме формы гистограммы важной информацией является ее расположение относительно границ поля допуска. Если гистограмма находится целиком в границах поля допуска, считается, что несоответствующие требованиям по качеству изделия появляются редко. Если гистограмма выходит за границы поля допуска, на выходе процесса есть изделия, несоответствующие

требованиям. Их доля рассчитывается с ис-

пользованием, как правило, нормального распределения.

Пример построения гистограммы в программе Excel

Задание

Определить характеристики и форму распределения показателя качества по результатам измерений.

Решение

Для определения формы распределения строим гистограмму.

1. Выбираем исследуемый показатель качества. В данном случае

это геометрический размер некоторой детали.

2. Проводим измерения

согласно рекомендациям – не менее 30–50

данных, оптимально – около 100. Данные приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

8,1 10,4 8,8 9,7 7,8 9,9 11,8 8,0 9,3 9,0 8,2 8,9 10,1 9,4 9,2 7,9 9,5 10,9 7,8 8,9 9,1 8,1 9,6 11,1 7,9 8,5 8,7 7,8 10,5 8,5

11,5 8,0 7,9 8,3 8,7 10,0 9,4 9,0 9,2 10,7

9,3 9,7 8,7 8,2 8,9 8,6 9,5 9,4 8,8 8,3 8,4 9,1 10,1 7,8 8,1 8,8 8,0 9,2 8,4 7,8 7,9 8,5 9,2 8,7 10,2 7,9 9,8 8,3 9,0 9,6 9,9 10,6 8,6 9,4 8,8 8,2 10,5 9,7 9,1 8,0 8,7 9,8 8,5 8,9 9,1 8,4 8,1 9,5 8,7 9,3 8,1 10,1 9,6 8,3 8,0 9,8 9,0 8,9 8,1 9,7 8,5 8,2 9,0 10,2 9,5 8,3 8,9 9,1 10,3 8,4 8,6 9,2 8,5 9,6 9,0 10,7 8,6 10,0 8,8 8,6

Создаем поле электронной таблицы. Вводим заголовок работы в ячейку А1 и в интервал А2:А121 вводим значения показателя качества из табл. 2.

Найдем минимальное и максимальное значения выборки при помощи функций МИН и МАКС соответственно в ячейках D2 и D3 (для этих функций интервал: А2:А121).

Размах выборки находим в ячейке D4 (5).

Количество интервалов

k определяем по формуле (12), округляя его до целого значения математической функцией ОКРУГЛ. Количество интервалов находим в ячейке D5. Рассчитываем d (11) для определения ширины интервала в ячейке D6 с округлением в нашем случае до десятых долей, т. е. до единицы измерения.

Строим таблицу частот в соответствии с табл. 1, исключая графу

«Подсчет частот

». Номера интервалов вводим в ячейки С9:С19. Рассчи-

тываем середины и границы интервалов, используя формулы (14) и (15). В ячейке D9 определяем нижнюю границу первого интервала.

Рассчитываем в ячейке D10 нижнюю границу второго интервала. Для этого прибавим значение шага к нижней границе первого интервала. Формула в ячейке D10 будет выглядеть = D10+$D$6. Формулу нужно скопировать

в ячейки D11:D19.

Рассчитываем в ячейке E9 верхнюю границу первого интервала посредством прибавления значения шага к его нижней границе. Найденную формулу копируем в диапазон E10:E19. Среднее значение рассчитаем в ячейке F9 для первого интервала, например по статистической формуле СРЗНАЧ. Полученную формулу копируем в диапазон F10:F19.

Для подсчета частот в интервалах используем функцию СЧЕТЕСЛИ, которая предназначена для подсчета количества занятых ячеек в заданном диапазоне, т. е. ячеек, которые удовлетворяют заданному условию. Следует подсчитать, сколько раз в диапазоне A2:A21 встречаются ячейки, значения которых находятся в границах первого интервала, т. е. больше 7,75, но меньше 8,15. Ниже приводится формула

для

подсчета частоты попадания значений в первый интервал:

= СЧЕТЕСЛИ(A2:A21;">7,75")-СЧЕТЕСЛИ(A2:A21;">8,15").

Данную формулу копируем в диапазон G10:G19. В копируемой формуле границы интервалов следует исправить на соответствующие тому или иному диапазону. Результаты проделанного показаны ниже (рис. 14).

Рис. 14. Данные для построения гистограммы

Для построения гистограммы распределения выбираем тип «Гистограмма» и вид «Обычная гистограмма».

Далее приводим гистограмму «в порядок» с помощью вкладок меню «Конструктор», «Макет», «Формат» (рис. 14). Подписываем диаграмму, оси. По горизонтальной оси располагаем границы интервалов. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем по диаграмме. Выбираем вкладку «Выбрать данные».

Далее в меню

«Подписи горизонтальной оси» нажимаем вкладку «Изменить» и выделяем столбик, содержащий нижние границы интервалов для построения гистограммы.

Посредством контекстного меню, выделяя один из столбцов диаграммы, посредством команды «Формат ряда данных», вкладки «Параметры» устанавливаем ширину бокового зазора 0.

24,00

20,00

16,00

12,00

8,00

Частота

4,00

0,00

7,75 8,15 8,55 8,95 9,35 9,75 10,15 10,55 10,95 11,35 11,75

Интервал варьирования параметра Х, ед.

Рис. 15. Гистограмма распределения параметра Х

Возможно представление гистограммы в виде ломаной линии (полигон частот). Для этого необходимо, щелкнув правой кнопкой мыши по диаграмме, в открывшемся меню посредством команды «Изменить тип диаграммы» выбрать тип диаграммы «Точечная» (рис. 16).