Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистические методы контроля качества. Практикум. Учебное пособие
.pdf
Окончание табл. 8
№ Данные контрольного листка
Частота
абсолютная
20 1 1
21 1111111111111111111111111111111111111111111111 46
22 1111111111111111111111 22
23 11111111111111111111111111111111111111111111111 47
24 11111111111111111111111111111111111 35
25 1111111 7
26 111 3
27 111111111 9
28 111111 6
29 111111111 9
30 11 2
31 1111111111111111111111111 25
32 1111 4
33 11111111111111111111111111111111111111111111111
94
11111111111111111111111111111111111111111111111
34 1111 4
35 1111111111111111111111111 25
36 1111111111111 13
37 1111111111111111111 19
38 11111111111111111111111111111111111111111111111 47
4.1. В табл. 9 приведены произведенное количество изделий и за-
траты на производство за неделю.
Таблица 9
Количество
изделий
22 3470 30 3689
30 3783 38 3999
26 3856 41 4158
31 3910 27 3666
36 4489 28 3885
30 3676 31 3574
22 3221 37 4495
45 4579 32 3814
38 4325 41 4430
3 14 131
Характеристики производства
Количество
Затраты, руб.
изделий
41
Затраты, руб.
4.1. Постройте диаграмму разброса, у которой по оси X отложено
количество изделий, а по оси Y – затраты.
4.2. Существует ли зависимость между количеством изделий и за-
тратами на производство?
4.3. Посчитайте коэффициент корреляции, дайте ему интерпрета-
цию.
5. Постройте диаграмму Исикавы.
5.1. Сформулируйте значимую для вас проблему.
5.2. Определите факторы, влияющие на существование
данной
проблемы.
5.3. Постройте причинно-следственную диаграмму для выявления
причин возникновения проблемы. Постарайтесь определить три уровня
детализации.
5.4. Сделайте выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определения следующим понятиям: гистограмма, поли-
гон, полигон интегральных процентов, кумулятивная кривая, диаграмма
Парето, стратификация, диаграмма разброса, коэффициент корреляции,
контрольный листок.
2. Достоинства и недостатки использования гистограммы.
3. Для
чего используется диаграмма Парето.
4. Правила построения гистограммы.
5. Какие виды гистограмм бывают, на что указывают?
6. Какие выводы можно сделать о виде распределения, используя
гистограмму?
7. Этапы построения диаграммы Парето.
8. Указывает ли диаграмма разброса на наличие причинно-
следственной связи между параметрами? Почему?
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ ПО ТЕМЕ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
1. Системы, методы и инструменты менеджмента качества : учебник для вузов / М.М. Кане и др. – 2-е изд., обновл. и доп. – СанктПетербург : Питер, 2012. – 573 с.
2. Ефимов В.В. Статистические методы в управлении качеством
продукции : учебное пособие / В.В. Ефимов, Т.В. Барт. – Москва :
КноРус, 2012. – 234 с.
42
3. Разумов В.А. Управление качеством : учебное пособие / В.А. Разумов. – Москва : Инфра-М, 2015. – 207 с.
4. Ротер М. Лидерство, менеджмент и развитие сотрудников для
достижения выдающихся результатов / М. Ротер, К. Тойота ; пер. с
англ. – Санкт-Петербург : Питер, 2014. – 336 с.
5. Хитоси К. Статистические методы повышения качества / К. Хитоси ; пер. с англ.
и доп. Ю.П. Адлера, Л.А. Конаревой. – Москва : Фи-
нансы и статистика, 1990. – 304 с.
6. Сиро С. Практическое руководство по управлению качеством /
С. Сиро ; пер. с 4-го японск. изд. С.И. Мышкиной ; под ред. В.И. Гостева. – Москва : Машиностроение, 1980. – 215 с.
7. Тематические статьи журналов «Методы менеджмента качества»
и «Стандарты и качество
».
43
ТЕМА 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
После выполнения работы студент будет:
знать: область применения распределений случайных величин
для целей контроля и управления качеством;
уметь: рассчитывать вероятности по моделям распределений с
использованием стандартных функций программы Excel;
владеть навыками анализа статистических данных с использо-
ванием законов распределения вероятностей случайных величин.
Основные понятия
Случайная величина, непрерывная случайная
величина, дискретная
случайная величина, вероятность, генеральная совокупность, выборка,
математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, закон
распределения вероятности случайной величины,
нормальное распреде-
ление, стандартное нормальное распределение, функция Лапласа.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Качество продукции оценивается определенными показателями.
Показатели (признаки) качества могут быть качественными или количественными. Последние выражаются численными значениями, например
массой детали, мощностью двигателя и т. п. В случае партии продукции, состоящей из единиц, например из изделий, то в каждой
единице
продукции количественный признак качества принимает некоторое случайное значение, т. е. является величиной случайной и имеет некоторый
закон распределения.
3.1. Законы распределения дискретных случайных чисел
Случайная величина Х дискретна, если она принимает конечное
или счетное число различных значений х
, х2, … хn.
1
Примеры:
при подсчете числа простоев станка за смену (0, 1, 2, …);
при подсчете числа дефектов (несоответствий) в выборке из пар-
тии продукции;
при подсчете количества единиц транспорта на перекрестке в
определенное время дня.
Одним из основных способов задания случайной величины является функция распределения вероятности, т. е. вероятности того, что
чайная величина X окажется меньше некоторого значения x:
44
слу-
F(x) = P(X < x). (16)
Данный способ задания случайной величины применяется как для
дискретного, так и для непрерывного типа величины.
Основные свойства функции распределения:
ее значения лежат в промежутке от 0 до 1;
–∞) = 0, F(∞) = 1.
F(
Функция F(x) – монотонно неубывающая: при x
> x1, F(x2) ≥ F(x1).
2
Функция распределения непрерывной случайной величины, кроме
того, непрерывна и дифференцируема.
Закон распределения случайной физической величины – это соответствие между возможными значениями данной величины и их вероятностями. Закон быть задан в виде таблицы, функцией распределения и
плотностью вероятности [5].
Когда условия задачи позволяют определить математическое выражение, то это позволит вычислить
точную вероятность любого ее значения. В этом случае можно определить и перечислить все значения
функции распределения.
3.1.1. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение применяется для оценки количества
успехов в выборке, которая состоит из n наблюдений. Следовательно,
случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону, может
принимать значения от 0 до n.
Биномиальное распределение характерно для моделирования ситуаций, которым свойственны следующие особенности.
Выборка состоит из фиксированного числа элементов n, которые
представляют собой исходы определенного испытания. Каждый
элемент выборки принадлежит одной из двух категорий, взаимоисключающих друг друга и исчерпывающих все выборочное пространство.
Эти две категории, как правило, называются успехом и неудачей.
Следовательно, вероятность неудачи и удачи связаны уравнением
q + р = 1.
Исход (неудача или удача) любого эксперимента не зависит от ре-
зультата другого испытания. Для обеспечения
независимости исходов
элементы выборки, как правило, получают при помощи двух разных методов. Каждый элемент выборки извлекается случайным образом из
бесконечной генеральной совокупности без возвращения или из конечной генеральной совокупности с возвращением.
45
Количество вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей
X
A
X
n элементов, определяется по формуле Сочетания:
n
!
n
!!
Xn X
, (17)
где n! = 1 · 2 · … · n – факториал числа n, причем 0! = 1 и 1! = 1.
Закон биноминального распределения:
!
Р PХ P
!!
xn x
n
x
1
nx
, (18)
где Р(Х) – вероятность Х успехов при заданном объеме выборки n и вероятности успеха р, х = 0, 1, 2, … , n.
3.1.2. Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение (как и биномиальное) позволяет оценить количество успехов в серии из n испытаний. Разница между двумя законами заключается только в способе получения исходных
данных.
В биномиальном законе данные выбираются или из бесконечной
генеральной совокупности без возвращения, или из конечной генеральной совокупности с возвращением.
В гипергеометрическом законе данные
берутся только из конечной
генеральной совокупности без возвращения. Таким образом, в биномиальной модели вероятность успеха р остается постоянной, и испытания
не зависят друг от друга, в гипергеометрической модели эти условия не
выполняются – каждый исход зависит от предыдущих.
Гипергеометрическое распределение задается формулой [1]:
PX
() ,
NA
nX
N
n
(19)
где n – объем выборки; N – объем генеральной совокупности; Р(Х) – вероятность X успехов при заданных n, N и А; А – количество успешных
исходов в генеральной совокупности; X – количество успехов в выборке; N–А – количество неудачных исходов в генеральной совокупности;
N–X – количество неудачных исходов в выборке.
Количество успехов
X в выборке не может превосходить количе-
ство успехов А в генеральной совокупности либо объем выборки n. Та-
46
ким образом, диапазон значений, которые может принимать случайная
х
х
величина, подчиняющаяся гипергеометрическому распределению, ограничен либо объемом выборки (как и диапазон биномиальной переменной), либо объемом генеральной совокупности.
3.1.3. Распределение Пуассона
Пуассоновское распределение возникает в ситуациях, когда требуется определить, сколько раз определенное событие происходит в заданной области возможных исходов случайного эксперимента. При
этом имеет место то, что область исходов – это интервал значений (времени, длины, поверхности и т. п.), вероятность данного события одинакова для всех областей возможных исходов. Количество
событий в одной области возможных исходов не зависит от количества событий,
происходящих в других областях. Вероятность того, что в одной и той
же области возможных исходов данное событие происходит больше одного раза, стремится к нулю по мере уменьшения области возможных
исходов.
Распределение Пуассона имеет один параметр распределения λ,
которым является среднее количество успешных испытаний в заданной
области возможных исходов.
Распределение Пуассона описывается формулой:
PX
e
, (20)
!
где Р(Х) – вероятность X успешных испытаний; х – количество успехов
в единицу времени; λ – ожидаемое количество успехов; е – основание
натурального логарифма, равное 2,71828.
Для того чтобы запомнить, в чем отличие этих распределений,
можно воспользоваться схемой (рис. 22).
3.1.4. Методика работы в Excel
Вычисление биномиальных вероятностей
Создать рабочий лист для вычисления биномиального распределе-
ния функцией БИНОМРАСП (табл. 10):
БИНОМРАСП(Х; n; р; cumulative),
где X – количество успехов; n – объем выборки; р – вероятность успеха;
cumulative – величина, принимающая значение ИСТИНА или ЛОЖЬ
(в первом случае вычисляется вероятность не менее X событий, а во
втором – вероятность точно X событий
).
47
Рис. 22. Схема выбора распределений
Таблица 10
Таблица биномиальных вероятностей
А В С D Е F G
12
13 x Р(х) Р(≤х) Р(<х) P(>x) P(≥x)
0 = БИНОМРАСП
14
15
16
17
18
(В14;$В$4; $В$5;
ЛОЖЬ)
1 = БИНОМРАСП
(В15;$В$4; $В$5;
ЛОЖЬ)
2 = БИНОМРАСП
(В16;$В$4; $В$5;
ЛОЖЬ)
3 = БИНОМРАСП
(B17;$B$4; $В$5;
ЛОЖЬ)
4 = БИНОМРАСП
(В18;$В$4; SB$5;
ЛОЖЬ)
Таблица биномиальных вероятностей
= БИНОМРАСП
(B14; $B$4; $В$5;
ИСТИНА)
= БИНОМРАСП
(В15;$В$4; $B$5;
ИСТИНА)
= БИНОМРАСП
(В16;$В$4, $В$5;
ИСТИНА)
= БИНОМРАСП
(B17; $B$4; $В$5;
ИСТИНА)
= БИНОМРАСП
(В18;$В$4, $В$5,
ИСТИНА)
= D14-C14 = 1-D14 = 1-E14
= D15-C15 = 1-D15 = 1-E15
= D16-C16 = 1-D16 = 1-E16
= D17-C17 = 1-D17 = 1-E17
= D18-C18 = 1-D18 = 1-E18
48
Вычисление вероятностей случайной величины
X
(Х)
(
)
(
)
по гипергеометрическому закону
Создать рабочий лист, использующий для вычисления гипергеометрического распределения функцию ГИПЕРГЕОМЕТ (табл. 11). Вызов этой функции имеет следующий вид:
ГИПЕРГЕОМЕТ(Х; n; A; N),
где параметр X – количество успехов; n – объем выборки; N – объем генеральной совокупности; А – количество в генеральной совокупности
успехов.
Таблица
11
Таблица гипергеометрических вероятностей
1
Данные
2
Объем выборки 8
3
Количество успехов в генеральной
4
совокупности
Объем генеральной совокупности 30
5
6
0= ГИПЕРГЕОМЕТ
7
1= ГИПЕРГЕОМЕТ
8
… … … …
А В С
Гипергеометрические вероятности
10
Р
В7;$В$4;$В$5;$В$5
В8;$В$4;$В$5;$В$5
Вычисление распределения Пуассона
Создать рабочий лист для вычисления распределения Пуассона,
используя функцию ПУАССОН (табл. 12). Вызов этой функции имеет
следующий вид:
ПУАССОН(Х; lambda; cumulative),
где параметр X – количество успехов; lambda – ожидаемое количество
успехов; cumulative – величина, принимающая значение ИСТИНА или
ЛОЖЬ (в первом случае вычисляется вероятность не менее X событий, а
во втором – вероятность точно X
событий).
Таблица 12
Таблица вероятностей
А В С D E F G
Среднее/ожидаемое количество успехов 3
1
2 X
0 = ПУАССОН (В3;$Е$1; ЛОЖЬ) = ПУАССОН
3
1 = ПУАССОН (В4;$Е$1; ЛОЖЬ) = ПУАССОН
4
Р(Х) Р(< = Х) Р(<Х) P(>X) P(> = X)
= D3-C3 = 1-D3 = 1-E3
(В3;$Е$1;ИСТИНА)
= D4-C4 = 1-D4 = 1-E4
(В3;$Е$1;ИСТИНА)
49
Построение графиков дифференциальных функций
гипергеометрического распределения
Из партии в 1000 изделий, в которой 30 являются дефектными, взята выборка в 50 изделий. Требуется построить график дифференциальной функции распределения вероятностей гипергеометрического распределения.
Создаем новую книгу Excel и вводим
исходные данные (рис. 23).
Поскольку график – это зависимость
P(X), то для его построения понадобятся
диапазоны данных
Х и P(X). Заголовки вводятся в ячейки А7 и В7. В диапазон А8:А38
вводим с шагом 1 от 0 до 50 количество дефектных изделий в выборке.
Рассчитываем вероятность для X = 0 в
Рис. 23. Исходные данные
для расчета распределения
ячейке В8 при помощи статистической
функции ГИПЕРГЕОМЕТ. В первую строку диалогового окна вводим
ссылку на ячейку А8. Во
вторую строку вводим ссылку на ячейку В5.
В третьей строке организуем ссылку на ячейку В4. В четвертой строке
делаем ссылку на ячейку В3.
В результате получаем значение 0,209681 в ячейке В8. Из ячейки
В8 копируем формулу для диапазона В9:В38. Перед копированием вводим в формуле абсолютную адресацию тех ячеек, ссылки на
которые не
должны меняться при копировании ячеек В3, В4, В5.
Для построения графика выбираем тип диаграммы «Точеная». Диаграмма позволяет сравнить пары значений, т. е. график будет представлять отдельные точки, не соединенные линией. Это связано с тем, что
количество дефектных изделий в выборке – дискретная случайная величина, принимающая только
целые значения.
На втором шаге создания диаграммы – диапазон данных А8:В15.
Остальные значения P(X) можно на графике не использовать, поскольку
они практически равны нулю, начиная с P(7), находящегося в ячейке
В15.
После редактирования диаграммы получаем график (рис. 24).
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]