Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие для СПО
.pdf
71
Средняя выработка одинакова, но колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.
Следовательно, чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот –
варианты, мало отличающиеся друг от друга, более близки по значению к средней,
которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность.
Поэтому для характеристики и измерения колебаний отдельных значе-
ний признака в совокупности кроме средней используют следующие показатели
вариации:
абсолютные - размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое
отклонение, дисперсию;
относительные - коэффициенты вариации.
Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета
1. Размах вариации
Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей,
такие как размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (х
мах
)
и наименьшим (х т щ) значениями вариантов:
R = X
max
— X
min
.
В нашем примере размах вариации сменной выработки рабочих составляет: в
первой бригаде R=105-95=10 дет., во второй бригаде R=125-75=50 дет. (в 5 раз
больше). Это говорит о том, что выработка 1-й бригады более «устойчива», но резервов роста выработки больше у второй бригады, т.к. в случае достижения всеми
рабочими максимальной для этой бригады выработки, ею может быть изготовлено
3*125=375 деталей, а в 1-й бригаде только 105*3=315 деталей.
Недостатком показателя вариационного размаха является то, что его величина
не отражает все колебания признака.
Простейшим обобщающим показателем, отражающим все колебания признака, является среднее линейное отклонение
2. Среднее линейное отклонение исчисляют для того, чтобы дать обобщаю-
щую характеристику распределению отклонений, которое учитывает различия всех
единиц изучаемой статистической совокупности.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из
отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений:
Если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней
арифметической взвешенной:
Разности в числителе взяты по модулю, иначе, согласно свойству средней
арифметической, числитель всегда будет равен нулю. Поэтому среднее линейное
72
отклонение в статистической практике применяют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл. С его
помощью, например, анализируется состав работающих, рентабельность производства, оборот внешней торговли.
Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются
дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
3. Дисперсия
Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого
значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним
квадратом отклонений и обозначается 2. В зависимости от исходных данных дис-
персия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
- дисперсия невзвешенная (простая);
- дисперсия взвешенная.
Вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное
представление об отклонениях, поэтому ее на основе рассчитывают среднее квад-
ратическое отклонение.
4. Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика
абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Показывает, на сколько в
среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т. д.).
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадрат-
ный из дисперсии и обозначается :
- среднее квадратическое отклонение невзвешенное;
- среднее квадратическое отклонение взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней.
Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.
Относительные показатели вариации
Коэффициент вариации, % характеризует относительную меру отклонения
измеренных значений от среднеарифметического:
100
x
V
,
Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший
разброс и меньшая выравненность исследуемых значений.
73
Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного
ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше
20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%,
то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых
больших и самых маленьких значений.
Свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике), которые
позволяют упростить расчеты:
1) если из всех значений вариант отнять какое–то постоянное число А2 , то
средний квадрат отклонений от этого не изменится;
2) если все значения вариант разделить на какое–то постоянное число А, то
средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А2 раз, а среднее квадратическое
отклонение – в А раз.
3) если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая
в той или иной степени отличается от средней арифметической х, то он всегда будет
больше среднего квадрата отклонений 2 , исчисленного от средней арифметической.
5.4.2. Дисперсия и среднее значение для доли альтернативного признака
Среди варьирующих признаков, которые изучает статистика, встречаются
признаки, которые проявляются в том, что у одних единиц совокупности эти признаки наблюдаются, у других нет.
Альтернативный признак - это такой единственный признак, который может принимать единица совокупности из всех возможных вариантов. Если рассматривать продукцию по категориям (сортам), то она может быть либо только I категории (сорта), либо только II категории (сорта) — в данном контексте следует рассматривать эти признаки как два противоположных события. Признаки, кото-
рыми обладают одни единицы и не обладают другие, называются альтернатив-
ными. Количественно вариация альтернативного признака в численности всей совокупности обозначается p, а доля единиц, не обладающих этим признаком, обо-
значается q и принимает значения: p=1, q=0
1. Среднее значение для доли альтернативного признака
2. Дисперсия альтернативного признака
Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим:
Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
74
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p=q, дисперсия достигает
своего максимума pq=0,25.
Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследова-
ниях, например, качества продукции.
Среднеквадратическое отклонение доли альтернативного признака:
5.4.3. Виды дисперсии и правило их сложения
Изучение вариации (колеблемости, рассеивания) признака по всей совокуп-
ности в целом, предусматривает изучение вариации для каждой из составляющих ее
групп, а также между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность
разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством
исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутриг-
рупповой.
Общая дисперсия
2
(x) измеряет вариацию признака по всей совокупности
под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему
квадрату отклонений отдельных значений признака (хi) от общей средней величины
и может быть вычислена как:
1. простая дисперсия 2. взвешенная дисперсия
Межгрупповая дисперсия (факторная) характеризует систематическую ва-
риацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений
групповых (частных) средних от общей средней:
Внутригрупповая дисперсия (частная, остаточная, случайная) отражает слу-
чайную вариацию неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы (хi) от средней арифметической этой
группы (xср) (групповой средней) и может быть исчислена как:
1. простая дисперсия 2. взвешенная дисперсия
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:
75
Правило сложения дисперсий
Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме сред-
ней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий.
Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным
дисперсиям определить третью – неизвестную. Чем больше доля межгрупповой
дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на
изучаемый признак.
Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический ко-
эффициент детерминации - показатель, представляющий собой долю межгруппо-
вой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий
силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:
2
2
2
общ
При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю,
а при функциональной связи – единице.
Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
2
2
2
общ
Он показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.
Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от
0 до 1.
Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все
групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет.
Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.
Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно
единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е.
внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее,
ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
Вопросы для самоконтроля
1. Каково значение средних величин в статистике?
2. Какие виды средних величин применяются в статистике?
3. Как исчисляются средние арифметические: простая и взвешенная?
4. В каких случаях применяется средняя гармоническая?
5. Как определяются мода и медиана?
6. Как графически отыскать моду и медиану?
76
6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
6.1. Понятие выборочного наблюдения. Виды и схемы отбора
6.1.1. Определение выборочного наблюдения
Статистические исследования очень трудоемки и дороги, поэтому возникла
мысль о замене сплошного наблюдения выборочным.
Основная цель несплошного наблюдения состоит в получении характери-
стик изучаемой статистической совокупности по обследованной ее части.
Выборочное наблюдение – это метод статистического исследования, при ко-
тором обобщающие показатели совокупности устанавливаются только по отдельно
взятой части на основе положений случайного отбора.
При выборочном методе изучению подвергается только некоторая часть изучаемой совокупности, при этом подлежащая изучению статистическая совокупность называется генеральной совокупностью.
Выборочной совокупностью или просто выборкой можно называть ото-
бранную из генеральной совокупности часть единиц, которая будет подвергаться
статистическому исследованию.
Значение выборочного метода: при минимальной численности исследуе-
мых единиц проведение статистического исследования будет происходить в более
короткие промежутки времени и с наименьшими затратами средств и труда.
Если в период обследования будут соблюдены все правила его научной организации, то выборочный метод даст довольно точные результаты, и поэтому данный
метод целесообразно применять для проверки данных сплошного наблюдения.
Этот метод получил широкое распространение в государственной и вневе-
домственной статистике, потому что при исследовании минимальной численности
изучаемых единиц позволяет тщательно и точно провести исследование.
Изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими
признаками. Состав выборочной совокупности может отличаться от состава генеральной совокупности, это расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки.
Ошибки, свойственные выборочному наблюдению, характеризуют размер
расхождения между данными выборочного наблюдения и всей совокупности.
Ошибки, возникающие в ходе выборочного наблюдения, называются ошибками ре-
презентативности и делятся на случайные и систематические.
Если выборочная совокупность недостаточно точно воспроизводит всю сово-
купность из–за несплошного характера наблюдения, то это называют случайными
ошибками, и их размеры определяются с достаточной точностью на основании за-
кона больших чисел и теории вероятностей.
Систематические ошибки возникают в результате нарушения принципа
случайности отбора единиц совокупности для наблюдения.
77
6.1.2. Виды и схемы отбора или формирования выборки
Размер ошибки выборки и методы ее определения зависят от вида и схемы
отбора.
Различают четыре вида отбора совокупности единиц наблюдения:
1) случайный;
2) механический;
3) типический;
4) серийный (гнездовой).
1. Случайный отбор – наиболее распространенный способ отбора в случай-
ной выборке, его еще называют методом жеребьевки, при нем на каждую единицу
статистической совокупности заготовляется билет с порядковым номером.
Далее в случайном порядке отбирается необходимое количество единиц статистической совокупности. При этих условиях каждая из них имеет одинаковую вероятность попасть в выборку, например, тиражи выигрышей, когда из общего количества выпущенных билетов в случайном порядке наугад отбирается определенная
часть номеров, на которые приходятся выигрыши. При этом всем номерам обеспечивается равная возможность попасть в выборку.
2. Механический отбор – это способ, когда вся совокупность разбивается на
однородные по объему группы по случайному признаку, потом из каждой группы
берется только одна единица. Все единицы изучаемой статистической совокупности
предварительно располагаются в определенном порядке, но в зависимости от объема выборки механически через определенный интервал отбирается необходимое
количество единиц.
3. Типический отбор – это способ, при котором исследуемая статистическая
совокупность разбивается по существенному, типическому признаку на качественно однородные, однотипные группы, затем из каждой этой группы случайным
способом отбирается определенное количество единиц, пропорциональное удельному весу группы во всей совокупности.
Типический отбор дает более точные результаты, так как при нем в выборку
попадают представители всех типических групп.
4. Серийный (гнездовой) отбор. Отбору подлежат целые группы (серии,
гнезда), отобранные случайным или механическим способом. По каждой такой
группе, серии проводится сплошное наблюдение, а результаты переносятся на всю
совокупность.
Точность выборки зависит и от схемы отбора. Выборка может быть прове-
дена по схеме повторного и бесповторного отбора.
Повторный отбор. Каждая отобранная единица или серия возвращается во
всю совокупность и может вновь попасть в выборку. Это так называемая схема возвращенного шара.
Бесповторный отбор. Каждая обследованная единица изымается и не возвра-
щается в совокупность, поэтому она не попадает в повторное обследование. Эта
схема получила название невозвращенного шара.
78
Бесповторный отбор дает более точные результаты, потому что при одном и
том же объеме выборки наблюдение охватывает большее количество единиц изучаемой совокупности.
Комбинированный отбор может проходить одну или несколько ступеней.
Выборка называется одноступенчатой, если отобранные однажды единицы сово-
купности подвергаются изучению.
Выборка называется многоступенчатой, если отбор совокупности проходит
по ступеням, последовательным стадиям, причем каждая ступень, стадия отбора
имеет свою единицу отбора.
Многофазная выборка – на всех ступенях выборки сохраняется одна и та же
единица отбора, но проводится несколько стадий, фаз выборочных обследований,
которые различаются между собой широтой программы обследования и объемом
выборки.
Для отобранных единиц рассчитываются обобщенные показатели (средние
или относительные) и в дальнейшем результаты выборочного исследования распространяются на всю генеральную совокупность.
6.2. Ошибки выборки
6.2.1. Предельная и средняя ошибки выборки
В статистике приняты следующие условные обозначения.
Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности к
числу единиц генеральной совокупности:
,
где N – объем генеральной совокупности;
n – объем выборки.
Выборочная доля (w), или частность, определяется отношением числа еди-
ниц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной со-
вокупности (n):
Два основных вида обобщающих показателей, которые используют в вы-
борочном методе – это средняя величина количественного признака и относи-
тельная величина альтернативного признака.
В генеральной совокупности доля единиц, которая обладает изучаемым при-
знаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изу-
чаемого варьирующего признака – это генеральная средняя (обозначается
x
).
Основной задачей при выборочном исследовании является определение
ошибок выборки. Ошибка выборки присуща только выборочным наблюдениям.
79
Для характеристики надежности выборочных показателей различают
предельную и среднюю ошибки выборки.
Выборочная средняя и выборочная доля – это случайные величины, принима-
ющие различные значения в зависимости от единиц изучаемой статистической совокупности, которые попали в выборку. Соответственно ошибки выборки – тоже
случайные величины и также могут принимать различные значения. Поэтому
определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.
Рассмотрим ошибки при 4-х видах отбора.
1. Собственно-случайная выборка – это отбор единиц из всей генеральной
совокупности посредством жеребьевки (например, розыгрыш лотерей) или другим
подобным способом (например, по таблице случайных чисел).
Принципом случайности является то, что на включение или исключение объ-
екта из выборки не может повлиять любой фактор, кроме случая.
Собственно-случайный отбор в чистом виде в практике выборочного
наблюдения встречается редко, но он является исходным среди всех других видов
отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного статистического наблюдения.
Средняя ошибка выборки определяется объемом выборки: чем больше
численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки
выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц
генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.
Средняя ошибка выборки зависит от степени варьирования изучаемого
признака, в свою очередь степень варьирования характеризуется дисперсией 2.
Чем меньше вариация признака и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки,
и наоборот.
При случайном повторном отборе средние ошибки рассчитывают по сле-
дующим формулам:
1) для средней количественного признака:
n
Г
x
2
где
2
г
– средняя величина генеральной дисперсии количественного признака.
2) для доли (альтернативного признака):
В эти формулы входит дисперсия признака в генеральной совокупности.
Практически генеральная дисперсия точно не известна, но в теории вероятности
доказано, что
,
где
2
г
– генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокуп-
ности);
80
2
в
– выборочная дисперсия того же признака;
Так как величина при достаточно больших n близка к 1, можно считать,
что . Тогда средняя ошибка выборки может быть рассчитана:
n
B
x
2
.
Но в случаях малой выборки (при n<30) коэффициент необходимо учи-
тывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.
При случайной бесповторной выборке приведенные формулы корректиру-
ются на величину . Тогда средняя ошибка бесповторной выборки:
и .
Т.к. n всегда меньше N, то множитель ( ) всегда меньше 1. Это значит, что
средняя ошибка при бесповторном отборе всегда меньше, чем при повторном.
2. Механическая выборка применяется, когда генеральная совокупность ка-
ким-либо способом упорядочена (например, списки избирателей по алфавиту, теле-
фонные номера, номера домов, квартир).
Отбор единиц осуществляется через определенный интервал, который равен
обратному значению процента выборки. Так при 2% выборке отбирается каждая 50
единица =1/0,02 , при 5% каждая 1/0,05=20 единица генеральной совокупности.
Начало отсчета выбирается разными способами: случайным образом, из се-
редины интервала, со сменой начала отсчета. Главное при этом – избежать систематической ошибки. Например, при 5% выборке, если первой единицей выбрана 13я, то следующие 33, 53, 73 и т.д.
При достаточно большой совокупности механический отбор по точности
результатов близок к собственно-случайному. Поэтому для определения средней
ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной выборки.
3. Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка. Она используется, когда все единицы генеральной
совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных
групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели. Например, при обследовании предприятий это могут быть отрасли, подотрасли, при изучении населения – районы, социальные или возрастные группы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]