Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистика. Учебное пособие для СПО
.pdf
61
5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ
ВАРИАЦИИ ПРИЗНАКА
5.1. Общая характеристика средних величин
В целях анализа и получения статистических выводов по результатам сводки
и группировки исчисляют обобщающие показатели – средние и относительные
величины.
Средняя величина – это обобщающая характеристика единиц совокупности
по какому–либо варьирующему признаку.
Задача средних величин – охарактеризовать все единицы статистической со-
вокупности одним значением признака.
Индивидуальные значения исследуемого статистического признака у каждой
единицы совокупности различны.
Одни индивидуальные явления имеют признаки, которые существуют во всех
явлениях, но в разных количествах – это рост или возраст человека. Другие признаки
индивидуального явления, качественно различные в различных явлениях, т. е. имеются у одних и не наблюдаются у других (мужчина не станет женщиной). Средняя
величина вычисляется для признаков качественно однородных и различных
только количественно, которые присущи всем явлениям в данной совокупности.
Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака,
т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным
совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на
двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть
не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты
труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем по-
лучает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отра-
жает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности, ведь значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону
под влиянием множества факторов, среди которых могут быть и случайные.
Средняя, рассчитываемая для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц, называется типической средней. Например, можно рассчитать
среднемесячную заработную плату работника той или иной профессиональной
группы (шахтера, врача библиотекаря). Разумеется, уровни месячной заработной
платы шахтеров в силу различия их квалификации, стажа работы, отработанного за
62
месяц времени и многих других факторов отличаются друг от друга, так и от уровня
средней заработной платы. Однако в среднем уровне отражены основные факторы,
которые влияют на уровень заработной платы, и взаимно погашаются различия, которые возникают вследствие индивидуальных особенностей работника. Средняя заработная плата отражает типичный уровень оплаты труда для данного вида работников. Получению типической средней должен предшествовать анализ того,
насколько данная совокупность качественно однородна. Если совокупность состоит
их отдельных частей, следует разбить ее на типические группы (средняя температура по больнице).
Средние величины, используемые в качестве характеристик для неоднородных совокупностей, называются системными средними. Например, средняя вели-
чина валового внутреннего продукта (ВВП) на душу населения, средняя величина
потребления различных групп товаров на человека и другие подобные величины,
представляющие обобщающие характеристики государства как единой экономической системы.
Средняя величина абстрактна, так как характеризует значение абстрактной
единицы.
Средняя величина является отражением значений изучаемого признака и измеряется в той же размерности, что и этот признак.
Примеры экономических показателей, основанных на вычислении средней величины и раскрывающих ее сущность:
расчет средней заработной платы работников предприятия осуществля-
ется делением общего фонда заработной платы на число работников;
средний размер вклада в банке находят делением суммы вкладов в денеж-
ном выражении на количество вкладов;
для определения средней дневной выработки одного работника необхо-
димо объем работ (количество деталей), выполненных работником за определенный период разделить на число дней в этом периоде.
Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он
должен рассчитываться с учетом определенных принципов.
Некоторых общие принципы применения средних величин.
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из каче-
ственно однородных единиц.
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно
большого числа единиц. Соблюдение этого условия необходимо для того, чтобы во-
шел в силу закон больших чисел, в результате действия которого случайные отклонения индивидуальных величин от общей тенденции взаимно погашаются.
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой нахо-
дятся в нормальном, естественном состоянии.
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания иссле-
дуемого показателя.
63
Средняя величина характеризует изучаемую совокупность только по одному признаку. Для полного и всестороннего представления изучаемой совокуп-
ности по ряду определенных признаков необходимо располагать системой средних
величин, которые могут описать явление с разных сторон.
Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние,
структурные средние.
5.2. Виды степенных средних величин
В статистической обработке материала возникают различные задачи, которые
необходимо решать, и поэтому в статистической практике используются различные
средние величины.
Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени
(m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие
виды степенных средних:
1. Средняя арифметическая, если m = 1;
2. Средняя гармоническая, если m = - 1;
3. Средняя квадратическая, если m = 2 (показатели вариации);
4. Средняя геометрическая, если m > 0 (ряды динамики);
5. Средняя хронологическая (ряды динамики).
Для того чтобы применить одну из вышеперечисленных видов средней, необходимо проанализировать изучаемую совокупность, определить материальное содержание изучаемого явления, все это делается на основе выводов, полученных из
принципа осмысленности результатов при взвешивании или суммировании.
В изучении средних величин применяются следующие показатели и обозна-
чения.
Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым при-
знаком и обозначается х; величина осредняемого признака у любой единицы стати-
стической совокупности называют индивидуальным его значением, или вариан-
той, и обозначают как x1 , х2 , x3 ,… хп ; частота – это повторяемость индивидуаль-
ных значений признака, обозначается буквой f.
Каждая из средних может приобретать две формы: простую и взвешенную.
Простая форма средней применяется, когда средняя вычисляется по первич-
ным (несгруппированными) данным.
Взвешенная форма – при расчете средней по вторичным (сгруппированным)
данным.
1. Средняя арифметическая
Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметиче-
ская, которая исчисляется тогда, когда объем осредняемого признака образуется
как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.
Для вычисления средней арифметической величины сумму всех значений
признака делят на их число.
64
n
x
n
i
i
x
1
Если данные не сгруппированы, то рассчитывают среднюю арифметическую простую.
Например, результаты наблюдения стажа работы бригады из 10 человек - 5,
8, 4, 9, 6, 1, 3, 7, 2, 7. Средний стаж бригады
2.5
10
7273169485
x
Если данные группированы и некоторые варианты встречаются несколько
раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на
соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя арифметическая называется
средней арифметической взвешенной.
Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим об-
разом:
где хi – варианта или середина интервала i-ой группы,
fi – частота или вес i-ой группы.
Взвешенная средняя величина должна употребляться во всех случаях, когда
варианты имеют различную численность.
Пример
Определить средний возраст, если в группе 25 человек, из них 4 – 17 лет, 10 18 лет, 7 – 19 лет, 4 – 20 лет.
,
4,18
25
4*207*1910*184*17
x
Арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными
объектами общую величину признака, в действительности варьирующуюся у каждого из них.
Вычисление средних величин производят по данным, сгруппированным в
виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых
исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от – до). В этом случае значение признака хi равно середине интервала.
65
Пример
Возраст, лет
х
i
Количество рабочих, чел.
fi
20 – 24
22
3
24 – 28
26 6 28 – 32
30
8
32 – 36
34
10
Свыше 36
38
6
2,31
33
1030
610863
6*3810*348*306*263*22
x
Условная протяженность открытых интервалов принимают равной протяженности ближайшего к нему закрытого интервала (в некоторых случаях граница назначается логически).
Пример
до 3 (1 – 3)
3 – 5
5 – 10
10 – 20
20 и более (20 – 30)
Следует помнить, что средняя величина, рассчитанная на основе интервального ряда, является величиной приближенной и в первую очередь выполняет роль
оценки.
Свойства средней арифметической:
1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме сред-
них арифметических величин: Если хi = yi + zi, то
Это свойство показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины.
2) алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирую-
щего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону
погашается суммой отклонений в другую сторону:
Это правило демонстрирует, что средняя является равнодействующей.
3) если все значения признака увеличить или уменьшить на одно и тоже по-
стоянное число, то средняя увеличится или уменьшится на это же постоянное число:
66
4) если все значения признака увеличить или уменьшить в А раз, то средняя
также увеличится или уменьшится в А раз:
5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров ве-
сов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть взяты не
только относительные, но и абсолютные величины.
Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и тоже число d, то
средняя не изменится.
2. Средняя гармоническая
Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд
вариантов и частот, т. е. значения х и f.
Допустим, известны индивидуальные значения признака х и произведения хf,
а частоты f неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение
хf = m; откуда:
Далее преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по существующим данным х и m исчислить среднюю. Выразив в формуле средней арифме-
тической через х и m, получим:
Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной и
обозначается х
гарм. взв
.
Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f, а известно произве-
дение fх = m .
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию под-
лежат не сами варианты, а обратные им величины: .
Когда произведения fх одинаковы или равны единицы (m=1) применяется
средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:
67
где х – отдельные варианты;
N – число вариант.
3. Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных
функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней
квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.
Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадрат-
ного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака
на их число.
Средняя квадратическая взвешенная равна:
Пример. Вычислить среднюю величину измеренных отклонений фактиче-
ской длины изделий от заданной нормы.
Отклонения, мм,
Число изделий,
-1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
0
10
8,28
Для расчета средней квадратической взвешенной определяем и заносим в таб-
лицу и . Тогда средняя величина отклонений длины изделий от заданной
нормы равна:
Средняя арифметическая в данном случае была бы непригодна, т.к. в резуль-
тате мы получили бы нулевое отклонение.
4. Средняя геометрическая
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и поз-
воляет определить средний коэффициент роста.
Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:
68
Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффи-
циентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.
Пример. Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в
1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12
раза.
Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет:
, т.е. число зарегистрированных преступлений еже-
годно росло в среднем на 12%.
Средняя геометрическая взвешенная используется, когда временные интер-
валы неодинаковы:
,
5.3. Структурные средние величины. Мода и медиана
Для характеристики структуры статистической совокупности применяются
показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и
медиана.
Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение
признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.
Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.
Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского
спроса и регистрации цен.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.
В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вари-
ант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).
В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является мо-
дой.
где хо – нижняя граница модального интервала (модальным называется интер-
вал, имеющий наибольшую частоту);
i – величина модального интервала;
fm – частота модального интервала;
f
т—1
– частота интервала, предшествующего модальному;
f
m+1
– частота интервала, следующего за модальным.
Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.
69
Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является
величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее
часто встречающийся тип покупателя).
Медиана (Me) – это величина, которая делит численность упорядоченного
вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего
признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.
Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше
или равен половине остальных элементов ряда распределения.
Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений
значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.
Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при
использовании других форм средних.
Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду сле-
дующий:
располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;
определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты;
по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:
Для интервального ряда в этом случае определяется только интервал, в котором будет находиться Me[x], само значение приближённо можно определить, как:
,
где x0 – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i - величина медианного интервала;
fМе- частота медианного интервала;
S
me-1
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а
предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.
Медиану можно определить графически, по кумуляте. Для этого последнюю
ординату, равную сумме всех частот или частостей, делят пополам. Из полученной
точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса
точки пересечения и дает значение медианы.
Пример. Дан ряд чисел: 15; 15; 12; 14; 13. Найдите размах, среднее арифме-
тическое, медиану и моду этого ряда.
1) Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих
чисел. В данном случае размах равен R = 15-12 = 3
70
2) Среднее арифметическое данного ряда находим по формуле средней ариф-
метической простой. Хср = (15+15+12+14+13)/5=13,8
3) Для определения медианы необходимо предложенный ряд упорядочить –
расположить числа, например, в порядке возрастания: 12; 13; 14; 15; 15.
Медиана нечетного количества чисел в дискретном ряде – это число, записанное посередине. Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.
Поскольку в нашем случае количество чисел ряда нечетное, то Ме = 14.
4) Мода дискретного ряда чисел – это число, которое встречается в данном
ряде чаще других. Так как число 15 встречается в нашем ряде чаще других, то Мо =
15.
5.4. Показатели вариации
5.4.1. Понятие и показатели вариации для количественных признаков
Термин «вариация» произошел от лат. variatio – «изменение, колеблемость,
различие».
Внутри изучаемой совокупности индивидуальные значения признака различаются. Эти различия возникают в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий),
которые по–разному сочетаются в каждом отдельном случае. Различия признаков
называются вариацией признаков.
Под вариацией понимают количественные изменения величины исследуе-
мого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.
Показатели вариации характеризуют колеблемость индивидуальных значе-
ний признака по отношению к среднему значению, что не менее важно, чем определение самой средней. Средняя не показывает строения совокупности, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи
средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух
совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом эти отличия велики, т.е. в одном случае
вариация признака мала, а в другом велика.
Это можно показать на таком примере. Предположим, что две бригады из 3-х
человек каждая выполняют одинаковую работу. Количество деталей, изготовленных за смену отдельными рабочими, составило:
в первой бригаде - 95, 100, 105;
во второй бригаде - 75, 100, 125.
Средняя выработка на одного рабочего в бригадах составила
, .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]