Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии и изгибе стержней. Учебно-методическое пособие.pdf
○ 1) линейному закону и в волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси, принимают наи-
M
zz
xx
zz
MM
hh
JJ
4.
2
s
большие по абсолютной величине значения;
○ 2) линейному закону и на верхних волокнах равны нулю;
○ 3) линейному закону и на нижних волокнах равны нулю;
○ 4) закону квадратной параболы и в крайних волокнах принимают наибольшие по абсолютной
величине значения;
○ 5) линейному закону и на нейтральной оси принимают наибольшие по абсолютной величине
значения.
Комментарий:
Нормальные напряжения в поперечном сечении балки при плоском прямом изгибе определяют-
z
.
ся по формуле
s=
x
y
Переменная у имеет степень, равную единице, а значит, нормальные на-
J
z
пряжения изменяются по линейному закону. Так как переменная у отсчитывается от центральной
оси z, то на нейтральной оси sx = 0. В крайних волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси,
эти напряжения наибольшие. Пусть у = h
— расстояние от оси z до верхнего волокна; у = h
верх
ниж
—
расстояние от оси z до нижнего волокна. Значит,
верх ниж
s= s=
и
верх ниж
.
Правильный ответ: 1).
Тест 3.3.5
Балкаиспытываетплоскийпрямойизгиб.Главныенапряжениявточкахнауровненей-
тральногослоядействуютподуглом a косибалки,которыйравен...
○ 1) ± 60o; ○ 4) 0;
○ 2) ± 30o; ○ 5) ± 90o.
○ 3) ± 45o;
Комментарий:
Углы наклона главных напряжений в балке при плоском прямом изгибе определяются по форму-
ле tg a
1,2
= t/s
. На нейтральном слое имеем: t = tнб и s = 0. Тогда
1,2
s = ± s + t = ±t
1,2
22
нб
В результате получим: tg a
= ±1 и s
1,2
= ±45o.
1,2
Правильный ответ: 3).
Тест 3.3.6
Напряжения,действующиенаграняхбесконечномалогоэлемента,выделенногоиздвутав-
ровойбалки(см.рис.),характеризуютнапряженноесостояние…
□ 1) в точке 1; □ 4) в точке 4;
□ 2) в точке 3; □ 5) в точке 2.
□ 3) в точке 5;
71
Комментарий:
P
x
y
O
P
b b
.
.
.
.
.
2
1
4
5
3
s
x
s
x
x
y
zz
При определении точки, в окрестности
которой вырезан элемент, удобно действовать по следующей схеме:
1. Построить эпюры Q и M для шарнирно-
опёртой симметрично нагруженной балки.
2. Векторы напряжений sx на выделен-
ном элементе изображены сжимающими,
так как направлены в сторону, противоположную направлению внешней нормали к
площадке. Значит, искомая точка располагается в сжатой зоне балки, то есть выше оси
Ох. Это следует из эпюры M, которая по-
строена на растянутых нижних волокнах.
3. Векторы напряжений tyx направлены
соответственно: в положительном направлении оси Оу — на правой грани и в отрицательном направлении оси Оу — на левой
грани. Это по правилу знаков соответствует положительным касательным напряжениям tyx > 0. С другой стороны, знак tyx — такой же, как знак поперечной силы Q. Из эпюры очевидно, что Q = +P на участке АВ.
4. Делаем вывод: искомые точки находятся на участке АВ выше оси Ох. Их две — т. 1 и т. 2.
Правильные ответы: 1), 5).
Тест 3.3.7
Напряжения,действующиенаграняхбесконечномалогоэлемента,выделенногоиздвутав-
ровойбалки(см.рис.),характеризуютнапряженноесостояние…
□ 1) в точке 2; □ 4) в точке 5;
□ 2) в точке 3; □ 5) в точке 1.
□ 3) в точке 4;
Комментарий:
При определении точки, в окрестности которой вырезан элемент, действуем по схеме, описан-
ной в предыдущем Тесте 3.3.6:
1. Строим эпюры Q и M для шарнирно опёртой симметрично нагруженной балки (см. Тест 3.3.6).
2. Векторы напряжений sx на выделенном элементе изображены растягивающими, так как на-
правлены в сторону внешней нормали к площадке. Значит, искомая точка располагается в растянутой зоне балки, то есть ниже оси Ох. Это следует из эпюры M, построенной на растянутых нижних
волокнах.
3. Векторы касательных напряжений отсутствуют: tyx = 0. Такое напряжённое состояние в точке
является одноосным.
Во-первых, это характерно для всех точек, лежащих на нижних и верхних волокнах, так как
отс
QS y Q
t= = =
yx
() 0
yz y
() ()
Jby Jby
72
⋅
0.
Значит, выбираем т. 2 и т. 3 (они — в растянутой зоне).
P
x
y
O
P
b b
.
K
M
y
z
.
σ τ
σ
τ
нб
σ
σ
σ
нб
=
нм
σ
=
x yx
22
0.
22
M
Во-вторых, ищем место на балке, где Q = Qy = 0. Из эпюры Q видно, что это — участок ВС. Сле-
довательно, т. 5 тоже удовлетворяет заданным условиям.
4. Вывод: искомые точки находятся на всех нижних волокнах и на участке ВС ниже оси Ох.
Их три — т. 2, т. 3, т. 5.
Правильные ответы: 1), 2), 4).
Тест 3.3.8
ГлавныенапряжениявточкеKдвутавровойбалкиравны:
□ 1) s2 = 0; □ 4) s1 = tнб;
□ 2) s1 = 0; □ 5) s2 = –tнб.
K
s=−
□ 3)
Комментарий:
В сечении балки, где находится точка K (участок CD на рисунке к тесту 3.3.6), эпюры напряже-
ний выглядят так (М > 0, Q < 0):
2
W
;
z
Главные напряжения в точке K равны:
s = ± +t = ± + = ±
−s s
То есть
Правильные ответы: 2), 3).
s= + =
1
s
1,2
2 2 22
0
s = − = −s =
и
x
2
2
s
x
2
−s s
22
−s −s s
xy
K
.
W
z
2
−s
2
Тест 3.3.9
Главныенапряженияравнынаибольшимкасательнымнапряжениям |s
щихточкахдвутавровойбалки:
□ 1) в точке 4; □ 4) в точке 5;
□ 2) в точке 2; □ 5) в точке 3.
□ 3) в точке 1;
73
| = tнб вследую-
1,2
P
x
y
O
P
b b
.
.
.
.
5
1
2
3
4
Комментарий:
22
P
x
y
O
P
b b
.
.
.
.
.
2
3
4
5
1
22
22
0.
22
ss
y
z
.
σ τ
σ
τ
нб
σ
x
yx
σ
σ
нб
=
нм
σ
=
Наибольшие касательные напряжения в двутавровой балке
1/2
QS
возникают в точках на уровне нейтрального слоя:
Здесь же ( y = 0) нормальные напряжения отсутствуют sx = 0.
Это очевидно из эпюр sx и txy .
Поэтому главные напряжения равны наибольшим касатель-
ным напряжениям |s
| = t на нейтральной оси балки (при y = 0) :
1,2
t=
нб
yz
Jd
z
.
s
s = ± +t = ± +t =±t
1,2
Но для того, чтобы напряжения были ненулевыми tнб ≠ 0,
надо исключить зону, где Q = 0, то есть участок ВС (см. рис. в тесте 3.3.6). Тогда искомыми являются две точки: т. 1 и т. 3.
Правильные ответы: 3), 5).
x
22
2
s
x
2
0
xy
2
0
2
нб нб
.
Тест 3.3.10
Главныенапряженияравнынаибольшимнормальнымнапряжениям |s
щихточкахдвутавровойбалки:
□ 1) в точке 1; □ 4) в точке 4;
□ 2) в точке 2; □ 5) в точке 5.
□ 3) в точке 3;
Комментарий:
Главные напряжения равны наибольшим нормальным напряжениям |s
них и нижних волокон балки (см. рис. в Тесте 3.3.8):
| = s во всех точках верх-
1,2
| = tнб вследую-
1,2
s = ± +t = ± + =s
Очевидно, что искомыми являются две точки: т. 1 и т. 4.
Правильные ответы: 1), 4).
ss
1,2
x
22
x
xy
нб
нб
нб
74
РАЗДЕЛ 3.4.
xx
3q
z
2l
z
x
2q
4l
2l
РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
Тест 3.4.1
Консольнаябалка,нагруженнаяраспределённойнагрузкой,имеетсимметричноесечение
относительноцентральнойоси z.Моментсопротивленияпоперечногосеченияравен Wz .
Условиепрочностидляданнойбалкиимеетвид...
○ 1)
○ 2)
○ 3)
12
6
6
W
W
W
ql
ql
ql
z
2
;
R
≤g
z
2
≤g
2
≤g
c
R
c
R
c
○ 4)
;
○ 5)
;
;
18
3
W
W
ql
ql
2
;
R
≤g
2
≤g
c
.
R
c
z
z
Комментарий:
Наибольшее нормальное напряжение возникает в опасном сечении — в заделке, где действует
наибольший по абсолютной величине изгибающий момент Mнб. Значит, условие прочности запишется так:
s = = = ≤g
M
нб c
WW W
3 2 2 12
q l l ql
нб
zz z
⋅⋅
2
.
R
Правильный ответ: 1).
Тест 3.4.2
Деревяннаябалкаквадратногосечения(a=12см)находитсяподдействиемрасчетнойна-
грузки; l =0,6м,gc =1, R=14МПа.
Наибольшаядопустимаянагрузка q изусловияпрочностиравна:
○ 1) 7,3 кН/м; ○ 4) 2,8 кН/м;
○ 2) 6,4 кН/м; ○ 5) 1,5 кН/м.
○ 3) 9,0 кН/м;
75
Комментарий:
66
1 1,4 288
RW
g
⋅⋅
xx
P
4P
l
l
r
7
M
Pl
44
1 1,3 2639,375
7 7 90
RW
l
g
⋅⋅
Наибольшее нормальное напряжение возникает на правой опоре балки, где действует наиболь-
ший изгибающий момент: Mнб = 2q · 2l · l = 4ql2.
Тогда условие прочности, по методу предельных состояний, имеет вид:
M
s = = ≤g
нб c
нб
WW
zz
2
4
ql
.
R
Подставив сюда момент сопротивления квадратного сечения
33
12
a
W = = =
z
288 ,
см
3
находим наибольшую допустимую нагрузку:
cz
q
≤= = =
22
4 4 (60)
l
⋅
0, 28 2,8
кН/см кН/м.
Правильный ответ: 4).
Тест 3.4.3
Деревяннаябалкакруглогосечения(r=15см)находитсяподдействиемрасчетнойнагруз-
ки;l =0,9м,gc =1,R=13МПа.НаибольшаядопустимаясилаРизусловияпрочностиравна:
○ 1) 11,2 кН; ○ 4) 8,3 кН;
○ 2) 5,4 кН; ○ 5) 13,5 кН.
○ 3) 2,6 кН;
Комментарий:
Очевидно, что наибольшее нормальное напряжение возникает в заделке, где действует наиболь-
ший изгибающий момент:
M P l P l Pl= ⋅ − ⋅=
4 2 7.
нб
Тогда условие прочности, по методу предельных состояний, имеет вид:
Подставив сюда момент сопротивления круглого сечения
ходим наибольшую допустимую силу:
cz
P
≤= =
Правильный ответ: 2).
Тест 3.4.4
Проверкапрочностипонаибольшимкасательнымнапряжениямприизгибепроизводится...
□ 1) в коротких балках;
□ 2) в длинных балках;
□ 3) в балках, нагруженных большими по величине продольными силами;
76
33
3,14 15
rWπ⋅
= = =
z
5, 46
кН.
s = = ≤g
нб c
нб
WW
zz
2649,375 ,
см
3
R
на-
.
⋅
□ 4) в балках, нагруженных большими по величине поперечными сосредоточенными силами
6394
1
2
MW
1
2
MW
вблизи опор;
□ 5) в балках, где возникают большие изгибающие моменты.
Комментарий:
Условие прочности по наибольшим касательным напряжениям записывается в виде: tнб ≤ gcRs,
где Rs — расчётное сопротивление материала балки при сдвиге. Например, для стали марки ВСт3
Rs = 130 МПа (при R = 210 МПа).
Расчёт на прочность по касательным напряжениям проводится в коротких балках (отношение
длины балки к высоте сечения невелико l/h ≤ 5) и в балках, нагруженных большими по величине
поперечными сосредоточенными силами, расположенными близко к опорам. При этом поперечная
сила Qнб может быть довольно значительна по абсолютной величине, а изгибающий момент Мнб —
сравнительно небольшой.
Правильные ответы: 1), 4).
Тест 3.4.5
Консольнаябалкаимееткоробчатоесечение120×160×10мм;l=0,5м,sт=230МПа.Разру-
шающаянагрузка q,прикоторойисчерпываетсянесущаяспособностьбалки,равна:
○ 1) 17,5 кН/м; ○ 4) 39,7 кН/м;
○ 2) 26,2 кН/м; ○ 5) 55,0 кН/м.
○ 3) 63,9 кН/м;
Комментарий:
Опасное сечение, где при потере несущей способности балки возникает так называемый пласти-
ческий шарнир, находится в заделке. Здесь Mнб = q · 2l · 2 l = 4ql 2.
Вычислим разрушающий момент:
1/2
MS=s⋅ = ⋅ ⋅⋅−⋅⋅ = ⋅
разр т
2 23 2(8 12 4 7 10 3,5) 6394
z
кН см.
Для определения параметра разрушающей нагрузки q запишем равенство: 4ql2 = 6394 кН ∙ см.
Отсюда находим искомую величину:
4 (50)
⋅
0,639 63,9
2
кН/см кН/м.q = = =
Правильный ответ: 3).
Тест 3.4.6
Балкаснесимметричнымотносительнонейтральнойосиzпоперечнымсечениемиспыты-
ваетплоскийпрямойизгиб.
Разрушающий момент M
равен:
○ 1)
= s
разр т z
пл
;
, при котором исчерпывается несущая способность балки,
разр
○ 2)
= s
разр т z
пл
;
77
○ 3) М
2;
MS
WSS
○ 4)
○ 5) М
= sтSz;
разр
=s⋅
разр т z
= sтWz.
разр
1/2
Комментарий:
Если сечение несимметрично относительно нейтральной оси z, то увеличение нагрузки при рабо-
те балки за пределами упругости приведёт к смещению нейтральной оси от центра тяжести. В предельном состоянии, когда напряжения во всех волокнах балки достигнут предела текучести, «новая»
нейтральная ось z1 разделит сечение на две равновеликие части — сжатую и растянутую: A
сж
= А
раст
Наибольший момент в опасном сечении, при котором исчерпывается несущая способность балки,
называется разрушающим: M
= sтW пл.
раст
Здесь W пл — пластический момент сопротивления сечения, вычисляемый по формуле:
.
где
пл сж рас
= +
z
1
сж
S
— статический момент сжатой части сечения относительно нейтральной оси z1;
z
1
,
z
1
статический момент растянутой части сечения относительно нейтральной оси z1.
Правильный ответ: 1).
рас
S
—
z
1
78
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с ос-
новами теории упругости и пластичности: Учебник / Г.С. Варданян, В.И. Андреев, Н.М. Атаров,
А.А. Горшков. — Москва : ИНФРА-М, 2011. — 636 с. — ISBN 978-5-16-003872-8.
2. Андреев В.И., Паушкин А.Г., Леонтьев А.Н. Техническая механика (для учащихся строитель-
ных вузов и факультетов): Учебник / В.И. Андреев, А.Г. Паушкин, А.Н. Леонтьев. — Москва : Издательство АСВ, 2013. — 256 с. — ISBN 978-5-93093-867-8.
3. Сопротивление материалов (с примерами решения задач): учебное пособие для студентов,
обучающихся по направлению «Строительство» / Н.М. Атаров, Г.С. Варданян [ и др.]; под. ред.:
Н.М. Атарова. — Москва : КНОРУС, 2017. — 332 с. — ISBN 978-5-406-04555-8.
4. Атаров Н.М. Сопротивление материалов в примерах и задачах: Учеб. пос. / Н.М. Атаров. —
Москва : ИНФРА-М, 2010. — 407 с. — ISBN 978-5-16-003871-1.
5. Сопротивление материалов. Учеб. пос. В 3 ч. Ч. 1 / Н.М. Атаров и [и др.]. — Москва : МГСУ,
2009. — 64 с. — ISBN 5-7264-0484-Х.
6. Сопротивление материалов. Учеб. пос. В 3 ч. Ч. 2 / Н.М. Атаров и [и др.]. — Москва : МГСУ,
2009. — 83 с. — ISBN 5-7264-0484-Х.
7. Сопротивление материалов. Учеб. пос. В 3 ч. Ч. 3 / Н.М. Атаров и [и др.]. — Москва : МГСУ,
2009. — 73 с. — ISBN 5-7264-0484-Х.
8. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами строи-
тельной механики: Учебник / Г.С. Варданян, Н.М. Атаров, А.А. Горшков. — Москва : ИНФРА-М,
2011. — 478 с. — ISBN 978-5-16-004414-9.
9. Сидоров В.Н. Сопротивление материалов. Учебник / В.Н. Сидоров; под редакцией В.А. Смир-
нова. — Москва : Издательство «Архитектура-С», 2013. — 304 с. — 978-5-9647-0242-9.
10. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости: Учебное издание /
В.Н. Сидоров. — Москва : Редакц.-издат. центр Ген. штаба ВС РФ, 2002. — 352. — ISBN 5-94377008-9.
11. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов: Учебник для вузов / А.Ф. Смирнов. — Москва :
Высшая школа, 1975. — 480 с.