Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии и изгибе стержней. Учебно-методическое пособие.pdf
Тест 1.4.3
N RA
∑
2
5
33
NP
AA
5 42
222
N PPPP
AAAA
−
P
A
2
18
P
21 18
2
a
3A
2A
P
b
5 Ð
Величина допустимой расчётной силы P для заданной стержневой системы из условия
прочности стержней DB и СВ, имеющих площадь поперечного сечения A=2×10,8 см2, при
R=20кН/см2иgc=1,0равна...
○ 1) 454 кН; ○ 3) 611кН; ○ 5) 310 кН.
○ 2) 227 кН; ○ 4) 787 кН;
Комментарий:
Данная система является статически определимой. Допустимые расчётные усилия в наклонных
стержнях одинаковы (в силу симметрии) и равны
личину в уравнение равновесия:
2 cos 45 0.YN P= °− =
=g = ⋅⋅ =
c
20 2 10,8 432 кН.
Отсюда получим:
Подставим эту ве-
2 432 610,94
P =⋅⋅=
2
(кН) ≈ 611 (кН).
Правильный ответ: 3).
Тест 1.4.4
Величина допустимой расчётной силы P из условия прочности
стержняпри R=21кН/см2,А=18см2иgc=1,0равна...
○ 1) 84 кН; ○ 4) 189 кН;
○ 2) 226 кН; ○ 5) 207 кН.
○ 3) 42 кН;
Комментарий:
Данная система является статически определимой. На верхнем участке, длиной «a», возникают напряжения
длиной «b», возникают напряжения
s= =
s= = = =
.
На нижнем участке,
.
Опас-
ным сечением является то, где возникают наибольшие напряжения:
2
s=
нб
.
При отыскании допустимой нагрузки наибольшие напряжения
приравниваются к gcR. Отсюда получим равенство:
Правильный ответ: 4).
s= =⋅
нб
1 21 .
кН/см
2
Значит
21
P⋅= =
189
кН.
Тест 1.4.5
∑
(453,6 3 0, 707) / 4,5 213,8P = ⋅⋅ =
21 2 7,39 310,38
N RA
∑
(310,38 2) / 4 155,19
P = ⋅= ≈
EA
EA
EA
EA
Величина допустимой расчётной силы P для заданной стержневой системы из условия прочности наклонного стержня, имеющего площадь поперечного сечения
A=2×10,8см2,приR=21кН/см2 иgc=1,0равна...
○ 1) 214 кН;
○ 2) 138 кН;
○ 3) 208 кН;
○ 4) 70 кН;
○ 5) 369 кН.
Комментарий:
Система является статически определимой. Допустимое
расчётное усилие в наклонном стержне N = gc RA = 21 · 2 · 10,8 =
= 453,6 кН. Подставим его в уравнение равновесия:
MN P= ⋅ °− ⋅ =
о
3sin 45 4,5 0.
Отсюда получим:
Правильный ответ: 1).
Тест 1.4.6
Величина допустимой расчётной силы P для приведенной стержневой системы из условия прочности
наклонного стержня, имеющего площадь поперечногосечения A=2×7,39см2,при R= 21кН/см2 иgc=1,0
равна...
○ 1) 302 кН;
○ 2) 110 кН;
○ 3) 155 кН;
○ 4) 201 кН;
○ 5) 67 кН.
Комментарий:
Данная система является статически определимой. Допустимое расчётное усилие в наклонном стержне:
=g = ⋅⋅ =
c
Отсюда получим:
Правильный ответ: 3).
кН.
Подставим его в уравнение равновесия:
кН кН.
кН ≈ 214 кН.
MN P= ⋅ °− ⋅ =
о
4sin 30 4 0.
Полноеудлинениевсегостержня(Е=const)равно...
2
5qa
○ 1)
○ 2)
○ 3)
○ 4)
52qa
32qa
−
32qa
;
2
;
2
;
2
;
Тест 1.4.7
22
2
EA
22 2 2
EA EA EA EA EA
2Pa
EA
5Pa
EA
4Pa
EA
32Pa
EA
4PaEA
755
242 4
Pb Pb Pb Pa
EA EA EA EA
⋅⋅⋅
Pa
EA
2Pa
EA
2Pa
EA
Pa
EA
EA
2qa
○ 5)
.
Комментарий:
Полное удлинение стержня Dl состоит из трёх составляющих: удлинения нижнего участка, длиной а, от растягивающей равномерно распределённой нагрузки 2q, удлинения верхнего участка,
длиной 2а, от растягивающей силы 2qa и укорочения верхнего участка от сжимающей силы Р. Уд линению соответствует знак «+», а укорочению — знак «−». Используя метод наложения решений,
получим:
2 222 2
2 2 (2 ) 2 8 4 5
qa qa a P a qa qa qa qa
l
D= + − = =
⋅ +−
.
⋅
Правильный ответ: 2).
Тест 1.4.8
Полноеудлинение(укорочение)всегостержня(Е =const)равно...
○ 1)
○ 2)
○ 3)
−
; ○ 4)
; ○ 5)
;
−
;
.
Комментарий:
Полное удлинение (укорочение) стержня Dl состоит из следующих составляющих: удлинения нижнего участка от силы 7Р и укорочения всего
стержня от силы 5Р. Удлинению соответствует знак «+», а укорочению —
знак «−» Используя метод наложения решений, получим:
l
D= − − =−
.
Правильный ответ: 3).
Тест 1.4.9
Осевоеперемещениесечения m-m стержня(Е =const)равно...
4
−
○ 1)
(перемещение вниз);
−
○ 2)
○ 3)
○ 4)
−
○ 5)
(перемещение вниз);
(перемещение вверх);
(перемещение вверх);
Pa
(перемещение вниз).
23
Комментарий:
11 2
EA
EA
EA
EA
EA
22
2 24 2
EA EA EA EA
2,5 2,3 (2,5 3,8) 2
22
⋅ −⋅
12
25 1,8 (25 38) 2
22
EE
⋅ −⋅
2,5 230 (2,5 1,0) 200
⋅ −⋅
Для стержня с постоянной жёсткостью ЕА осевое перемещение u(x) определяется по формуле:
x
() ,
u x Ndx C
1
= +
∫
EA
0
где С = u(0). Но перемещение начального (при x = 0) сечения в заделке u(0) = 0. Значит, при x = a на-
ходим перемещение сечения m-m:
aa
u a Ndx P dx
= =−=
() (2) .
∫∫
EA EA EA
00
Pa
−
Знак «−» означает, что сечение переместилось вниз.
Правильный ответ: 2).
Тест 1.4.10
Полноеудлинениевсегостержня(Е =const)равно...
2
152qa
○ 1)
332qa
○ 2)
;
2
;
2
9qa
○ 3)
○ 4)
○ 5)
32qa
−
6qa
;
2
;
2
.
Комментарий:
Полное удлинение (укорочение) стержня Dl состоит из трёх составляющих: удлинения всего стержня от силы Р, удлинения участка длиной 3a, от силы P1 и укорочения этого участка от равномерно распределённой нагрузки 4q.
Удлинению соответствует знак «+», а укорочению — знак «−». Используя метод наложения решений, получим:
3
Pa
(2 3) 4(3) 15
P a a q a qa
l
D= + − =
+
⋅
1
.
Правильный ответ: 1).
Тест 1.4.11
Абсолютнаядеформациястержня,определеннаяспомощьюправильнойэпюрынормальныхнапряжений,равна...
○ 1. По эпюре 2)
○ 2. По эпюре 1)
○ 3. По эпюре 3)
l
D= +
AD
l
D= −
AD
l
D= −
AD
EA EA
11 2 2
EA EA
11 2 2
;
;
;
2
24
○ 4. По эпюре 1)
12
2,5 180 (1,0 3,8) 200
EE
12
2,5 1,8 (25 38) 2
EE
⋅ −⋅
5
N
5
N
(1,0 3,8) 200
2
−⋅
D= +
l
AD
⋅ −⋅
2
;
○ 5. По эпюре 2)
l
D= −
AD
2
.
Комментарий:
Закон изменения эпюры нормальных напряжений на участке с постоянной площадью поперечного сечения соответствует закону изменения продольной силы N. Поэтому правильная эпюра σ на
участке АВ имеется в вариантах 1) и 2), где N = 0. На участке ВС нормальное напряжение равно
кН
s= = = =
A
1
2,5 25
2
см
2
МПа
и постоянно во всех точках. Правильные эпюры σ на участке ВС — 1) и 2). В точке С изменяется
площадь поперечного сечения стержня, при этом величина продольной силы равна N = 5 кН. Значения нормальных напряжений выше точки С и ниже точки С имеют разные величины, при увеличении площади поперечного сечения стержня напряжение уменьшается
кН
s= = = =
A
2
1, 0 10
5
см
2
МПа
.
Для правильной эпюры σ — 1) сравниваем ответы 1 и 4. При использовании эпюры нормальных
напряжений абсолютная деформация стержня на участке с постоянной площадью поперечного сечения равна отношению площади эпюры нормальных напряжений к модулю упругости материала
стержня
l
()
Nx
l dx
D= =
∫
EA E
0
n
∑
i
=
W
s
i
.
i
1
На участке ВС — площадь прямоугольника равна 2,5·180;
на участке СD — площадь разнозначной трапеции равна
.
Правильный ответ: 4.
25
Тест 1.4.12
qb
EA
EA
EA
EA
EA
Nb
14
2
22 2
8 2 8 1, 5 12 2
⋅⋅ ⋅
8 2 8 1, 5 4 2
⋅⋅ ⋅
A
2b
q
b
m
m
Осевоеперемещениесеченияm-m стержня(Е =const)равно...
○ 1)
3
; ○ 4)
8qb
2
;
○ 2)
○ 3)
qb
4qb
2
; ○ 5)
2
.
8qb
2
;
Комментарий:
Перемещение начального (при x = 0) сечения в заделке равно u(0) = 0.
Жёсткость стержня ЕА = const. Значит, при x = 2b перемещение сечения m-m будет определяться по
формуле:
2
1
W
[0,2 ]
где W
xb
(2 ) ,
u b dx Ndx
— площадь части эпюры N, ограниченной начальным сечением x = 0 и заданным сечени-
N[0,2b]
N
= = =
∫∫
EA EA EA
00
ем x = 2 b. Эта часть эпюры имеет вид трапеции с основаниями qb и 3qb и высотой 2b. Следовательно,
W
Nb
ub b
(2 ) 2 .
[0,2 ]
= = ⋅=
EA EA EA
qb qb
+
3
qb
2
Знак «+» означает, что сечение переместилось вверх.
Правильный ответ: 3).
Тест 1.4.13
Абсолютнаядеформациястержня,определеннаяспомощьюправильнойэпюрыпродольныхсил,равна...
4 2 (12 4) 1,5 12 2
l
○ 1. По эпюре 3)
○ 2. По эпюре 1)
D= + +
AD
l
D= + −
AD
⋅ −⋅ ⋅
EA EA EA
11 22 22
;
22
EA EA EA
11 22 22
;
l
○ 3. По эпюре 2)
D= + +
AD
2
EA EA EA
11 11 2 2
;
26
○ 4. По эпюре 1)
8 2 8 1, 5 12 2
8 2 8 1, 5 4 2
;
⋅⋅ ⋅
ii
○ 5. По эпюре 2)
l
D= + −
AD
l
D= + −
AD
⋅⋅ ⋅
EA EA EA
11 22 22
EA EA EA
2
11 22 22
2
;
.
Комментарий:
Сравнение эпюр и определение значений внутренних продольных сил N начинаем со свободного торца, поскольку в этом случае значение силы N в сечении равно только нагрузке, действующей
со стороны свободного торца до рассматриваемого сечения.
На участке АВ действует равномерно распределенная нагрузка, поэтому эпюра продольных сил
меняется по линейному закону — на трех эпюрах линейная зависимость и значение N = 0 в точке
А, что является правильным. В сечении В внутреннее продольное усилие равно равнодействующей
распределенной нагрузки q, приложенной на участке АВ, т.е. N = q · 2 = 4 · 2 = 8 кН. На эпюре должен
быть знак плюс, обозначающий растяжение, вызванное нагрузкой q — правильно на эпюрах 1) и 2).
На участке ВС происходит растяжение, вызванное равномерно распределенной нагрузкой q. Зна-
чение внутренней продольной силы во всех точках участка ВС равно N = q·2 = 4·2 = 8 кН, правильной эпюрой является эпюра 2). В точке приложения сосредоточенной силы P = 12 кН должен быть
скачок, численно равный величине силы P. На эпюре 2) имеется скачок и значение внутренней продольной силы N во всех точках участка СD равно N = q · 2 – P = 4 · 2 – 12 = − 4 кН. Знак «минус» оз-
начает, что во всех точках участка возникает сжимающее усилие.
Абсолютная деформация стержня определяется по следующей формуле:
l
()
Nx
l dx
D= =
∫
EA E A
0
∑
i
=
n
W
N
i
,
1
при этом, используя физический смысл интеграла, величину абсолютной деформации стержня на
участке с постоянной жесткостью EiAi можно вычислить как сумму отношений площадей фигур,
ограниченных функцией N(x) на каждом участке, к величине EiAi.
Для правильной эпюры 2) рассматриваем два варианта ответов 3) и 5):
на участке АВ — площадь треугольника равна 8·2/2, жесткость — E1A1;
на участке ВС — площадь прямоугольника равна 8·1,5, жесткость — E2 A2;
на участке СD — площадь прямоугольника равна 4·2, жесткость — E2 A2.
Знаки «+» и «–» в выражении деформации стержня обозначают деформации растяжения и сжатия на участке.
Правильный ответ: 5.
ЧАСТЬ 2.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
Введение. Ключевые правила и формулы
При выполнении расчетов на прочность, жесткость и устойчивость конструкций формулы для
напряжений и деформаций содержат различные
величины, характеризующие влияние размеров
и формы поперечного сечения стержня на его напряженно-деформированное состояние. Эти величины принято называть геометрическими характеристиками поперечных сечений. Изучим эти
функции, освоим различные приемы их вычислений, проанализируем их свойства на примерах в
форме тестов, что позволит подготовиться к определению напряженного и деформированного состояний в стержнях. Основные элементы стержня
(балки, бруса) представлены на рис. 2.1.
Площадь поперечного сечения определяется по формуле:
Рис. 2.1
A dA=
На основании этого соотношения площадь делится на бесконечно малые площади dA, общая
площадь поперечного сечения равна сумме всех бесконечно малых площадей dA.
В расчетной практике начало выбранной системы координат помещают в центр тяжести сечения.
Центральными осями называются оси, проходящие через центр тяжести сечения. Положение
центра тяжести сечения известно, если поперечное сечение имеет две и более оси симметрии. Центр
тяжести расположен на пересечении осей симметрии поперечного сечения (рис. 2.2).
Рис. 2.2
В сечении, симметричном относительно одной оси, центр тяжести расположен на оси симметрии, при этом определяется одна координата центра тяжести. Известно, что в сечении, состоящем
из двух элементов, центр тяжести расположен на линии, соединяющей центры тяжести элементов
(рис. 2.3).
∫∫
.
A
Рис. 2.3
Статические моменты
Статические моменты сечения относительно осей Оx и Оy определяются по следующим формулам (рис. 2.4):
28
xc
S Ay
yc
S Ax
∑
∑
A
∑
A
∑
∑
∑
12
12
S yd A=
x
∫∫
A
,
S xdA=
y
∫∫
. (2.1)
A
Если известны координаты центра тяжести сечения, то статический
момент сечения относительно оси равен произведению площади сечения на координату центра тяжести:
= ⋅
,
= ⋅
. (2.2)
Координаты центра тяжести сечения определяются с помощью
статических моментов относительно произвольно выбранных осей
S
x
S
,
при разделении сечения на простые элементы, положе-
y
Рис. 2.4
ние центров тяжести которых известно, по формулам:
S
x
=
c
y
y
,
c
S
=
x
, (2.3)
где A — общая площадь сечения.
Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
S =
x
ñ
,
S =
y
ñ
0
. Это
0
свойство используется для поверки правильности определения координат центра тяжести сечения.
Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Последнее утверждение действительно относительно осей симметрии.
Моменты инерции сечения
Относительно двух взаимно перпендикулярных осей определяются три момента инерции сечения — два осевых и один центробежный — по следующим формулам:
∫∫
2
J x dA=
,
y
A
J y dA=
x
∫∫
2
J xydA=
,
xy
∫∫
A
A
. (2.4)
Поскольку произведение элементарной площади dA на квадрат расстояния до оси является поло-
J
жительной величиной, то осевые моменты инерции
чения. Центробежный момент инерции
J
может быть положительным, отрицательным и равным
xy
J
,
принимают только положительные зна-
x
y
нулю.
Центробежный момент инерции
J
равен нулю в следующих случаях:
xy
– достаточно, чтобы одна из осей являлась осью симметрии;
– относительно главных осей.
Моменты инерции простых фигур (рис. 2.5 и 2.6)
ПРЯМОУГОЛЬНИК ТРЕУГОЛЬНИК
Рис. 2.5 Рис. 2.6
Моменты инерции прямоугольника:
J =
x
bh
3
J =
,
y
29
3
hb
. (2.5)
Моменты инерции произвольного треугольника относительно трех осей, параллельных основа-
36
12
4
36
48
4
JR
8
222
rxy
( )
= =+=+
нию, определяются по формулам (рис. 2.6, а):
3
bh
J =
x
,
J =
x
3
bh
J =
,
1
x
3
bh
2
, (2.6)
где Ox — центральная ось.
Моменты инерции равнобедренного треугольника (рис. 2.6, б):
3
bh
J =
x
КРУГ, ПОЛУКРУГ
J =
,
y
Рис. 2.7
3
hb
. (2.7)
Осевые моменты инерции характеризуют расположение точек сечения относительно осей. В круглом сечении точки сечения расположены одинаково относительно осей Оx и Оy, поэтому осевые
моменты инерции круга равны между собой (рис. 2.7, а):
4
R
JJ
= =
xy
π
. (2.8)
Моменты инерции полукруга определяются по формулам (рис. 2.7, б):
4
R
4
JJ
0,11
=
x
,
xy
1
= =
π
. (2.9)
Полярный момент инерции
Рис. 2.8
В полярной системе координат момент инерции элементарной площади dA относительно полюса О равен произведению dA на квадрат расстояния r от полюса О до dA (рис. 2.8). Используя соот-
ношение
ции:
= +
, получим, что полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инер-
J r dA y x dA J J
p xy
2 22
∫∫ ∫∫
AA
. (2.10)
Соотношение (2.10) выражает связь между моментом инерции в полярной системе координат и
осевыми моментами инерции в декартовой системе координат.
30