Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии и изгибе стержней. Учебно-методическое пособие.pdf
33
12 12
8,1b =
( )
13
22
= + +=
yx
JJ
10,08
a =
JJ
= = = =
yy
12
hb
2 40
⋅
10666,67
см4.
Высота двутавра 16 см, это соответствует размеру двутавра № 16. Из сортамента выписываем следующие необходимые геометрические характеристики:
площадь сечения, ширину полки, значения моментов
инерции относительно центральных осей.
33
20, 2AA= =
см2,
JJ= =
yy
34
см,
58, 6
JJ= =
xx
34
см4.
873
см4,
Из расположения элементов сечения следует, что собственные оси листов проходят параллельно
центральной оси Оx, а собственные оси двутавров совпадают с центральной осью всего сечения Оx.
Значение моментов инерции листов относительно оси Оx сечения определяется с помощью формулы параллельного переноса осей, моменты инерции двутавров относительно центральной оси Оx
равны собственным моментам инерции этих элементов, что позволяет записать формулу:
J J Aa J
xx x
2
11
= 2(26,67 + 80 · 92) + 2 · 873 = 14 759,34 см4.
Выражение для момента инерции сечения относительно оси Оy состоит из суммы собственных
моментов инерции листов, т. к. собственные оси листов Оy1 и Оy2 совпадают с осью Оy всего сечения, и моментов инерции двутавров, которые выражается с помощью формулы параллельного переноса осей:
JJJJJ
yyyyy
=⋅ +++
2 10 666,67 2(58,6 20,2( 4,05) ).
1
+
JA
y
3
a
3
a
121
22 22 2
=+==+ =
2
b
+
2
2
2
Условие
=
позволяет определить значение a:
2 10666,67 2 58,6 20,2 ( 4,05) 2 14759,34a
⋅ + + ⋅+ =⋅
2
см4.
�см.
Правильный ответ: 2).
Тест 2.2.5
Соотношениемеждумоментамиинерцииотносительно
1
J
оси Оy двутавраисеченияиздвухшвеллеров
○ 1) 1, 34;
○ 2) 0,64;
○ 3) 1,08;
○ 4) 0,27;
○ 5) 0,97.
Комментарий:
Из сортамента для двутавра № 20 выписываем значение момента инерции относительно его собственной центральной оси Оy — J
1
= 115 см4.
y
y
равно…
2
J
y
41
Для сечения из двух швеллеров из сортамента выпи-
22 2 4
шем значения площади одного швеллера A1 = A2 = 23,4 см2,
момента инерции относительно собственной вертикальной центральной оси элемента Jy1 = Jy2 = 113 см4 и расстояние от центра тяжести швеллера до внешней поверхности
стенки, обозначенное в сортаменте z0 = 2,07 см.
Центральные оси элементов Оy1 и Оy2 находятся на расстоянии z0 от центральной оси Оy всего сечения. Для вычисления значения момента инерции относительно оси Оy
сечения из двух одинаковых швеллеров применяем формулу параллельного переноса осей, на основании которой
2( ) 2(113 23,4 2,07 ) 426,53 .см
J J Az= + = +⋅ =
yy
10
1
Соотношение между моментами инерции сечений равно
1
J
J
115
y
= =
2
426,53
y
0,27.
Таким образом, при одинаковой высоте сечений момент инерции двутавра относительно оси Оy
составляет примерно третью часть от момента инерции сечения, состоящего из двух швеллеров.
Правильный ответ: 4).
Тест 2.2.6
Соотношениемеждумоментамиинерцииотносительно вертикальных осей сечений, состо-
2
J
ящих из двуходинаковых швеллеров,
но…
○ 1) 0,53; ○ 4) 1.50;
○ 2) 1,00; ○ 5) 3,89.
○ 3) 2,00;
Комментарий:
Поперечные сечения 1 и 2 отличаются расположением швеллеров относительно оси Оy.
Геометрические характеристики швеллера № 20, необходимые для расчета, следующие:
площадь A1 = A2 = 23,4 см2, момент инерции относительно собственной вертикальной центральной оси Jy1 = Jy2 = 113 см4 , ширина полки
b = 7,6 см, расстояние от центра тяжести швеллера до внешней поверхности стенки, обозначено
в сортаменте z0 = 2,07 см.
В первом сечении центральные оси элементов Оy1 и Оy2 находятся на расстоянии z0
от центральной оси Оy всего сечения, момент
инерции относительно оси Оy сечения определим с помощью формулы параллельного переноса осей:
J
y
рав-
1
y
12 2
2( ) 2(113 23,4 2,07 ) 426,534см .
J J Az= + = +⋅ =
yy
10
1
42
Во втором сечении центральные оси элементов Оy1 и Оy2 находятся на расстоянии (b – z0) от цен-
22 2
JJ
тральной оси Оy всего сечения. Используем также формулу параллельного переноса осей:
2( ( ) ) 2(113 23,4 5,53 ) 1657,194см .
J J Ab z= +− = +⋅ =
yy
10
1
Соотношение между моментами инерции составляет
2
J
1657,19
y
= =
1
J
y
426,53
3,89.
Таким образом, значительная разница в значениях моментов инерции обусловлена большим расстоянием от оси Оy до крайних точек второго сечения.
Правильный ответ: 5).
Тест 2.2.7
Поперечноесечениесостоит из листа — 240×10
ишвеллера№18.
Центробежный момент инерции сечения относительноосей Оx, Оy равен…
○ 1. –403,22 см4;
○ 2. 144 см4;
○ 3. 0;
○ 4. –547,22 см4;
○ 5. 691,72 см4.
Комментарий:
Обозначим на чертеже центральные оси каждого элемента сечения.
Поскольку центральные оси каждого
элемента являются осями симметрии,
относительно них центробежные моменты инерции каждого элемента
0, 0.
равны нулю
Площадь листа A1 = 24 см2, отметим на чертеже координаты центра тяжести листа x1 = –12 см и y1 = –0,5 см.
Для швеллера № 18 из сортамента выпишем значение площади A2 = 20,7 см2 и z0 = 1,94 см. На
чертеже обозначим координаты центра тяжести швеллера x2 = –9 см и y2 = –2,94 см.
Центробежный момент инерции всего сечения относительно осей Оx и Оy равен сумме центробежного момента инерции листа и центробежного момента инерции швеллера относительно осей
Оx и Оy. Центробежный момент инерции каждого элемента представим в виде суммы центробежного момента инерции элемента относительно собственных центральных осей и произведения площади сечения элемента на координаты центра тяжести. В результате формула для вычисления центробежного момента инерции получается следующей:
= =
xy x y
11 2 2
( ) ( ) 24( 12)( 0,5) 20,7( 9)( 2,94) 691, 72 .см
J J Ayx J A y x= + + + = − − + −− =
xy x y x y
111 2 2 2
11 22
Правильный ответ: 5).
43
4
Тест 2.2.8
JJ
12
JJJ
( ) ( )
=+ −+ =
24
2
Центробежный момент инерции сечения относительно осей Оx, Оy равен…
○ 1) –175,74 a4;
○ 2) 226,18 a4;
○ 3) –724,66 a4 ;
○ 4) 753,84 a4 ;
○ 5) –528,84 a4 .
Комментарий:
Поперечное сечение представляем состоящим из двух фигур: большого круга
радиусом 4a и выреза в форме полукруга
радиусом 2a. Обозначим центры тяжести
каждого элемента и параллельно заданным осям Оx и Оy проведем собственные
центральные оси круга и полукруга. Поскольку центральные оси каждого элемента являются осями симметрии, относительно них центробежные моменты инерции каждого элемента равны нулю
0, 0.
= =
xy xy
11 2 2
Выражаем центробежный момент инерции всего сечения относительно осей Оx и Оy в виде разности центробежного момента инерции круга и центробежного момента инерции полукруга отно-
сительно осей Оx и
= −
xy xy xy
Центробежный момент инерции каждого элемента представляем в виде суммы центробежного
момента инерции элемента относительно собственных центральных осей и произведения площади
элемента на координаты центра тяжести элемента:
3,14 (4 ) ( 4 )4 ( 4 )3,152 724,66 .
=⋅−− − =−
Правильный ответ: 3).
.
J J Ax y J Ax y
a aa a a a
111 22 2xy x y x y
11 2 2
3,14 (2 )
2
a
⋅
44
РАЗДЕЛ 2.3.
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Тест 2.3.1
Нарисунке…центробежныймоментинерцииравеннулюотносительноосей…
□ 1) рисунок 1 — оси Оx, Оy;
□ 2) рисунок 1 — оси O1x1, O1y;
□ 3) рисунок 2 — оси Оx, Оy;
□ 4) рисунок 3 — оси Оx, Оy;
□ 5) рисунок 4 — оси Оx, Оy.
Комментарий:
В сечениях 1 и 4 ось Оy является осью симметрии сечения, и любая перпендикулярная ей ось составляет с ней пару осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
В сечении 2 центробежный момент инерции относительно осей Оx, Оy не равен нулю, при этом
он имеет отрицательное значение, так как для любой точки сечения произведение элементарной
площади dA относительно осей Оx, Оy имеет знак «минус».
В сечении 3 центробежный момент инерции относительно осей Оx, Оy не равен нулю, при этом
он имеет положительное значение, так как для любой точки сечения произведение элементарной
площади dA на координаты относительно осей Оx, Оy имеет знак «плюс».
Правильные ответы: 1), 2), 5).
Тест 2.3.2
Главнаяцентральнаяось,относительнокоторойосевоймоментинерциипринимаетминимальноезначение,изображенанарисунке...
□ 1) рис. 1 — ось Оx;
□ 2) рис. 1 — ось Оu;
□ 3) рис. 1 — ось Оv;
□ 4) рис. 2 — ось Оy;
□ 5) рис. 2 — ось Оβ.
45
Комментарий:
2 24
Рисунок 1 — оси Оx, Оu, Оv являются центральными осями, оси Оu, Оv являются центральными
главными осями, относительно оси Оu точки сечения наиболее близко расположены, поэтому осевой момент инерции имеет минимальное значение.
Рисунок 2 — оси Оα и Оβ являются главными центральными осями сечения, относительно оси
Оβ точки сечения наиболее близко расположены, поэтому осевой момент инерции принимает минимальное значение.
Правильные ответы: 2), 5).
Тест 2.3.3
Сечение состоит из двух равнополочных уголков 90×90×8. Значение
максимальногомомента инерции относительноглавнойцентральной оси
равно…
○ 1) –168,00 см4;
○ 2) 262,37 см4;
○ 3) 462,74 см4;
○ 4) 437,89 см4;
○ 5) 336,00 см4.
Комментарий:
Сечение имеет две оси симметрии Оu и Оv, они являют-
ся центральными главными осями. По расположению сечения относительно этих осей без расчета трудно сделать
вывод, относительно какой оси момент инерции принимает наибольшее значение.
Обозначим главные центральные оси каждого уголка 90 × 90 × 8 и из сортамента выпишем значения площади
поперечного сечения A1 = A2 = 13,9 см2, главные моменты
инерции J
центра тяжести, имеющие одинаковые расстояния от полок
z0 = y0 = 2,51 см.
Вычислим значение момента инерции относительно оси Оv, так как собственные оси уголка совпадают с осью Оv, то
u
= J
1
u
2
= 43,8 см4, J
v
= J
= 168 см4, координаты
v
1
2
2 2 168 336 .см
JJ= =⋅=
vv
1
4
Собственные оси уголков параллельны главной центральной оси Оu, для расчета используем
формулу моментов инерции при параллельном переносе осей:
2( ) 2(43,8 13,9(2 2,51 )) 437,89 .см
J J Aa=+= + ⋅ =
uu
1
1
Правильный ответ: 4).
Тест 2.3.4
Значение максимального момента инерции
сечения относительно главной центральной оси
равно…
○ 1) 682,67 см4;
○ 2) 383,95 см4;
○ 3) 2730, 67 см4;
○ 4) 981,39 см4;
○ 5) 2431, 95 см4.
Комментарий:
Прямоугольное сечение имеет два выреза в форме полукругов, оси Оx и Оy — оси симметрии се-
46
чения, поэтому Jxy = 0, и они являются глав-
12 12
Ja
44
J aa
33
12 12
ными центральными осями сечения. Момент
инерции прямоугольника относительно оси
Оy значительно больше, чем относительно
оси Оx, следовательно, максимальный момент инерции заданного сечения получится
относительно оси Оy. Определим моменты
инерции относительно собственных центральных осей каждой фигуры:
33
hb a a
= = =
y
1
8 (16 )
0,11(2 ) 1, 76 .
= =
y
2
2730,67 ,
4
Поскольку прямоугольное сечение имеет два выреза в форме полукругов, то из момента инерции
прямоугольника вычитаем моменты инерции полукругов:
JJJ J JA a
12 2
=−=− + =
y yy y y
2 (4,848 )
1
2
2730,67 2 1,76 (4,848 ) 2431, 95 .
= −+ =
44 2 4
aa a a
3,14(2 )
2
a
2
Правильный ответ: 5).
Тест 2.3.5
Отношениемаксимальногомоментаинерциивсегосеченияк
максимальномумоментуинерциидвутавраравно…
○ 1) 0,35;
○ 2) 4,61;
○ 3) 3,48;
○ 4) 2,81;
○ 5) 2,26.
Комментарий:
Оси симметрии сечения Оx и Оy являются центральными главными осями сечения. Относительно оси Оx точки сечения наиболее удалены, поэтому относительно оси Оx значение момента инерции принимает максимальное значение.
Обозначим собственные оси каждого элемента. В двутавровом сечении момент инерции принимает максимальное значение относительно оси Ox1, для двутавра № 22 из
сортамента: J
оси Оx сечения с листами не может иметь меньшее значение, поэтому первый ответ неправильный.
Моменты инерции прямоугольника относительно собственных центральных осей определим по формулам:
= 2550 см4. Момент инерции относительно
x
1
JJ
= = = =
xx
23
bh
23
24 1, 4
⋅
24 1,4 33,6AA==⋅=
5,488
см2.
см4,
Момент инерции относительно оси Оx всего сечения, для второго и третьего элементов используем формулу параллельного переноса осей, равен:
47
24
JJJJJ J Ab=++= + + =
11759,98
J
2550 2(5,488 33,6 11, 7 ) 11759,98 .см
= + +⋅ =
223 2
xxxx x x
2( )
12
2
Получим значение отношения между максимальными моментами инерции всего сечения и двутавра:
x
= =
J
x
1
2550
4,61.
При усилении двутавра листами значение максимального момента инерции сечения увеличивается в 4,61 раза.
Правильный ответ: 2).
48
РАЗДЕЛ 2.4.
=+=
4 12
J
11
aa a= +=
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ, МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ,
РАДИУСЫ ИНЕРЦИИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Тест 2.4.1
Моментинерциисеченияотносительнооси Оu равен...
Двутавр№12
○ 1) 377,9 см4;
○ 2) 269,48 см4;
○ 3) 317,06 см4;
○ 4) 289,15 см4;
○ 5) 108,42 см4.
Комментарий:
Для двутавра № 12 из сортамента выпишем значения моментов инерции
относительно осей Оx и Оy Jx = 350 см4, Jy = 27,9 см4. Центробежный момент инерции двутавра от-
0
носительно собственных центральных осей равен нулю
трии. Момент инерции относительно оси Оu определим, используя формулу момента инерции при
повороте осей (12):
22
JJ J J= a+ a− a=
u x y xy
cos sin sin 2
J =
xy
, так как они являются осями симме-
350cos 30 27,9sin 30 269,48
20 20
см4.
Правильный ответ: 2).
Тест 2.4.2
Момент инерции сечения относительно оси O1u равен...
○ 1) 204,18a4; ○ 4) 240,17a4;
○ 2) 194,09a4; ○ 5) 209,24a4.
○ 3) 217,75a4;
Комментарий:
Круглое сечение имеет вырез в форме квадрата, моменты инерции
сечения относительно осей Оx и Оy равны:
44
(3 )
aa
JJ a
== −=
xy
π
20,17 .
Определим моменты инерции сечения относительно осей O1y и
O1x1, пересекающихся с осью O1u в одной точке. Центробежный момент инерции относительно O1y и O1x1 равен нулю, потому что ось O1y
является осью симметрии.
xy
1
0,
=
J J Aa a a a a a
= + = +π − ⋅ =
xx
1
2 4 22 2 4
(3 ) 20,17 (3 ) 9 265,51 .
4
Момент инерции относительно оси O1u пределим, используя формулу момента инерции при повороте осей (12) и учитывая, что поворот
от оси O1x1 происходит по ходу часовой стрелки, т.е. a = 30o
22
JJ J J= −a + −a − − a =
u x y xy
265,51 cos 30 20,17 sin 30 204,18 .
cos ( ) sin ( ) sin( 2 )
4 20 4 20 4
Правильный ответ: 1).
49
Тест 2.4.3
,.
вн
вн
xx
xx
JJ
WW
yy
Сечения,имеющиеравныеповеличинемоментысопротивленияверхнихинижнихволокон...
□ 1) рис. 1; □ 4) рис.4;
□ 2) рис. 2; □ 5) рис.5.
□ 3) рис. 3;
Комментарий:
Отношение момента инерции к расстоянию от оси Оx до крайнего верхнего и нижнего волокна
является моментом сопротивления для верхних и нижних волокон относительно оси Оx:
= =
в
Моменты сопротивления верхних и нижних волокон равны по величине W
x
= W
н
при равном
x
расстоянии от оси Оx до верхнего и нижнего волокна yв = yн = h. Это условие выполняется для се-
чений 1, 3, 4.
Правильные ответы: 1), 3), 4).
Тест 2.4.4
Сечения, имеющие различные по величине моменты сопротивления верхних и нижних
волокон...
□ 1) рис. 1;
□ 2) рис. 2;
□ 3) рис. 3;
□ 4) рис. 4;
□ 5) рис. 5.
50