Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии и изгибе стержней. Учебно-методическое пособие.pdf
Моменты инерции относительно параллельных осей
11
22
,,
О
11
xy
2
JJ
JJ
Рис. 2.9
Если известны моменты инерции относительно центральных осей Оx, Оy сечения, то моменты
инерции относительно осей Оx1, Оy1 (рис. 2.9), параллельных центральным, определяются по следующим формулам:
J J Aa J J Ab
= +⋅ = +⋅
К осевому моменту инерции относительно центральной оси добавляется произведение площади сечения A, умноженной на квадрат расстояния между параллельными осями. Центробежный момент инерции относительно центральных осей суммируется с произведением площади сечения A на
расстояния a и b между осями.
xx yy
J J A ab
= +⋅
x y xy
11
.
(2.11)
Моменты инерции сечения при повороте осей
Рис. 2.10
Моменты инерции относительно осей Оx1, Оy1, повернутых к осям Оx, Оy под углом α, можно
выразить на основании общих соотношений (2.4):
∫∫
2
1x
A
,
J x dA=
1
J y dA=
1
Полагая, что значения моментов инерции сечения относительно осей Оx, Оy известны и используя соотношения, связывающие координаты x, y c координатами
cos sinyy x= a− a
1
, получим выражения для моментов инерции относительно наклонных осей
22
JJ J J= a+ a− a
x x y xy
cos sin sin 2
1
∫∫
2
1y
A
J x y dA=
,
11
∫∫
.
11xy
A
,
cos sinxx y= a+ a
1
, (2.12)
,
JJ J J= a+ a+ a
y x y xy
1
22
sin cos sin 2
−
xy
= a+ a
x y xy
11
sin 2 cos 2
31
, (2.13)
. (2.14)
Из сложения формул (2.12) и (2.13) следует, что сумма осевых моментов инерции сечения явля-
dJ
JJJ
d
2
xy
J
JJ
JJ
=±+
J
JJ
J
JJ
J
J
J
J
ется величиной постоянной:
J J JJ+ =+=
x y xy
11
const.
(2.15)
Главные оси и главные моменты инерции сечения
Главными осями называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен
нулю, при этом осевые моменты инерции сечения принимают максимальное и минимальное значения.
Положение главных осей находится при выполнении условия экстремума осевого момента инерции Jx1 по переменной α:
x
1
2 sin cos 2 cos sin 2 cos 2 0
=− a a+ a a− a=
a
2 sin 2 cos 2 0
− a+ a =
x y xy
JJ
−
xy
2
J
xy
, (т.е.
J =
xy
11
Из соотношения (2.16) получим выражение для определения угла наклона главной оси к гори-
зонтали:
tg2
a=−
xy
.
−
,
0
). (2.16)
Значения главных моментов инерции определяются по формуле
JJ JJ
++
1,2
xy xy
22
2
2
. (2.17)
xy
Индекс 1 относят к значению максимального момента инерции, 2 — к значению минимального
момента инерции. При этом углы наклона осей 1 и 2 к оси Оx можно определить из соотношений:
tg
a=
1
xy
tg
a=
,
−
1
y
2
xy
. (2.18)
−
2
y
Положительный угол α откладывается от оси Оx против хода часовой стрелки, отрицательный —
по ходу часовой стрелки.
0
В результате расчета должны получить
12
90a +a =
.
Моменты сопротивления сечения определяются для крайних точек сечения, поскольку исполь-
зуются для выражения значений наибольших напряжений при изгибе, возникающих в крайних волокнах балки. Моменты сопротивления сечения (рис. 2.11) рассчитываются по формулам:
Рис. 2.11
в
Wy=
x
x
в
Wy=
,
н
x
Wx=
x
,
н
32
y
п
y
п
Wx=
,
y
л
y
. (2.19)
л
Радиусы инерции сечения определяются из соотношений:
J
x
iA=
x
,
iA=
J
y
y
. (2.20)
Главные радиусы инерции сечения вычисляются по величинам главных моментов инерции:
J
x
iA=
x
1
1
iA=
,
J
y
1
y
1
. (2.21)
Свойства моментов инерции сечения
Рис. 2.12
Знак центробежного момента инерции сечения изменяется на противоположный, если две взаимно перпендикулярные оси повернуть на 90o (рис. 2.12, а, б).
Пару главных осей составляют ось симметрии и ось, ей перпендикулярная (рис. 2.13). Для точки, расположенной на главной центральной оси, пару главных осей составляют главная центральная
ось и ось, ей перпендикулярная (рис. 2.14).
Рис. 2.13 Рис. 2.14
Рис. 2.15
Если относительно двух взаимно перпендикулярных главных осей моменты инерции одинаковы, то все оси, проходящие через эту точку, — главные, а моменты инерции относительно них равны между собой (рис. 2.15, а, б).
33
Например, рассмотрим квадратное сечение. Известны значения моментов инерции относитель-
12
J
44
12 12
aa
4
но осей Оx и Оy:
JJ= =
xy
a
,
0
=
.
xy
Используя соотношение для осевого момента инерции при повороте осей (2.12), получим формулу момента инерции относительно оси Оx1:
22
J = a+ a =
x
1
cos sin
( )
.
34
РАЗДЕЛ 2.1.
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Тест 2.1.1
Укажитеточкувпоперечномсечениистержня,вкоторуюпомещаютсяосикоординатприегорасчетенапрочность,жесткостьиустойчивость
○ 1) точка 1; ○ 4) точка 4;
○ 2) точка 2; ○ 5) точка 5.
○ 3) точка 3;
Комментарий:
Начало координат помещается в центр тяжести сечения.
Геометрические характеристики сечения, используемые в расчете, определяются относительно главных центральных осей. При расположении осей в точку 3 получаем, что Oz, Oy являются главными центральными осями.
Правильный ответ: 3).
Тест 2.1.2
СтатическиемоментысеченияотносительноосейOxи Oy равны…
1) Sy = 0;
1
S a aa
2)
2 23
=− ⋅⋅
x
2
;
3)
y
2
;
1
2 23
S a aa
= ⋅⋅
4) Sx = 0;
5)
x
2
.
1
2 23
S a aa
= ⋅⋅
Комментарий:
Сечение симметрично относительно оси Oy,
следовательно, Oy — центральная ось, и относительно неё статический момент равен нулю:
0
S =
. Ось Ox не является центральной осью се-
y
чения. Запишем выражение статического момента относительно этой оси. Сечение разделим на
три простых элемента, положение центров тяжести которых известно. Центр тяжести большого
прямоугольника расположен на оси Ox, поэтому
статический момент сплошного прямоугольника
1
0.
относительно этой оси равен нулю:
S =
x
Вычитаем из этого значения статические моменты
двух одинаковых фигур, представляющих вырезы в форме треугольников. Статический момент каждого треугольника относительно оси Ox определим как произведение его площади на расстояние от
центра тяжести треугольника до оси Ox, равного a:
Правильные ответы: 1), 2).
S S S S a aa
123
= − − =− ⋅⋅
x xxx
35
1
2 23 .
2
Тест 2.1.3
2
y
Статическиймоментзаштрихованнойчасти
сеченияотносительнооси Oy равен...
○ 1) 374 см3; ○ 2) –266 см3; ○ 3) –320 см3;
○ 4) 54 см3; ○ 5) –374 см3.
Комментарий:
Заштрихованную фигуру представим в виде
большого сплошного прямоугольника (10×8) и выреза в форме малого прямоугольника (3×6), координаты центров тяжести каждой фигуры относительно оси Oy являются отрицательными. Статический
момент заштрихованной фигуры определим как
разность статических моментов этих фигур относительно оси Oy:
SSS= − = ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅− =−
12
y yy
10 8 ( 4) 6 3 ( 3) 266
Правильный ответ: 2).
Тест 2.1.4
Расстояниеy,прикоторомцентртяжестисечениярасположенналинии11,равно...
см3.
○ 1) 5a;
○ 2) 1,12a;
○ 3) 3a;
○ 4) 4,5a;
○ 5) 5a.
Комментарий:
Используем известное положение: относительно центральной оси статический момент равен нулю. Разделим
сечение горизонтальной линией на два прямоугольника,
составим выражение статического момента всего сечения относительно оси Оx и приравняем его нулю:
S A y A y a a a ay= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ =
11 2 2
x
(4,5 2 ) (2 ) 0.
В результате получим: y = 3a.
Правильный ответ: 3).
Тест 2.1.5
Расстояниеx,прикоторомцентртяжестисечениярас-
положенналинии11,равно...
○ 1) 1,20h;
○ 2) 1,0h;
○ 3) 0,75h;
○ 4) 0,55h;
○ 5) 0,95h.
36
Комментарий:
4
xh
4
x hh
Используем известное положение: относительно
центральной оси статический момент равен нулю. Разделим сечение вертикальной линией на два элемента —
треугольник и прямоугольник. Проведем через центр
тяжести сечения оси Ox и Oy, составим выражения статических моментов всего сечения относительно центральных осей Ox и Oy и приравняем их нулю.
1 1, 5
S A x A x xh h h x
=⋅+⋅ = ⋅ − + − =
11 2 2
y
23 2
Отсюда имеем два решения:
9 33
Следовательно,
= =
x hx
(1, 5 ) 0.
9 33
±
=
1,2
−
0,951 .
−
.
Но x < 1,5 h.
Правильный ответ: 5).
37
РАЗДЕЛ 2.2.
xy
JJ
yx
JJ
xy
JJ
xy
JJ
xy
JJ
yx
JJ
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ. ЗАВИСИМОСТЬ
МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ
ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ
Тест 2.2.1
Правильнымизависимостямимеждумоментамиинерциидлязаданныхсеченийявляются…
□ 1)
□ 2)
≠
>
для 1);
для 3);
□ 3)
□ 4)
□ 5)
>
J <
x
J =
xy
для 2);
0
для 2);
0
для 1), 2), 3).
Комментарий:
Для первого сечения ответ
≠
правильный, так как осевые моменты инерции круглого сечения равны между собой. Осевой момент инерции характеризует расположение точек сечения относительно оси. Чем дальше точки сечения расположены относительно оси, тем больше значение
квадрата расстояния до оси. Поэтому для второго сечения
>
, а для третьего сечения
>
.
Четвертый ответ для второго сечения неправильный, потому что осевые моменты инерции принимают только положительные значения. Для сечений 1), 2) и 3) оси Оx , Оy являются осями симметрии, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Правильные ответы: 2), 3), 5).
Тест 2.2.2
=
Значениеy, прикотором выполняетсяусловие
J J
x y
длязаданногосечения,равно…
○ 1) 0,5 a;
○ 2) 0,816 a;
○ 3) 0,316 a;
○ 4) 1,223 a;
○ 5) 0,25 a.
38
Комментарий:
2 22
34
12
2 22
34
Рассмотрим поперечное сечение бруса, которое состоит из
двух одинаковых прямоугольников. Оси симметрии этого сечения, Оx и Оy, являются главными центральными осями, относительно которых запишем формулы осевых моментов инерции.
Обозначим собственные оси каждого элемента, так как центральные оси прямоугольников Оx1 и Оx2 не совпадают с осью
Оx и параллельны ей.
В выражении используем формулу моментов инерции сечения относительно параллельных осей, на основании которой к
моменту инерции относительно собственной центральной оси
добавляется произведение площади элемента на квадрат расстояния между осями Оx и Оx1, при
этом момент инерции прямоугольника относительно собственной оси Оx1 определяется формулой
bh3/12.
= + + = +⋅+ = +⋅+
2 23 6
J J Ay ay ay
xx
1
1
a aa a a a
2 12 2 2 2
⋅
3
.
Выражение момента инерции относительно оси Оx для каждого прямоугольника одинаково, поэтому ставим коэффициент 2.
Затем запишем выражение момента инерции относительно оси Оy. Из рисунка видно, что собственные оси прямоугольников Оy1 и Оy2 расположены на оси Оy. Соответственно, момент инерции
относительно оси Оy равен сумме моментов инерции относительно осей Оy1 и Оy2, значения которых равны между собой. Учитываем, что момент инерции прямоугольника относительно собственной оси Оy1 выражается формулой hb3/12:
3
3
aa
⋅
2 4,5 .
JJ J a
=+= =
yy y
12
( )
4
Из равенства Jx = Jy получаем следующее выражение:
= + + = +⋅+ = +⋅+
2 23 6
J J Ay ay ay
xx
1
1
a aa a a a
2 12 2 2 2
⋅
3
Окончательно: y = 0,316a.
Правильный ответ: 3).
.
39
Тест 2.2.3
00
125 80 8××
= =⋅=
12 12
Заданопоперечноесечениеиздвухуголков125×80×8.
Значение a, прикотором выполняетсяусловиеJy= 2 Jx,равно…
○ 1) 4,33 см;
○ 2) 2,72 см;
○ 3) 1,45 см;
○ 4) 3,34 см;
○ 5) 5,84 см.
Комментарий:
Выпишем из сортамента геометрические характеристики уголка
125×80×8, необходимые для расчета:
A1 = 16 см2,
256 , 83 , 1,84 4,05см �см см, см.
J J zy= = = =
xy
11
44
Из рисунка следует, что заданное сечение симметрично относительно оси Оy, центральные оси Оx и Оy являются главными, так как Jxy =
0. Для равенства нулю центробежного момента инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей достаточно, чтобы одна из осей являлась осью симметрии.
Относительно оси Оx, проходящей через центры тяжести уголков, момент инерции равен сумме моментов инерции относительно осей Оx1 и Оx2. Поскольку элементы одинаковы и расположены
симметрично относительно оси Оx, моменты инерции относительно оси Оx равны:
2 2 256 51 .2см
JJJ J=+= =⋅ =
xxx x
12 1
4
Определим момент инерции относительно оси Оy. Из расположения осей следует, что центральные оси уголков Оy1 и Оy2 не совпадают с осью Оy и параллельны ей. Выражение момента инерции
сечения относительно оси Оy запишем, используя формулу моментов инерции относительно параллельных осей, на основании которой к моменту инерции относительно собственной центральной
оси Оy1 добавляется произведение площади этого сечения на квадрат расстояния между осями Оy
и Оy1:
J J J J J Az a=+= = + +
12 1 2
x yy y y
2 2( ( ) ).
10
1
Расстояние a определим из заданного условия Jy = 2JxJy = 2Jx:
см4, a = 3,34 см.
Правильный ответ: 4).
Значение a, прикотором выполняетсяусловиеJy=2Jx,
Jy=2Jx,равно…
○ 1) 15,2 см;
○ 2) 10,08 см;
○ 3) 8,32 см;
○ 4) 12,23см;
○ 5) 9,59см.
Комментарий:
Задано расположение элементов в поперечном сечении,
по размерам двух одинаковых листов можно определить необходимые для расчета их геометрические характеристики:
площадь, моменты инерции относительно собственных центральных осей.
12
JJ
= = = =
xx
12
2 40 80AA
33
bh
см2,
40 2
⋅
26,67
см4,
Тест 2.2.4
40