Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии и изгибе стержней. Учебно-методическое пособие.pdf
ет, что RA = 4,2 кН. Знак «плюс» означает, что
2
= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅
направление реакции задано верно, реакция
RA направлена вверх (↑). Нагрузку, распределенную по линейному закону q, заменяем равнодействующей, равной площади треугольника
R1 = (1/2) · 10 · 3.
Поперечную силу в сечении слева от точки
В определим как сумму проекций на нормаль к
оси балки всех нагрузок, расположенных слева
от рассматриваемого сечения. По правилу знаков для поперечных сил, сила, поворачивающая балку относительно рассматриваемой точки по ходу часовой стрелки, принимается со знаком «плюс»,
сила, поворачивающая балку относительно рассматриваемой точки против хода часовой стрелки,
принимается со знаком «минус»:
1
лев
Q R R
= − = − = −
B A
1
4,2 10,8
⋅
10 3
кН.
Правильный ответ: 3).
Тест 3.1.8
Изгибающий момент в сечении С балки
равен ...
q
= 28 кН/м
1
P = 25 кН
○ 1) –31 кН∙м;
○ 2) 14 кН∙м;
○ 3) –17 кН∙м;
○ 4) –28 кН∙м;
○ 5) 72 кН∙м.
Комментарий:
C
2 м
3 м
y
2 м
B
x
= 18 кН/м
q
2
Изгибающий момент в сечении С консоли
определяется как сумма моментов всех нагрузок, приложенных к одной из частей балки относительно центра тяжести данного сечения. Рассмотрим правую часть — CB, так как это удобнее, поскольку заделка осталась слева, и нам не надо определять в ней реакции. Итак, поперечная нагрузка q2 = 18 кН/м направлена вверх, следовательно, она
растягивает нижние волокна балки, и момент от неё считается положительным. Сосредоточенная
сила Р = 25кН и распределённая нагрузка q1 = 28 кН/м растягивают верхние волокна балки и создают отрицательный момент. В итоге получаем:
M
18 2 2 25 3 28 1 0,5 17 кН м.
C
Правильный ответ: 3).
Тест 3.1.9
Изгибающий момент в сечении С справа равен ...
○ 1) –50 кН∙м;
○ 2) 16 кН∙м;
○ 3) 135 кН∙м;
○ 4) 116 кН∙м;
○ 5) –105 кН∙м.
Комментарий:
В сечении С приложен сосредоточенный момент M
нии С — слева и справа). Для определения изгибающего момента M
= 50 кН ∙ м, вызывающий скачок на эпюре моментов (то есть два значения момента в сече-
1
пр
в сечении С справа необхо-
C
димо взять сумму моментов всех нагрузок, приложенных к одной из частей балки (проще к левой),
61
относительно центра тяжести данного сечения. В эту сумму войдёт момент от реакции RA и внеш-
BA
MR
∑
BA
MR
∑
CB
MR=−=
∑
x
y
48кНм
3м
A
35кН
2м 2м
В
С
ний момент M1 = 50 кН∙м. Тогда необходимо найти реакцию на опоре А. Мысленно направим её
30 3 1, 5 50 20 5 0.
вверх (↑) и используем уравнение статики:
= ⋅⋅ + − − =
Отсюда имеем RA =
= 164/5 = 33 кН. Знак «плюс» означает, что реакция RA направлена вверх (↑).
Теперь вычислим M
пр
, рассмотрев усилия на левой части балки АС. Определимся со знаками. Ре-
C
акция RA, направленная вверх, растягивает нижние волокна балки и создаёт положительный момент.
Сосредоточенный момент M1 = 50 кН ∙ м растягивает верхние волокна балки относительно сечения
С пр и создаёт отрицательный момент. В итоге получаем:
M = ⋅− = ⋅
33 2 50 16пркН м.
C
Правильный ответ: 2).
Тест 3.1.10
ИзгибающиймоментвсеченииСбалки
равен...
○ 1) –22 кН∙м;
○ 2) 98 кН∙м;
○ 3) –90 кН∙м;
○ 4) 32 кН∙м;
○ 5) –41 кН∙м.
Комментарий:
Изгибающий момент в сечении С определяется как сумма моментов всех нагрузок,
приложенных к одной из частей балки (например, к левой), относительно центра тяжести данного
сечения. Для этого необходимо найти реакцию на опоре А. Мысленно направим её вверх (↑) и используем уравнение статики:
12 3 1, 5 60 6 0.
Отсюда имеем RA = 114/6 = 19 кН. Знак «плюс» означает, что реакция RA направлена вверх (↑).
Далее определим MC слева (это проще, чем справа) от указанного сечения. Определимся со знаками. Реакция RA направлена вверх, следовательно, она растягивает нижние волокна балки и создаёт
положительный момент. Сосредоточенный момент М = 60 кН ∙ м растягивает верхние волокна балки и является отрицательным. Распределённая нагрузка q осталась справа от сечения C, поэтому не
входит в рассмотрение. В итоге получаем:
= ⋅⋅ + − =
MC = –60 + 19 · 2 = –22 кН ∙ м.
Правильный ответ: 1).
ИзгибающиймоментвсеченииАбалкира-
вен...
○ 1) 33 кН ∙ м;
○ 2) –141 кН ∙ м;
○ 3) 177 кН ∙ м;
○ 4) –105 кН ∙ м;
○ 5) –69 кН ∙ м.
Комментарий:
Балка содержит один промежуточный шарнир. Мысленно сделаем разрез по шарниру. Построим
поэтажную схему — выделим несомую балку ВС и несущую самостоятельную балку АB.
Сначала рассмотрим балку верхнего этажа — ВС. Она рассчитывается независимо от нижней
балки АB. Найдём реакцию на опоре В, так как нагрузка с верхнего этажа ВС передаётся на нижний
АB именно с помощью этой реакции RB. Мысленно направим её вниз (RB ↓). Используем уравнение
статики:
RD направлена вниз (↓).
48 4 0.
Отсюда имеем RB = 48/4 = 12 кН. Знак «плюс» означает, что реакция
Тест 3.1.11
62
При переходе на первый этаж перенаправим реакцию
M
2
3
2
2
3
2qa
2
3
∑
2
x
48кНм
y
3м 2м 2м
A
35кН
В
С
В
R
С
R
В
=12кН
12кН
=
12кН
RB = 12 кН вверх (↑). Тогда изгибающий момент MA опре-
делится от нагрузок, находящихся на консоли АB, как сумма моментов всех нагрузок, расположенных с одной стороны
(очевидно, справа) от рассматриваемого сечения А. С учётом
правила знаков имеем:
( 35 12) 3 69 кН м.
=− + ⋅=− ⋅
A
Знак «минус» означает, что в заделке растянуты верхние
волокна.
Правильный ответ: 5).
Тест 3.1.12
Изгибающиймоментвсечении B балкиравен...
○ 1) 14.4 кН ∙ м;
○ 2) –9,6 кН ∙ м;
○ 3) 3,6 кН ∙ м;
○ 4) –2,4 кН ∙ м;
○ 5) –7,2 кН ∙ м.
Комментарий:
Изгибающий момент в сечении B целесообразно
определить со стороны консоли, для этого достаточно
заменить распределенную нагрузку q равнодействующей силой R, равной площади треугольника на участке
BC. Равнодействующая распределенной нагрузки прикладывается в центре тяжести фигуры, ограниченной
функцией q, в данном тесте в центре тяжести треугольника. Изгибающий момент от равнодействующей запишем со знаком «минус», поскольку от действия нагрузки q растягиваются верхние волокна балки:
1
M
=− ⋅=− ⋅
B
10 1, 2
⋅
0, 4 2, 4
Правильный ответ: 4).
Тест 3.1.13
Изгибающиймоментвжёсткойзаделкеконсольнойрамыравеннулюприусловии,чтосилаРпринимаетзначение...
○ 1) 6qа; ○ 4)
○ 2)
○ 3)
qa
qa
; ○ 5)
;
Комментарий:
Изгибающий момент в заделке А определяется как сумма моментов всех приложенных нагрузок относительно центра тяжести данного сечения:
qa
;
.
0; 2 2 3 2 0;
M Pa P a q aa= ⋅+ ⋅ − ⋅ ⋅=
A
2 3 0; .
P qa P qa−= =
3
кН м.
Правильный ответ: 4).
63
Тест 3.1.14
ВнутренниеусилияN, Q, M всеченииСломаногокон-
сольногостержня равны...
○ 1) N = 40 кН, Q = 30 кН, M = –20 кН · м;
○ 2) N = –30 кН, Q = 40 кН, M = 100 кН · м;
○ 3) N = 30 кН, Q = –40 кН, M = 80 кН · м;
○ 4) N = –30 кН, Q = 40 кН, M = 200 кН · м;
○ 5) N = 30 кН, Q = 70 кН, M = 70 кН · м.
Комментарий:
Внутренние усилия N, Q, M в сечении С ломаного консоль-
ного стержня определяются в соответствии с правилами знаков:
a) NC = –15 · 2 = –30 кН (сжатие);
b) QC = +40 кН (сила 40 кН стремится повернуть часть
стойки СА по ходу часовой стрелки относительно центра тяжести сечения С;
c) MC = 40 · 3 + 15 · 2 · 1 – 50 = 100 кН∙м (растянуты левые волокна в рассматриваемом сечении).
Правильный ответ: 2).
Тест 3.1.15
Внутренниеусилия N, Q, M всеченииСломаного
консольногостержня равны...
○ 1) N = 30 кН, Q = 20 кН, M = –40 кН · м;
○ 2) N = –30 кН, Q = 60 кН, M = 70 кН · м;
○ 3) N = 10 кН, Q = –10 кН, M = 140 кН · м;
○ 4) N = –10 кН, Q = 40 кН, M = 100 кН · м;
○ 5) N = –40 кН, Q = 10 кН, M = 100 кН · м;.
Комментарий:
При определении внутренних усилий N, Q, M в сечении С ломаного консольного стержня удобно рассматривать нагрузки снизу от рассматриваемого сечения, так
как тогда не надо находить реакции в заделке. Итак, в
соответствии с правилами знаков, имеем:
a) NC = –40 кН (сжатие);
b) QC = –50 + 20 · 3 = 10 кН (сила стремится повернуть участок СА по ходу часовой стрелки отно-
сительно центра тяжести сечения С);
c) MC = 50 · 3 – 20 · 3 · 1,5 + 10 = 70 кН ∙ м (растянуты левые волокна в рассматриваемом сечении).
Правильный ответ: 5).
64
РАЗДЕЛ 3.2.
dx
dx
ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ «Q»
И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ «М»
Тест 3.2.1
Правильными особенностями эпюры Q для данной
балкиявляются...
□ 1) в сечении D эпюра Q имеет излом;
□ 2) в сечении В эпюра Q имеет излом;
□ 3) в пределах участка АВ эпюра Q является наклонной
прямой;
□ 4) в пределах участка ВС эпюра Q постоянна;
□ 5) в пределах участка АВ эпюра Q имеет экстремум.
Комментарий:
При построении эпюры Q в балках при изгибе используется дифференциальная зависимость
.dQq
= −
Из неё следует, что на участке AB, где есть равномерно распределённая нагрузка q = const,
поперечная сила Q изменяется по линейному закону (наклонная прямая). Поэтому в пределах участка АВ эпюра Q не имеет экстремума. В сечении В эпюра Q имеет излом, так как здесь — начало дей-
ствия распределённой нагрузки q. На участке BC q = 0, а значит Q = const. Сосредоточенный момент
М не принимает участия в построении эпюры Q.
Правильные ответы: 2), 3), 4).
Тест 3.2.2
Правильнымиособенностямиэпюры Q дляданнойбалкиявляются...
□ 1) поперечная сила Q на участке AВ изменяется
по линейному закону;
□ 2) в пределах участка СD эпюра Q является на-
клонной прямой;
□ 3) эпюра Q на участке АВ представляет собой
квадратную параболу;
□ 4) в сечении С эпюра Q имеет скачок;
□ 5) в сечении С эпюра Q имеет излом.
Комментарий:
.dQq
Используем дифференциальную зависимость при изгибе
ке AB, где есть равномерно распределённая нагрузка q = const, эпюра поперечных сил Q является на-
клонной прямой, т.е. изменяется по линейному закону. В сечении С эпюра Q имеет скачок, равный
по величине приложенной силе Р. В пределах участка ВС и СD эпюра поперечных сил постоянна.
Правильные ответы: 1), 4).
= −
Из неё следует, что на участ-
Тест 3.2.3
Правильными особенностями эпюры M для
даннойбалкиявляются...
□ 1) в пределах участка АС эпюра М имеет вид
треугольника;
□ 2) в сечении С изгибающий момент М равен
нулю;
□ 3) в пределах участка СВ эпюра М может быть
знакопеременной;
□ 4) в пределах участка СВ эпюра М имеет вид
трапеции;
□ 5) в сечении C
справа
на эпюре M имеется скачок.
65
Комментарий:
dQ
dx
dM
dQ
dx
dM
∑
Балка содержит один промежуточный шарнир. Мысленно
сделаем разрез по шарниру и построим поэтажную схему. Реакция RC ( ↑) несомой балки при переходе на первый этаж пе-
ренаправляется в обратную сторону (↓). Следовательно, все
верхние волокна консоли СВ растягиваются силой M/a и рас-
пределённой нагрузкой q. А значит, вся эпюра М на участке
СВ — однозначна (отрицательна).
q
Из дифференциальных зависимостей
следует, что на участке СВ q = const. Это значит, что изгибаю-
щий момент M изменяется по закону квадратной параболы.
А на участке АС q = 0, поперечная сила Q постоянна, а изгибающий момент M меняется по линейному закону с ординатой М в сечении А и нулём в сечении С. То есть эпюра М на данном участке
имеет вид треугольника. Скачок в сечении С может быть только при условии, что справа или слева
от шарнира приложен сосредоточенный момент.
Правильные ответы: 1), 2).
= −
и
Qdx=
Тест 3.2.4
ПравильнымиособенностямиэпюрMиQдля
даннойбалкиявляются...
□ 1) в сечении С на эпюре M имеется точка пере-
гиба;
□ 2) эпюра моментов не имеет экстремумов;
□ 3) в сечении С на эпюре Q имеется излом;
□ 4) эпюра М является кубической параболой;
□ 5) в пределах участка АС эпюра Q имеет вид раз-
нозначной трапеции.
Комментарий:
Для анализа эпюр используем дифференциальные
q
зависимости
чении С на эпюре Q имеется излом, так как распределённая нагрузка q скачкообразно меняется в данном
сечении. Следовательно, в сечении С на эпюре M есть
точка перегиба. Далее для ответа на все вопросы желательно определить опорные реакции и построить
эпюру Q. Предположим, что реакция RB направлена
вниз (↓). Из уравнения статики получим:
M qaaqaaR a R qa=⋅⋅−⋅⋅+ ⋅= =
A BB
Знак «плюс» означает, что реакция RB направле-
на вниз (↓).
QC = qa – q · 2 a = –qa. Значит, эпюра Q разнознач-
на (см. рис.). Так как q = const в пределах AC и CD, то
на обоих участках эпюра Q — наклонная прямая (то
есть разнозначная трапеция), а эпюра М — квадратная парабола. И на участке AC, и на участке CD
поперечная сила обнуляется, Q = 0. Поэтому имеем два экстремума на эпюре моментов.
Правильные ответы: 1), 3), 5).
= −
и
2 2 3 4 0; .
Qdx=
. Очевидно, что в се-
66
Тест 3.2.5
dQ
dx
dQ
dx
dM
x
y
A
В
С
D
Q
-
+
+
Правильная эпюра поперечных сил изобра-
женанарисунке...
○ 1) рис. 1;
○ 2) рис. 2;
○ 3) рис. 3;
○ 4) рис. 4;
○ 5) рис. 5.
Комментарий:
Значения поперечной силы в точках A и B равны:
1
QB = 0
= =
A
⋅
12 4
2
Q
положительна, так как стремится повернуть балку
относительно рассматриваемой точки по часовой
стрелке.
Распределенная нагрузка q изменяется по линей-
ному закону, из дифференциальной зависимости
q
= −
следует, что эпюра поперечных сил Q из-
меняется по закону квадратной параболы. В точке A
распределенная нагрузка равна нулю q = 0, эпюра
поперечных сил Q имеет экстремум, т. е. горизонтальную касательную.
Правильный ответ: 4).
24
кН
— поперечная сила
Тест 3.2.6.
Дляуказаннойбалкипостроенаэпюра поперечных
сил. Верными утверждениями для этой балки явля
ются...
□ 1) в шарнире В приложена сосредоточенная сила, на-
правленная вниз;
□ 2) на эпюре моментов в пределах участка СD есть экс-
тремум;
□ 3) на участке АВ приложена равномерно распределён-
ная нагрузка, направленная вниз;
□ 4) в сечении С приложена сосредоточенная сила, на-
правленная вверх;
□ 5) на участке СD приложена неравномерно распределённая нагрузка.
Комментарий:
q
Используем дифференциальную зависимость
приложена равномерно распределённая нагрузка (q = const), так как график поперечной силы Q меняется по линейному закону. Экстремумов на эпюре моментов в пределах этих участков нет
Qdx= ≠
(
ложены сосредоточенные силы, так как в этих точках на эпюре имеются скачки. Направления сил
определяются с помощью правила знаков для поперечной силы (см. «Ключевые правила и формулы»).
0
), поскольку график эпюры Q не пересекает ось балки. В шарнире В и в сечении С при-
Правильные ответы: 1), 3), 4).
= −
. Из неё следует, что на участках АВ и СD
67
Тест 3.2.7
2
dM
Правильнаяэпюраизгибающихмоментовизо-
браженанарисунке...
○ 1) рис. 1;
○ 2) рис. 2;
○ 3) рис. 3;
○ 4) рис. 4;
○ 5) рис. 5.
Комментарий:
Изгибающие моменты в точках A и B равны:
1
MM
= =− ⋅=− ⋅
0, 4 64
BA
⋅
12 4
2
3
Изгибающий момент в точке A имеет отрицатель-
ное значение, поскольку от нагрузки растягиваются
верхние волокна балки.
Распределенная нагрузка q изменяется по линей-
ному закону, из дифференциальной зависимости
Qdx=
следует, что эпюра изгибающих моментов
M изменяется по закону кубической параболы, так как
эпюра Q изменяется по закону квадратной параболы.
В точке B поперечная сила Q равна нулю QB = 0, поэтому эпюра изгибающих моментов M имеет экстремум,
т.е. горизонтальную касательную.
При построении эпюры изгибающих моментов в за-
данной системе координат (ось y направлена вниз) на
растянутом волокне выпуклость кривой на эпюре M всегда направлена в сторону действия нагрузки.
Правильный ответ: 3).
кН м.
68
РАЗДЕЛ 3.3.
44
НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ
Тест 3.3.1
Наибольшеенормальноенапряжение sнб вопасномсечениибалки,загруженнойрасчетной
нагрузкой,равно...
○ 1) 7,0 МПа; ○ 4) 9,1 МПа;
○ 2) 10,2 МПа; ○ 5) 14,8 МПа.
○ 3) 13,5 МПа;
Комментарий:
Наибольший по модулю изгибающий момент возникает на участке АВ:
Mнб = 22 кН · м.
В заделке момент по модулю меньше:
M =− ⋅+ =− ⋅
40 1 22 18 кН м
C
(растянуты верхние волокна).
Момент сопротивления круглого сечения равен
33
3,14 14
RWπ⋅
= = =
z
2154,04 .
см
3
Наибольшее нормальное напряжение:
M
s= = = =
нб
W
нб
z
2154,04
22 10
⋅
2
1, 02 10,2
кН/см МПа.
2
Правильный ответ: 2).
Тест 3.3.2
Наибольшее касательное напряжение tнб в балке, загруженной расчетной нагрузкой,
равно...
○ 1) 1,6 МПа; ○ 4) 0,5 МПа;
○ 2) 7,2 МПа; ○ 5) 10,4 МПа.
○ 3) 3,8 МПа;
69
Комментарий:
4
3
Q
R
60 15
−
4 30
⋅
d
18
Наибольшие касательные напряжения в круглом сечении возникают в точках на уровне ней-
тральной оси и определяются по формуле:
нб
t=
нб
.
2
π
Наибольшая поперечная сила
30
Q RR
= = = =
нб
AB
1, 5
кН.
В итоге имеем:
t= = =
нб
3 3,14 9
⋅⋅
0,157 1,6
2
кН/см МПа.
2
Правильный ответ: 1).
Тест 3.3.3
Наибольшее касательное напряжение tнб в балке, загруженной расчетной нагрузкой,
равно...
○ 1) 62,4 МПа; ○ 4) 98,9 МПа;
○ 2) 108,2 МПа; ○ 5) 72,1 МПа.
○ 3) 51,8 МПа;
Комментарий:
Наибольшие касательные напряжения возникают в точках на уровне нейтральной оси двутавро-
вого сечения:
1/2
QS
z
t=
нб
нб
Jd
z
.
Здесь Qнб = 40 · 2 = 80 кН − наибольшая поперечная сила, возникающая в заделке (сосредоточенные
моменты не принимают участие в задаче); S
1/2
= 81,4 см3 — статический момент половины сечения;
z
Jz =1290 см4 — осевой момент инерции I18; d = 0,51см — толщина стенки двутавра. Подставив дан-
ные сортамента в формулу для tнб, получим:
1/2
QS
нб
t= = = =
нб
Jd
z
z
80 81,4
⋅
1290 0,51
⋅
9,89 98,9
кН/см МПа.
2
Правильный ответ: 4).
Тест 3.3.4
Балкаснесимметричнымотносительнонейтральнойосипоперечнымсечениемиспыты-
ваетплоскийпрямойизгиб.
Нормальныенапряжениявпоперечномсечении sx изменяютсяпо...
70