Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сопромат - это просто. Введение в предмет. Учебное пособие
.pdf
ГЛАВА 4
С энергетической точки зрения конструкции выгодно избавиться от избытка упругой энергии при сжатии с помощью
того или иного механизма обмена энергией, удобного в данной
конкретной ситуации. Из-за этого сжатые конструкции обладают интересными свойствами, и изучение их разрушения – это
изучение способов, какими можно выбраться оттуда, где на тебя
давят. Как известно, это можно сделать разными способами. Выбор возможного способа определяется формой, пропорциями и
материалом самой конструкции.
О каменной кладке мы говорили уже довольно много. И хотя
здания – это по сути своей сжатые конструкции и кладка всегда
должна находиться в сжатом состоянии, следует сказать, что от
сжатия они не разрушаются никогда. Как ни парадоксально, но
они могут разрушиться, только если в них возникнут растягивающие напряжения. Арки – конструкции, гораздо более прочные
и надежные, чем стены, но и в них иногда могут образоваться четыре «шарнирные» точки, после чего арка может уменьшить как
свою упругую энергию, так и потенциальную энергию, сложившись вначале как механизм и свалившись затем грудой камней.
Во всяком случае, согласно расчетам существующие напряжения
сжатия в каменной кладке фактически очень невелики, они гораздо ниже общепринятого предела прочности материала на сжатие.
Предел прочности при сжатии.
Разрушение коротких стержней и колонн при сжатии
Если взять кирпич или небольшой бетонный блок и подвергнуть их действию большой сжимающей нагрузки (в испытательной машине или любым другим методом), материал в конце
концов разрушится тем способом, который условно называют
«разрушением при сжатии». Хрупкие материалы, например, камень, кирпич, бетон или стекло, обычно при этом рассыпаются
на куски, а иногда и в пыль. Но, строго говоря, это вовсе не разрушение сжатием, так как в действительности оно почти всег-
61
СОПРОМАТ – ЭТО ПРОСТО. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
да происходит из-за сдвига. Как мы видели в предыдущей главе, сжатие и растяжение образца с необходимостью приводят
к появлению напряжений сдвига, действующих под углом 45°,
и именно этот сдвиг по наклонным площадкам и служит обычно
причиной разрушения коротких образцов при их сжатии.
Как мы уже говорили, практически во всех хрупких материалах существует множество микротрещин, царапин и того или
иного рода дефектов. Если даже они не возникли при изготовлении материала, то практически неизбежно появятся потом изза самых разнообразных причин. Естественно, что эти трещины и царапины в материале имеют всевозможные направления.
Значительное число их окажется направленным под углом ±45°
к напряжению сжатия, то есть они будут более или менее параллельны возникающим напряжениям сдвига.
Как и в случае растяжения, для этих сдвиговых трещин существует критическая длина по Гриффитсу (
wiki/Механика разрушения). Другими словами, трещина данной
https://ru.wikipedia.org/
длины начинает распространяться, когда касательное напряжение достигает некоторого критического значения. Если в хрупком материале, например, бетоне, достигаются эти критические
условия, то сдвиговые трещины распространяются практически
мгновенно, процесс может носить почти взрывной характер.
Когда сдвиговая трещина пройдет по диагонали поперек всего
образца, две его части начинают скользить относительно друг
друга. Образец уже не может больше сопротивляться сжимающей нагрузке, материал разгружается, выделяя большое количество упругой энергии, и именно поэтому, когда хрупкие материалы (стекло, бетон, камень) сжимают или разбивают молотком,
разлетаются осколки, которые могут быть опасными. Выделенной энергии деформации часто оказывается достаточно для превращения материала в пыль. Именно это происходит, когда мы
толчем кусочки сахара в ступке.
Разрушение сжатием пластичного металла происходит по
аналогичным причинам. Под действием касательных напряже-
62
ГЛАВА 4
ний слои металла начинают проскальзывать (словно карты в
колоде) по дислокационному механизму. И снова скольжение
происходит вдоль плоскостей, расположенных примерно под
º
углом 45
к сжимающей нагрузке, короткий металлический образец расползается, приобретая бочкообразную форму. Благодаря
большой работе разрушения пластичного металла вероятность
выброса осколков в этом случае невелика, и непосредственные
следствия разрушения бывают менее опасными и драматичными. Когда мы бьем молотком по головке заклепки или используем для этого гидравлический пресс, мы рассчитываем именно
на свойство металла расплющиваться при сжатии.
Материалы типа дерева или искусственных волокнистых
композитов, например, стеклопластика или углепластика, при
сжатии обычно разрушаются иначе. Армирующие волокна под
действием сжимающих нагрузок изги баются все вместе, «коллективно», образуя складку, бегущую поперек образца. Эти складки
могут проходить под углом 90° к направлению сжимающих сил
или наклонно под различными углами. К сожалению, в композиционных материалах складки часто образуются уже при сравнительно небольших напряжениях, то есть на сжатие эти материалы работают плохо, что следует иметь в виду при использовании
их в конструкциях.
Сравнение прочности материалов
на растяжение и на сжатие
Почти каждый учебник и справочник по сопротивлению материалов имеет обширные таблицы прочности на разрыв практически всех конструкционных материалов. Данных о прочности материалов на сжатие гораздо меньше. Одна из причин этого
в том, что экспериментальные значения прочности при сжатии
в большей мере зависят от формы испытуемого образца. Иногда
материал оказывается столь чувствительным к ней, что становится невозможно проводить испытания на сжатие.
63
СОПРОМАТ – ЭТО ПРОСТО. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
На самом деле не существует однозначной зависимости
между прочностью материала на сжатие и его прочностью на
растяжение [1]. Приблизительные величины прочности некоторых распространенных материалов приведены в таблице 3.
Таблица 3
Приблизительные значения предела прочности на сжатие
и растяжение для некоторых материалов
Материал
Дерево 100 27
Чугун 40 350
Литой алюминий 40 300
Литые цинкованные сплавы 35 300
Поливинилхлорид 15 55
Цемент 4 40
Предел прочности
на растяжение, МПа
Предел прочности
на сжатие, МПа
Величины прочности на сжатие получены на образцах, имеющих отношение длины к толщине от 1 до 4. Прочность более
толстых или более тонких образцов может быть совершенно
другой. Один из очевидных выводов, который следует из таблицы 3, состоит в том, что если мы конструируем элемент, например, изгибаемую балку, в которой есть и область растяжения,
и область сжатия, то нужно быть очень внимательными при выборе расчетных допускаемых напряжений. Как пример приведем
чугунную балку, площадь растягиваемой зоны которой обычно
гораздо больше, чем сжимаемой, потому что чугун лучше работает на сжатие, чем на растяжение.
Прочность дерева и композиционных материалов
при сжатии
В балках или фермах сжатый пояс всегда следует проверять
на сжатие.
Лучшим примером колонн, которые кроме сжатия подвергаются и изгибу, служат деревья и мачты парусных кораблей.
64
ГЛАВА 4
Ствол дерева должен выдерживать сжимающий вес всех своих
ветвей и листвы, но в жизни дерева изгибающие нагрузки, вызванные давлением ветра, могут быть больше и опаснее.
Например, мачты больших кораблей делались из кусков
дерева, соединенных вместе железными обручами, но для мачт
средних размеров старые мастера предпочитали использовать
один ствол сосны или ели, по возможности, оставляя его в первозданном виде. Они не только встречали в штыки любые предложения о том, что следует делать пустотелые мачты, имеющие
«более эффективное» трубчатое сечение, а старались вообще
избегать какой-либо обработки дерева, кроме удаления коры.
В течение многих лет современные инженеры игнорировали эти
старинные традиции. Первое, что делает с деревом современный
инженер, это режет его вдоль на маленькие кусочки, которые затем снова склеивает вместе, стараясь получить нечто пустотелое в сечении. И только недавно мы стали осознавать, что в том,
как устроен ствол растущего дерева, заключена некая высшая
мудрость. Дерево растет таким образом, что ствол оказывается
«предварительно напряженным», т. к. должен выдерживать изгибающие нагрузки, действующие в самых различных направлениях, в зависимости от направления ветра. Ствол дерева имеет симметричное сечение, обычно круглое. При изгибе распределение
напряжений по сечению предварительно ненагруженной балки
линейно, как показано на рис. 21.
В этом случае, когда напряжение сжатия достигнет величины около 30 МПа, стержень, то есть дерево, начнет ломаться.
И вот тут-то выступает предварительно напряженная конструкция ствола. Каким-то образом дерево растет так, что внешние
слои древесины растянуты (примерно до 15 МПа), в то время как
внутренние сжаты. Примерное распределение напряжений в сечении ствола в обычных условиях показано на рис. 21, 2. Согласно
«принципу независимости действия сил», мы можем складывать
одно напряжение с другим. Если мы прибавим к напряжениям –
рис. 21, 1, напряжения – рис. 21, 2, то получим эпюру распределения напряжения (рис. 21, 3).
65
СОПРОМАТ – ЭТО ПРОСТО. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
1 2 3
Рис. 21. Эпюры распределения растягивающих (Т)
и сжимающих напряжений (С):
1. Поведение под ветром дерева, в древесине которого
нет предварительных напряжений; распределение напряжений
по сечению ствола линейно и наибольшие растягивающие
и сжимающие напряжения одинаковы.
2. Предварительно напряженное дерево в безветренную погоду;
наружные слои ствола растянуты, внутренние сжаты.
3. Предварительно напряженное дерево при сильном ветре;
сжимающие напряжения уменьшились наполовину, так что дерево
может выдержать вдвое большие нагрузки, чем в случае 1
Таким образом, дерево уменьшает наибольшую величину
сжимающего напряжения примерно вдвое и тем самым удваивает эффективное сопротивление ствола на изгиб. Правда, при
66
ГЛАВА 4
этом возрастает максимальное растягивающее напряжение, но
дерево вполне с ним может справиться. То, к чему стремится дерево, создавая предварительно напряженную структуру ствола,
противоположно целям, которые мы преследуем в случае предварительно напряженного железобетона. Бетон непрочен при
растяжении и сравнительно прочен при сжатии, так что бетонную балку при изгибе опасность подстерегает на растянутой
стороне. Чтобы избежать этого, мы армируем бетон стальными
стержнями, находящимися под натяжением, так что сам бетон
оказывается сжатым. Поэтому балку нужно гнуть довольно
сильно, прежде чем сжимающие напряжения в бетоне вблизи от
одной из поверхностей балки сменятся на растягивающие.
Как уже отмечалось выше, дерево и композиционные материалы при сжатии разрушаются, образуя складки изогнутых волокон. Эти складки имеют много общего с трещинами, которые
возникают при растяжении. В частности, они часто начинаются
в местах концентрации напряжений у отверстий и дефектных
включений. Гвозди и шурупы, вообще говоря, не сильно ослабляют древесину, но только в том случае, если они плотно в ней
сидят. Как только вы вытащите гвоздь или вывернете шуруп,
то полученное отверстие станет опасным. То же справедливо и
для сучков в древесине. В сильно нагруженных деревянных конструкциях разумно поэтому оставлять ненужные гвозди и шурупы, не пытаясь их вытаскивать, а при необходимости их лучше
срезать заподлицо с поверхностью дерева.
Леонард Эйлер и выпучивание тонких стержней
Всё, о чем мы говорили до сих пор об устойчивости, применимо лишь к относительно коротким и массивным стержням
и другим сжатым элементам. Мы видели, что при сжатии они
обыкновенно разрушаются вследствие сдвига или образования
локальных складок. Однако огромное количество сжатых конструкций содержит длинные и тонкие элементы, которые выхо-
67
СОПРОМАТ – ЭТО ПРОСТО. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
дят из строя совершенно по-другому. Длинный стержень, тонкий
лист металла или лист бумаги выпучиваются при сжатии, теряя
способность нести нагрузку. В этом легко убедиться с помощью
простейшего эксперимента: возьмите лист бумаги и попытайтесь сжать его в продольном направлении. Такой вид потери несущей способности называется потерей устойчивости [2]. Под
устойчивостью, при этом, понимается способность материала
конструкции сохранять свою форму при внешних воздействиях.
Впервые явление устойчивости было изучено Леонардом
Эйлером (1707–1783), и потому нередко говорят об устойчивости (или неустойчивости) по Эйлеру (
Леонард Эйлер).
https://ru.wikipedia.org/wiki/
Эйлер имел немецко-швейцарское происхождение, в его семье были известные математики. Он рано приобрел имя в той
же области, и еще очень молодым был приглашен Екатериной II
в Россию. Большую часть жизни он провел при дворе в Петербурге. Эйлер изобрел то, что сейчас называется вариационным исчислением, и искал задачи, к которым можно было бы применить
этот новый математический метод. Один из его друзей предложил
попробовать этот метод для определения наименьшей высоты
тонкого вертикального стержня, при которой этот стержень начнет выпучиваться под собственным весом. Такая формулировка
этой не очень реальной задачи объясняется тем, что понятия напряжения и деформации возникли в более поздние времена. Если
переложить полученный Эйлером результат на современный
язык, то получится то, что сейчас называется формулой Эйлера –
формула критической силы продольно сжатого стержня:
F = π²EI/L²,
где F – нагрузка, сжимающая стержень;
Е – модуль Юнга материала;
I – минимальный момент инерции поперечного сечения
стержня;
L – приведенная длина стержня.
68
ГЛАВА 4
Критической силой в сопротивлении материалов называется минимальная продольная сила, при которой стержень теряет
устойчивую форму равновесия [2].
Формула Эйлера для определения критической силы применима к длинным и тонким колоннам и стержням всех видов, как
сплошным, так и пустотелым, к тонким панелям и пластинам,
которые встречаются в конструкциях самолетов, кораблей и автомобилей.
Если мы построим график зависимости критического напряжения стержня от гибкости, то получится кривая (рис. 22).
Формула Эйлера применима для стержней большой гибкости.
Рис. 22. Зависимость предельно сжимающего напряжения
от гибкости стержня
При расчете также учитывается и вид закрепления стержня
(рис. 23). Для определения приведенной длины нужно учитывать коэффициент закрепления.
69
СОПРОМАТ – ЭТО ПРОСТО. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
Формула Эйлера примет вид:
F = π²EI/(L)².
1 2 3
Рис. 23. Различные условия закрепления стержня:
1 – оба конца шарнирно оперты, = 1;
2 – оба конца закреплены, = 0,5;
3 – один конец жестко закреплен, = 2
Следует отметить, что в формулу Эйлера не входит предел
прочности материала. Нагрузка, при которой стержень данной
длины теряет устойчивость, зависит только от момента инерции
сечения I и модуля упругости (модуля Юнга) материала E. Длинный стержень не разрушается от сжимающей силы, а упруго изгибается таким образом, чтобы «выскользнуть» из-под нагрузки.
Если при выпучивании не был достигнут «предел упругости» материала, то после снятия нагрузки стержень опять выпрямится
и, спружинив, как ни в чем не бывало примет свою прежнюю
форму. Это свойство часто может быть весьма полезным, поскольку можно создавать «неразрушающиеся» конструкции.
При жизни Эйлера его формула не могла найти скольконибудь значительного использования в технике. Практически ее
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]